發展量感三部曲：建構—體驗—想象
——以“大面積單位”教學為例

文|俞可揚

建立并發展量感是學生形成抽象能力的經驗基礎。在課堂教學中，學生對無法直接體驗的大計量單位接受程度不高。那么，如何在“大面積單位”教學中發展學生的量感呢？下面筆者以“公頃和平方千米”教學為例，依據教材編排的一致性和學生學習的發展性，試圖在引領學生經歷建構、體驗、想象中逐步發展量感；在聯結體驗、推想疊加中探尋大面積單位量感建構的教學策略。

【問題背景】

“公頃”和“平方千米”作為極大的面積單位，由于學生體驗少，日常使用頻率低，與學生實際生活關聯性低，因而教學效果不佳。根據筆者在教學“公頃和平方千米”后的學情后測情況分析，主要有以下問題：

一是單位感知難。對于平方米等較小的面積單位，學生感知較為清晰，但對較大的面積單位概念則比較模糊，特別是“公頃”和“平方千米”這兩個單位易混淆，估測能力較弱。

二是名數換算難。學生對同屬性跨度較大的名數換算較困難，會受單位前數據特點的干擾，相隔較遠的單位之間的換算要考慮中間單位，十分易錯。

三是序列建立難。作為面積單位教學的結束課，近40%的學生沒有將公畝納入其中，不理解公頃和平方米之間的進率為什么是10000，存在遺漏、順序錯誤、進率標注錯誤等情況。

【歸因分析】

計量單位本身很抽象，尤其是大計量單位，學生接觸機會少，經驗積累缺乏，教材編排分散。在人教版數學教材中，大計量單位的教學主要分布在三年級和四年級上冊，涉及“千米、噸、公頃、平方千米”這幾個單位。

從度量對象和度量單位選擇看，千米和噸都是可直接感知的熟悉的素材，公頃和平方千米卻沒有相應的生活具象作為支撐，需要間接描述，借助度量單位累加來建立大單位的概念。但從度量結果呈現看，千米和噸能夠通過組織實地感知來積累相應的經驗，但公頃和平方千米組織實地感知難度較大，教學中僅依賴面積單位界定的一致性去機械理解。

【策略探尋】

一、有效建構，把握大面積單位量的概念

度量單位的形成主要有兩類途徑：一類是通過抽象得到,是人思維的結果；另一類是借助工具得到,是人實踐的結果。因而建構量感需要一定的經驗積累，汲取原有面積單位學習經驗，致力充分體驗，清晰建立“量”的表象。

1.課始聯結，激活大面積單位的方法意識

課堂伊始，梳理已學面積單位，將零散的“點”狀知識，放入知識“軸”中，開展聯結，在知識結構化的過程中讓學生感受需要更大面積單位的必要性。

【片段一】

師：學校占地面積大約是3（），你能填上合適的單位嗎？

預設：公頃或平方千米。

師：為什么不用之前的面積單位呢？以前學過哪些面積單位？

學生依次介紹學過的面積單位的大小、進率，教師板貼（圖1）：

圖1

師：大家都認為已經學過的面積單位都太小了，這節課我們就來認識比它們更大的面積單位：公頃和平方千米。

學生介紹已學的面積大小的過程，實際上也是一個回顧面積知識框架的過程，由點連軸，發現面積單位界定的一致性，喚起學習經驗，激活方法意識。

2.課末聯結，完善量的結構體系

大計量單位的教學都是該屬性單位教學的結束，往往與前面其他單位的學習有一個間斷過程，需要將大計量單位納入到原有的知識結構中，強調“計量單位”的產生與關聯，形成結構化思維。

【片段二】

師：現在把這兩個新學的面積單位也放入面積單位軸里，你能把它們的進率補充完整嗎？你有什么發現？

小結：相鄰兩個面積單位之間的進率都是100，只是生活中不太常用公畝，所以只記憶平方米到公頃的進率。它們的進率是多少？（10000）你記住了嗎？

展示板貼：

在全課總結環節，再次聯結，將課堂開頭的“面積單位軸”（圖2）補充完整。這樣既溝通了面積單位之間的關系，也理清了一維的長度和二維的面積之間的關系，形成整體結構。學生通過系統化感悟和體驗，為體積單位的學習積累了經驗。

圖2

二、三重體驗，建立大面積單位的真實表象

量感是由情境決定的。在具體教學中，從學生身邊最熟悉、可感知的事物出發，通過三次由淺入深的體驗活動，親歷由較小面積到較大面積的累加過程，為“1 公頃”和“1 平方千米”的自主建構積累豐富的感性經驗。

第一重體驗——課件出示：40 名同學圍成邊長10 米的正方形，面積是1 平方十米（圖略）。引導性問題：用這樣的經驗估計，微格教室大約有多大？

第二重體驗——課件出示：沿跑道走400 米，需要6 分鐘，圍成的面積就是1 公頃（圖略）。引導性問題：用剛才的“1 平方十米”去鋪，需要鋪幾個？

第三重體驗——課件出示：學校東門→游泳中心→鄞州公園→明州醫院→學校東門，圍成的面積是1 平方千米，需要走1 小時（圖略）。引導性問題：現在你知道平方千米有多大了嗎？

“圍出1 平方十米、在操場上走100 米、從學校出發走1 千米”，在這三次課前體驗活動中，較短的路程通過視覺感知，較長的路程通過記錄時間感知，感受所圍成面積的大小。前兩次體驗通過感知相對較小的面積單位，引發學生思考：“幾個這樣的面積單位可以鋪成一個較大的面積單位？”充分感知公頃這個面積單位之大，借助與平方米之間的關系，建立公頃表象。第三次體驗，幫助學生建立1 平方千米的表象，再與公頃比較，促進兩個單位量感的良好建構。

三、想象疊加，深化大面積單位本質

1.四次想象，錨定大面積單位量的基本模型

公頃和平方千米“有多大、大到怎樣的程度”，在學生表象形成后，面對“10000”“1000000”這樣的數字，很難感知實際數值的大小。因此，在教學中對公頃和平方千米各進行了兩次想象感受活動，通過對比聯系，分享感受，感悟大面積單位之“大”。

想象→教師提問→學生感想

第一次想象——教師提問：這一塊圍起來的正方形面積就是1 公頃，大約有大半個健康園大。閉上眼想象一下，你有什么感受？學生感想：原來大半個健康園的面積將近1 公頃，1 公頃可真大！

第二次想象——教師提問：全鄞州區的小朋友大約是16 萬人，也只能剛剛站滿1 公頃，你有什么感受？學生感想：1 平方米已經能站下16 個人了，1 公頃能站這么多的人，1 公頃確實很大。

第三次想象——教師提問：想象從學校出發走1 個邊長為1 千米的正方形，你有什么感受？學生感想：走1 千米已經很累了，沿著1 平方千米的邊緣走一圈，這個范圍太大了！

第四次想象——教師提問：1 平方千米大約是33 個我們學校、25 個天一廣場、5 個院士公園的面積?？戳诉@些數據，你有什么感受？學生感想：在我眼中這三個地方已經很大了，有好多個這樣的地方才是1 平方千米，真是非常大??！

第一、三次想象，借助每日所處地點想象，描述感受；第二、四次想象，用人數和熟悉場所的面積個數描述公頃和平方千米。通過多維想象，建立基本模型，后續會自主將一個新的面積與已有熟悉的面積聯系。在選擇合適單位時，也會把所建立的面積單位模型作為參照系篩選正確單位，培養學生對量的估測意識。

2.推算疊加，豐富大面積單位量的認知

大面積單位之大無法直接感知，其本質是單位面積的累加過程。借助熟悉素材，經歷“認識標準、借助原有單位推算、估計疊加”的探究過程，逐步建立公頃和平方千米的概念。

公頃探究流程——素材：學校航拍圖；認識標準：大半個健康園；借助原有單位推算：①微格教室（100 平方米），②尼克圖書館（200 平方米），③里奧體育館（500 平方米）；估計疊加（鋪一鋪）：①以學校（3 公頃）為標準，估計南部商務區的面積，②以南部商務區（70 公頃）為標準，估計首南街道的面積。

平方千米探究流程——素材：鄞州區地圖；認識標準：首南街道部分區域；借助原有單位推算：①學校（3 公頃），②天一廣場（4 公頃），③院士公園（20 公頃）；估計疊加（鋪一鋪）：小組合作，自主確定熟悉的參照物，在地圖上畫一畫1 平方千米和幾平方千米的范圍。

在公頃學習過程中，先借助三個單位量推算幾個這樣的面積是1 公頃；從1 公頃到幾公頃，經歷逐步疊加的過程，并應用幾公頃估計更大的面積。同樣地，在平方千米探究中，也借助單位量進行推算疊加。

【片斷三】

教師在鄞州區地圖上圈出了3 個大約1 平方千米的面積，引導學生觀察發現無論是什么形狀，面積不變。安排操作活動，用彩筆圈一圈。

根據老師圈的大小，在地圖上用彩筆圈1～2個1 平方千米。

說一說圈出的范圍內有哪些你熟悉的地方。

挑戰圈一圈幾平方千米。

學生交流分享。

小結：我們不僅可以量一量、畫一畫，生活中很多時候是以馬路為邊界來劃分區域，像這些不同形狀的約1 平方千米的圖形，還可以是通過幾個1 平方千米拼組得到。

用“學校、天一廣場、院士公園”的面積去推算1 平方千米的大小，建立1 平方千米標準后，在地圖中以已知范圍大小為標準估測其他的1平方千米和幾平方千米，在由此及彼的過程中，豐富了學生對這兩個量的認知，促進疊加量量感建立。

綜上所述，教師要正確把握量的內涵，設計有效活動，創設適宜量感生長的環境，提高學生對量的建構，促進學生對量的體驗，拓展學生對量的想象，真正將量感內化于心、外化于形，促進量感素養的形成。