著力培養學生的模型意識
——《加法數量關系》教學設計（一）

文|顧 悅

【教學內容】

加法數量關系“總量=分量+分量”，適用于三年級學生。

【教學過程】

一、觀察數據，提出問題

師：同學們，國家天文臺最近有一個新展覽，吸引了不少人前來打卡參觀。工作人員統計了星期六和星期日接待的參觀人數，讓我們一起來看看。（出示下表）

?

師：這個表格你能看懂嗎？考考你們，這里的72 表示什么意思？

生：表示星期六下午參觀的中小學生人數。

師：看來這一個數的意義不僅要橫著看一看，還要豎著看一看。接下來比比大家的眼力，能不能在表格中快速找到需要的數據，星期日上午參觀的成人人數是多少？

生：123。

師：相信同學們對于表格中的數據都非常清楚了，那你能根據表格中的數據，提出一個用加法計算的問題嗎？

生：星期六一共有多少人參觀？星期六上午一共有多少人參觀？星期日一共有多少成人參觀？……

師：同學們的發言真踴躍，想到了這么多的問題。

（依次出示三個問題）

1.星期六上午一共有多少人參觀？

2.星期六一共有多少中小學生參觀？

3.星期六一共有多少人參觀？

【設計意圖：創設真實且信息含量豐富的情境，讓學生解讀表格、理解數據含義，提出用加法計算解決的問題。如此，有助于學生形成具有思維含量的真問題，形成具有關聯性的問題鏈，也培養了學生獨立發現問題、提出問題的能力?！?/p>

二、歸納概括，發現關系

1.自主表征，初步發現數量關系

師：讓我們先來看第一個問題“星期六上午一共有多少人參觀”，你會解決嗎？

出示活動要求：（1）先列出算式算一算；（2）為什么用加法計算？把你的思考畫一畫、寫一寫。

（學生小組活動，教師巡視之后交流學生作品）

師：這三幅作品畫法不同，都能解釋為什么用加法計算，那它們有什么相同的地方呢？

生：這幾幅作品都表示把兩個部分合起來。

師：是的，不管是圈、括，還是連，都可以表示把兩部分合起來。那是把哪兩個部分合起來呢？

生：都表示把星期六上午參觀的中小學生人數和星期六上午參觀的成人人數合起來。

師：這兩個部分合起來就是？

生：星期六上午參觀的人數。

師：真好！星期六上午參觀的人數＝星期六上午參觀的中小學生人數＋星期六上午參觀的成人人數，這就是這個加法問題對應的數量關系。

【設計意圖：鼓勵學生借助已有的學習經驗，依托他們對于加法的“原初概念”，用畫一畫、寫一寫的方式把加法計算的道理自主表達出來，這種“畫數學”的方式，把復雜的數量關系變得簡明、形象，在多元表征中異中求同，幫助學生逐步厘清星期六上午參觀的人數是由星期六上午參觀的中小學生人數和星期六上午參觀的成人人數兩部分合起來，進而在圈、括、連等形象的方式中蘊蓄加法的數量關系?！?/p>

2.豐富素材，進一步發現數量關系

師：剛才提出的“星期六一共有多少中小學生參觀”大家也同意用加法計算，解決這個問題，它的數量關系又是什么？

生：星期六參觀的中小學生人數=星期六上午參觀的中小學生人數＋星期六下午參觀的中小學人數。

師：再來看看第三個問題“星期六一共有多少人參觀？”誰能仿照老師黑板上的關系來說一說星期六一共參觀的人數就等于什么？和你的同桌互相說一說。

生：星期六參觀的人數＝星期六上午參觀的人數＋星期六下午參觀的人數。

師：你能在圖中圈一圈嗎？

出示：

?

（揭示：星期六參觀的人數＝星期六上午參觀的人數＋星期六下午參觀的人數）

生：我還有不一樣的想法。

出示：

?

（揭示：星期六參觀的人數＝星期六參觀的中小學生人數＋星期六參觀的成人人數）

師：剛剛兩位同學從不同的角度來分析數量關系，都能解決問題。同樣是求星期六參觀的人數，為什么這兩位同學找到了不一樣的數量關系？

生：那是因為我們分類的標準不一樣，對應的數量關系就不同。

【設計意圖：在探究前兩個問題的數量關系時，一個問題對應唯一的一個數量關系，而到了第三個問題“星期六一共有多少人參觀”時，學生通過多元思考會發現兩個不一樣的數量關系，進而明白：解決的加法問題相同，對應的總量雖然是一樣的，但思考問題的過程中分類標準不同，同樣的總量可能會對應不同的分量?！?/p>

3.總結提煉，建構加法模型

師：回過頭來看剛剛這幾個關系式，它們有什么共同特征呢？

生：都表示把兩個部分合起來，求的是一共的人數。

師：在數學上也就是總量，加號左邊就是總量的一部分，加號的右邊也是一部分，我們把它們叫作分量。

（揭示：總量=分量＋分量）

師：黑板上三個實際問題中的總量與分量分別是什么？

師：看來這里的三個數量關系都可以用“總量=分量＋分量”的數量關系來表示。其實，在數學上還有一個很形象的圖示也可以表示加法數量關系，在今天同學們的作品中就有它的影子。

出示：

師：如果這個圈表示總量，它的分量在哪兒？伸出小手指一指。

師：數學上是怎樣表示的呢？我們一起來看。

出示：

4.理性思辨，理解“此分量對應彼總量”

師：我們解決第一個問題的時候，星期六上午的人數是總量，到了第三個問題，為什么它卻變成了分量？

生：因為在第一個問題里，要求星期六上午的人數，在這個問題里它就是總量；而在第三個問題里，要求星期六一共參觀的人數，這時候星期六上午的人數就是分量了。

生：雖然是同樣一個量，看它是總量還是分量，要具體問題具體分析。

師：想一想，星期六一共參觀的人數還有可能變成誰的分量？

生：星期六和星期天一共來參觀的人數。

【設計意圖：數學教育家弗賴登塔爾認為，數學學習的過程是一種“再創造”的過程。學生經歷從生活情境中概括數量關系，在對比分析中探尋加法數量關系的本質，從用數學語言表達數量關系，到自我建構了“總量＝分量＋分量”的加法模型，并逐步過渡到感受數量關系的一致性。同時，讓學生感受“總量”“分量”并不是固定不變的，理解“此分量是彼總量”，引導學生具體問題具體分析，形成理性思考的品質?！?/p>

三、運用關系，提升認識

1.自主編題

師：生活中，你覺得還有哪些問題也能用到我們今天學習的數量關系來解決？這些問題中，數量關系式是什么？總量是什么？分量是什么？

生1：我們班有女生22 人，男生24 人，我們班一共有多少人？

生2：女生的人數＋男生的人數＝三（1）班一共的人數。

生3：總量是三（1）班一共的人數。分量是這個班女生的人數和男生的人數。

師：誰還想舉例？

生4：家里原來有5 個蘋果，媽媽又買回來4 個蘋果，家里現在一共有多少個蘋果？

生5：總量是家里現在的蘋果，分量是家里原來有5 個蘋果和媽媽又買回來的4 個蘋果。

生6：家里現在的蘋果個數＝家里原來的蘋果個數＋媽媽又買回來的蘋果個數。

2.拓展應用

師：老師這里還有幾道題，這些題都能用加法數量關系來解決嗎？如果能，那總量是什么？對應的分量又是什么？

出示：

（1）探究“還原型”的加法數量關系

師：我們先來看題①。

生：原來有的本數=賣出的本數＋還剩的本數。

師：題目中說的是賣出和還剩，怎么還有加法數量關系呢？

生：這里原來有的本數是總量，賣出的和還剩的都是分量。

師：看來解決問題，我們不能只看字面的意思，還要關注背后的關系。

（2）理解“比較型”的加法數量關系

師：我們來看題②。

生：吳軍折的只數＝王芳折的只數＋吳軍比王芳多的只數。

師：這個問題求的是什么量？

生：總量。

師：那它所對應的分量呢？

生：王芳折的只數是分量，多12 只是另一個分量。

師：真的是這樣嗎？如果大家覺得有困難，老師給大家請來了線段圖幫忙。再仔細觀察觀察，這里的總量對應的分量是什么？

出示：

生：分量應該是吳軍和王芳一樣折的23 只和他比王芳多的12 只。

師：你的感覺真好，這兩個分量合起來就是總量，看來有時候分量還藏在題目給定的已知條件中。

（3）減法問題中的數量關系

師：我們來看題③。

生：又放進去魚的數量＝現在水池里魚的數量－原來水池里魚的數量。

生：現在水池里的魚數是總量，原來水池里的魚數是分量，又放進去一些是另一個分量。

師：你能總結出減法的數量關系嗎？

生：分量＝總量－分量。

師：真好！把加法數量關系變一變，就能得到減法數量關系式。

（4）感受總量里可以有多個分量

師：最后，我們來看題④。

生：食堂一共采購葷菜的千克數＝魚的千克數＋肉的千克數＋雞蛋的千克數。

師：看來這里的總量有3 個分量對應，如果有4 個葷菜、5 個葷菜呢？

生：那就在后面繼續加。

師：可是數學上卻只用“總量=分量＋分量”來概括所有分量相加的情況，這是什么原因呢？

生：不管多少個分量，都是把分量相加，用“總量＝分量＋分量”來表示就行了。

生：總量可以由兩個較大的分量組成，這兩個較大的分量還可以繼續往下分成更小的分量。

【設計意圖：提供全方位素材，拓展加法外延，使學生接觸加法實際問題除了常見的合并型、添加型，還有還原型和比較型等類型，深刻感受加法模型可以解決生活中很多的加法問題，具有一定的普適性。因為比較型對學生有一定的挑戰性，借助線段圖的直觀，幫助學生更好地理解總量對應的分量；讓學生理解減法是加法的逆運算，利用加法模型，不僅能解決加法問題，還能解決減法問題?！?/p>

四、全課總結，分享收獲

師：通過今天的學習，同學們一定不僅收獲了知識，還學會了方法。帶著你收獲的知識和方法，去研究更多的數學問題吧。