加權Core EP分解下的矩陣加權Drazin逆Ad,W的逼近計算*

胡春梅

(麗江師范高等?？茖W校 數學與信息技術學院， 云南 麗江 674199)

1 引言與引理

1958年Drazin首先在可結合環和半群上引進了一種擬逆的概念，后來學者們把它稱為Drazin逆.1980年Cline和Greville將此概念推廣到長方矩陣，提出長方矩陣加W權Drazin逆的概念.之后許多學者對這兩種逆都做了大量的研究.Drazin逆主要應用于Markov過程、線性微分方程組、差分方程組和最優控制等方面.

文獻[1]在2018年將core EP分解應用到長方矩陣，得到了一種新的分解式，稱作W-加權core EP分解.文獻[2]將此結果推廣到矩陣對{A,W},得到了加權core EP分解下的矩陣加權Drazin逆Ad,W的一種新的表示.本文將主要研究這種新的表示下的Ad,W的逼近計算公式，并討論其收斂的充要條件.

下面給出本文采用的記號和術語.

令Cm×n表示所有m×n階復矩陣的全體，若m=n,則記Cm×n=Cm.用R(A)、N(A)、ρ(A)和Ind(A)分別表示矩陣A的值域、零空間、譜半徑和指標.對任意矩陣A,稱滿足BAB=B的矩陣B為A的(2)逆，記為B=A(2).

定義1[3]設A∈Cn,A的指標為k.若存在矩陣G∈Cn,使得下列方程組成立：

(1)AkGA=Ak； (2)GAG=G； (3)AG=GA.

則稱矩陣A為Drazin可逆矩陣，G為A的Drazin逆，記作G=Ad.

定義2[4]設A∈Cm×n,W∈Cn×m,T∈Cm×n稱為矩陣A的加權Drazin逆，如果T滿足：

(1) (AW)k+1TW=(AW)k;(2)TWAWT=T;(3)AWT=TWA.

若T存在，則唯一，且記T=Ad,W.其中k=max{Ind(AW),Ind(WA)}.

定義3[1]設A∈Cm×n，W∈Cn×m,且k=max{Ind(AW),Ind(WA)},則A和W具有以下矩陣形式

其中，P∈Cm,Q∈Cn為酉矩陣，A11∈Ct,W11∈Ct為可逆矩陣.且(A22W22)k=0,(W22A22)k=0.稱上述分解為{A,W}的W-加權core EP分解.

下面給出本文需用到的引理和推論.

引理1[4]A∈Cm×n,L和M是Cn的閉子空間，且有Cn=L⊕M,PL,M為沿M到L上的投影矩陣，則

(1)PL,MA=A?R(A)?L; (2)APL,M=A?N(A)?M.

引理2[4]設矩陣A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，則它是唯一的，且

引理3[5]設矩陣A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，則

(1)Ad,W=(AW)dA(WA)d=[(AW)d]2A=A[(WA)d]2；

(2)R(Ad,W)=R((AW)d)=R((AW)l),N(Ad,W)=N((WA)d)=N((WA)l).

引理4[6]設矩陣A∈Cn, Ind(A)=k,則

(1)R(Ad)=R(Ak),N(Ad)=N(Ak);

(2)AAd=AdA=PR(Ad),N(Ad)=PR(Ak),N(Ak).

推論1[7]設矩陣A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，則

(1)PWA=WA(WA)d=(WA)dWA=PR(WA)d,R(WA)d=PR(WA)l,R(WA)l;

(2)PAW=AW(AW)d=(AW)dAW=PR(AW)d,R(AW)d=PR(AW)l,R(AW)l.

2 主要結果

定理1設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xk(I+Mk),k=0,1,2,…；

(1)

則公式(1)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.

證明顯然由引理1，條件R(x0)=R((AW)l)等價于PAWx0=x0，則可由數學歸納法證明：對一切非負整數k,有PAWxk=xk.

假設PAWxk=xk,則PAWxk+1=PAWxk(I+Mk)=xk(I+Mk)=xk+1.又PWAMk=PWA(PWA-WAWxk)=PWA-WAWPAWxk=PWA-WAWxk=Mk.從而

Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAWxk-1(I+Mk-1)=PWA-WAWxk-1-

WAWxk-1Mk-1=Mk-WAWxk-1Mk-1=(PWA-WAWxk-1)Mk-1=Mk-12.

以此類推，計算得Mk=Mk-12=Mk-222=…=M02k.

由引理1和引理3，得Ad,WPWA=Ad,W.

(ⅰ)充分性.若ρ(M0)<1,則M02k→0(k→∞).

又Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,W-AW(AW)dxk=Ad,W-AWAd,WWxk=Ad,W-Ad,WWAWxk=Ad,W(PWA-WAWxk)=Ad,WMk=Ad,WM02k，故xk收斂到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,則

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,

即M02k→0,ρ(M0)<1.

定理2設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xk(I+Mk+…+Mkp-1),k=0,1,2,…;

(2)

則公式(2)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.

證明類似定理1，有

PAWxk=xk,Ad,WPWA=Ad,W,PWAMk=Mk,k≥0.

而

Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAWxk-1(I+Mk-1+…+Mk-1p-1)=

PWA-WAWxk-1-WAWxk-1Mk-1(I+Mk-1+…+Mk-1p-2)=

Mk-1-WAWxk-1Mk-1-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=

(PWA-WAWxk-1)Mk-1-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=

Mk-12-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=…=Mk-1p=M0pk-1.

(ⅰ)充分性.類似定理1，有

Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,WMk=Ad,WM0pk-1,

若ρ(M0)<1,則M0pk-1→0(k→∞),故xk收斂到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,則

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,即M0pk-1→0,ρ(M0)<1.

定理3設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xkM0+x0,k=0,1,2,…;

(3)

則公式(3)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.

證明類似定理1，有

PAWxk=xk,Ad,WPWA=Ad,W,PWAMk=Mk,k≥0.

而Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAW(xk-1M0+x0)=PWA-WAWx0-WAWxk-1M0=M0-WAWxk-1M0=(PWA-WAWxk-1)M0=Mk-1M0=…=M0k.

(ⅰ)充分性.類似定理1，有

Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,WMk=Ad,WM0k.

若ρ(M0)<1,則M0k→0(k→∞)xk收斂到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,則

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,即ρ(M0)<1.

根據定理1、2和3，同理可以得到以下結論.

定理4設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l)，l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=(I+Mk)xk,k=0,1,2,…；

(4)

則公式(4)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.

定理5設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=(I+Mk+…+Mkp-1)xk,k=0,1,2,…；

(5)

則公式(5)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.

定理6設A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定義計算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=M0xk+x0,k=0,1,2,…;

(6)

則公式(6)收斂到Ad,W當且僅當ρ(M0)<1,其中ρ(M0)為M0的譜半徑.