基于天牛群優化算法的轉臺控制系統研究

貴浩然

（北京航空精密機械研究所, 北京 100076）

0 引言

在生產使用過程中, 高性能的陀螺儀以及加速度計需要采用以轉臺為核心的測試系統對其性能進行測試［1-2］, 轉臺可以為它們提供高精度的角度和角速度基準, 通過計算和補償以改善其性能。因此, 提高轉臺的精度對慣導系統的研制具有重要意義。 轉臺是一種融合了機械、 電氣以及計算機等多種學科的較為復雜且精密的實驗設備, 高性能的轉臺控制系統［3-5］不僅需要可靠的電機硬件設備、 精密的測量器件以及合理的硬件結構設計,也極大地依賴于轉臺系統的控制策略。

優化轉臺的控制系統一直是國內外學者重點研究的問題, 目前轉臺的控制算法主要有兩類:第一類是經典控制算法, 例如PID 控制; 第二類是智能控制算法, 例如自適應控制、 神經網絡控制等。 FEEMSTER 等［6］于1998 年設計了自適應位置設定值控制器來補償機械系統的參數不確定性,以達到提高性能的目的。 李中［7］在經典PID 的基礎上引入模糊控制理論, 設計了模糊PID 控制算法,一定程度上提高了轉臺的跟蹤性能。 王歡等［8］結合經典頻域控制和現代滑?？刂品椒ㄔO計的基于速度和位置的雙回路控制器, 在抗擾和魯棒性方面具有優越性。

為解決傳統轉臺調試過程中PID 參數調節的精度及效率問題, 本文提出了采用天牛群優化算法（Beetle Swarm Optimization Algorithm, BSO） 對PID參數進行尋優, 從而提高轉臺響應時間及精度。

1 轉臺數學模型建立

設計高精度轉臺的控制系統, 需要對轉臺系統的數學模型進行較為準確的研究與建模。 在更接近實際轉臺的數學模型基礎上, 才能更準確地研究該系統的性能, 進而設計更優的控制系統。

本文以單軸轉臺為例, 其控制系統由驅動電路、 電機和負載組成, 結構框圖如圖1 所示。

由于本文中所研究的轉臺控制系統的運動規律明確, 可以根據基爾霍夫定律以及電磁轉矩等公式計算得到, 因此本文選擇采用機理分析法建立其數學模型［9-10］。 直流力矩電機具有非常復雜的結構, 在運行時電樞繞組中電流會出現比較復雜的變化, 因此很難建立準確的數學模型［11］。 本文中, 忽略電樞電感的影響, 其簡化模型如圖2所示。

圖2 電機簡化模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of simplified motor model

根據基爾霍夫電壓定律, 以圖2 中電流Ia方向為參考, 直流電機電樞回路的動態電壓平衡方程為

式（1）中,Ua為直流力矩電機的輸入電壓, 單位為V;Ia為電樞繞組的電流, 單位為A;Ra為電樞繞組的等效電阻, 單位為Ω;Ea為力矩電機電樞繞組的反電勢, 單位為V;La為電機的電樞電感, 單位為H。

當接入電源時, 直流力矩電機的電磁轉矩與流經電樞回路的電流成正比, 因此電磁轉矩為

式（2）中,Tem為電機輸出的電磁轉矩, 單位為N·m;Kt為電機的轉矩系數, 單位為（N·m） /A。

電機運行時, 轉矩平衡方程為

式（3）、 式（4）中,J為電機軸上總的轉動慣量,單位為kg·m2;ω為電機的轉速, 單位為rad/s;Tc為總干擾力矩, 單位為N·m;Kc為黏滯阻尼系數;Tf為電機本身的阻轉矩, 單位為N·m。

電機中電樞繞組的反電勢為

式（5）中,Ke為反電勢常數。

將式（1）、 式（2）、 式（3）和式（5）分別做拉普拉斯變換, 并經過整理后, 可得

以電機輸入電壓Ua作為系統輸入, 以角速度ω（s）作為系統輸出。 干擾力矩Tc（s）主要表現為摩擦力矩, 在轉臺控制系統中, 摩擦力矩直接地影響到轉臺的位置和速度控制的精度, 但在轉臺高速運行過程中, 其摩擦力矩的影響不大, 可以忽略不計。 因此, 假設電機的干擾力矩Tc（s） 為零,由此可以得到直流力矩電機的傳遞函數為

傳遞函數框圖如圖3 所示。

圖3 電機傳遞函數框圖Fig.3 Block diagram of motor transfer function

直流電機的輸入電壓Ua為控制算法輸出數字控制量Uc經過驅動電路線性放大后輸出的電壓模擬量, 驅動電路的傳遞函數可近似為

以Uc為輸入量、 轉臺轉動角速度為輸出量,則可得轉臺控制系統的直流電機角速度輸出控制系統框圖, 如圖4 所示。

圖4 角速度控制系統框圖Fig.4 Block diagram of angular velocity control system

由此可得, 轉臺控制系統框圖如圖5 所示。

圖5 轉臺控制系統框圖Fig.5 Block diagram of turntable control system

θr（s）為轉臺的位置輸出, 單位為rad。 為了更加直觀, 將其測量單位轉化為度（°）, 則有

2 天牛群算法設計

2.1 算法流程

天牛群優化算法［12-14］是將天牛須搜索算法與粒子群優化算法相結合提出的一種新的優化算法,每只天牛意味著尋優問題的一個潛在解, 即每只天牛代表著所求適應度函數所對應的適應值。 天牛位置變化的方向以及距離可以由天牛的兩只觸角所探測到的氣味濃度所決定, 天牛群算法是將粒子群算法中每個粒子的更新準則進一步優化,利用天牛須搜索算法對自身位置做出更為準確的判斷, 這樣在粒子對目標函數的尋優過程中加入了自身對環境的判斷［15-17］, 從而降低陷入局部最優的可能性, 提高尋優過程的智能性和搜索的精度。天牛群算法流程圖如圖6 所示。

圖6 天牛群算法流程圖Fig.6 Flowchart of beetle swarm algorithm

2.2 目標函數

在轉臺控制系統中, 要使所有的性能參數都達到最優是不可能的, 因為各參數之間存在相互影響,當某項達到最優時, 另一項指標性能會下降。 通常,采用誤差性能指標, 即實際與期望輸出的偏差和時間的積分式, 來衡量控制系統的性能。 表1 列出了幾種常用的綜合性能評價標準［18］。

表1 常用的綜合性能評價標準Table 1 Commonly used comprehensive performance evaluation criteria

其中,e（t） 為系統輸入與輸出的差值,t為時間, 綜合性能評價標準是基于系統偏差與時間之間的關系。

由表1 可知, IAE 的性能指標對小偏差的抑制能力比較強, 且具有良好的瞬態響應, 綜合考慮實際應用, 本文采用IAE 準則進行指標尋優。 為防止轉臺的輸入控制過大, 可對絕對偏差積分函數進行改進, 引入控制量輸入u（t）的平方項, 即目標函數為

式（13）中,ω1、ω2為權重系數, 取值范圍為［0, 1］。

2.3 算法尋優過程

根據尋優的目標函數建立一個三維搜索空間,設種群規模為N, 分別表示為pop1,pop2, …,popN, 第i個個體的位置可以定義為popi=［KPiKIiKDi］T, 也表示其中可能的一個函數的最優解,popg=［KPgKIgKDg］T為種群的極值。帶入到設定的目標函數中, 可以得出每個天牛位置的適應度值［14］。 完成該位置的計算后, 更新天牛的位置, 用vi=［vi1vi2vi3］T表示天牛位置變化時的速度, 則更新時的表達式為

式（14） 中,rand為［0, 1］ 的常數,pbesti=［pbesti1pbesti2pbesti3］T為當前個體的最優解, 并且將所有個體的最優解中的最小值作為全局的最優解gbest= ［gbest1gbest2gbest3］T,k為當前正在進行的迭代次數, 學習因子c1、c2為常數, 慣性權重系數ω是隨過程變化的, 變化規律為

式（15）中,maxgen為最大迭代次數。

天牛位置的更新方程為

式（16）中,λ為正常數;為由天牛兩個觸角探測到的信息強度決定的部分位移增量, 其表達式為

式（17） 中,step為步長, sign（·） 為符號函數。f（x）為天牛位置的氣味濃度, 也稱為適應度函數, 其最大值或者最小值對應于氣味源點, 代表所求的目標函數。 根據天牛的位置, 計算每個天牛的左側距離xleft和適應度fleft及右側距離xright和適應度fright

并對天牛的步長以及兩個觸角的質心之間的距離進行更新

式（19）、 式（20） 中,stepk+1和stepk分別為第k+1 次和第k次的步長,eta_δ為步長衰減系數,d0為天牛兩須之間的距離,e為常系數。

3 仿真與結果分析

3.1 仿真條件設置

電機軸上總的轉動慣量J=1.5kg·m2, 轉臺采用的直流力矩電機的具體性能參數如表2 所示。

表2 J200LYX 型直流力矩電機具體參數Table 2 Specific parameters of DC torque motor J200LYX

算法尋優中的步長衰減系數eta_δ取為0.95,式（20）中的e在本文中取2, 目標函數的權重比例系數設置為ω1=0.999,ω2=0.001。 設種群規模為100, 最大迭代次數為50, PID 三個參數的搜索范圍均為［0, 100］。

3.2 仿真結果分析

本文實驗平臺為Matlab 2018a（Windows i7-11370H@3.30GHz）, 設置以上仿真參數, 搜索得到PID 的最優KP,KI,KD, 代入到轉臺控制系統的PID 中, 得到階躍響應與誤差曲線。 天牛群算法優化PID 參數曲線和適應度曲線如圖7 和圖8 所示。

圖7 天牛群算法優化PID 參數曲線Fig.7 Curves of PID parameters optimized by beetle swarm algorithm

圖8 天牛群算法優化適應度曲線Fig.8 Curve of fitness optimized by beetle swarm algorithm

天牛群算法優化PID 參數的結果如表3 所示,適應度最優值fmin=0.1915。 由尋優結果可以看出,由于在尋優過程中加入了天牛粒子自身的判斷,天牛群算法的全局尋優結果好。

表3 天牛群算法參數優化結果Table 3 Results of parameters optimized by beetle swarm algorithm

將天牛群算法優化后的PID 參數用于進給伺服系統, 得到階躍響應和誤差曲線, 如圖9 和圖10所示。

圖9 天牛群算法優化階躍響應輸出曲線Fig.9 Curve of step response output optimized by beetle swarm algorithm

圖10 天牛群算法優化階躍響應輸出誤差曲線Fig.10 Error curve of step response output optimized by beetle swarm algorithm

將天牛群算法整定的PID 參數和常規調試中試湊法得到的PID 參數進行對比, 這兩種算法的階躍響應和誤差曲線如圖11 和圖12 所示。

圖11 天牛群算法和傳統PID 算法優化階躍響應輸出對比Fig.11 Comparison between beetle swarm algorithm and traditional PID algorithm for step response output

由圖11 和圖12 可知, 天牛群算法整定的PID參數使轉臺控制系統在1.1s 處收斂, 超調量為7.4%, 穩態誤差為0, 無振蕩; 而傳統PID 算法的收斂時間為1.4s, 超調量為53.5%, 穩態誤差為0, 振蕩次數為3。

由對比仿真結果可知, 天牛群算法整定的PID參數使得轉臺控制系統的收斂速度快, 誤差值比傳統PID 算法小, 且天牛群算法整定的系統超調量更小、 動態性能更好。

4 結論

慣性導航系統在研制過程中需要轉臺進行測試、 試驗和標定, 轉臺可以為加速度計和陀螺儀提供高精度的角度和角速度基準。 通過全面測試建立慣性儀表的模型方程, 利用計算機模擬使用條件計算出儀表的規律性誤差并給予補償, 以提高儀表的實際使用精度。 因此, 轉臺的精度在慣導的研制過程中具有重要意義。

PID 參數對于系統穩定性、 響應速度等方面具有重要的意義, 為改善轉臺實際調試中憑經驗確定PID 參數的缺點, 本文提出了一種基于天牛群算法的PID 參數尋優方法。 該方法進一步優化粒子群算法中每個粒子的更新準則, 利用天牛須搜索算法對自身位置做出更準確的判斷, 即在對目標函數的尋優過程中加入了個體自身對環境的判斷,從而降低陷入局部最優的可能性, 并采用IAE 準則對參數尋優得到一組最優解。 通過與依據經驗確定的PID 參數的對比, 采用天牛群優化算法得到的PID 參數更有依據, 而且使轉臺控制系統的階躍響應速度更快, 誤差更小。 因此, 該方法在轉臺控制中有著較好的應用前景。