格林公式成立條件的改進

許 超

（南通職業大學 數學教研室， 江蘇 南通 226007）

0 引 言

設閉區域D 由分段光滑的曲線L 圍成，若函數P（x，y）與Q（x，y）在D 上具有一階連續偏導數，則有等式

成立，其中C 是D 的正向邊界曲線[1]，這就是高等數學中著名的格林公式。

格林公式刻畫了平面閉區域上二重積分與邊界上曲線積分之間的內在關聯，是繼牛頓—萊布尼茨公式之后，向高維情形下的高斯公式及斯托克斯公式推廣的一個臺階，在數學、物理等多個領域有著廣泛應用[2]。

要求P（x，y）與Q（x，y）在包含了邊界曲線C的整個閉區域D 上偏導數連續，這是一個很強的條件，限制了格林公式的適用范圍。事實上，該條件又是非必要的，所以存在一定的改進空間。本文通過從D 的邊界到內部逐步減弱條件，嘗試拓寬格林公式（1）成立的范圍，以期在理論上得到一定改進，同時也為格林公式的教學提供更多具有拓展性和啟發性的范例。

1 基本思路

格林公式（1）成立的前提是等號的兩端都可積。左端曲線積分的存在只需要“P 與Q 在C 上連續”即可，甚至還可減弱到“在C 上有界且除有限個點外處處連續”。這樣去除D 在邊界C 上的可導性，右端為廣義重積分[3]，即通過內含區域逐步逼近區域D 來實現的重積分[4]。如果式（1）右端的廣義重積分收斂，格林公式仍成立，進一步在D 的內部，利用零面積集上任何二重積分均為零的性質[5]，還可將條件降低為“在D 內除有限個點及有限條是零面積集的曲線外偏導數連續”。這里，零面積集指一個平面點集K，對任意ε ＞0，存在有限個閉矩形I（i1≤i≤m），使得并有，這里σ（I）i是閉矩形Ii的面積。顯然，由有限個點及有限條零面積曲線組成的點集是零面積集。

如果在閉區域D 上P（x，y）與Q（x，y）不滿足偏導數連續條件的點集是零面積集K，由于，則有dxdy。

2 基本事實

首先將（1）式左端曲線積分的可積條件降低為被積函數連續，右端則變成收斂的廣義重積分，這時有：

引理1 設開區域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，若

Ⅰ.區域D 內存在一點M（a，b），使M 點出發的任一射線與邊界C 的交點有且僅有一個；

成立。其中曲線積分取閉曲線C 的正向。

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證明設閉曲線C 的方程為x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β，函數φ（t）和ψ（t）有連續導數。作閉曲線c（λ），其方程為

顯然，λ=0 時，x（t，0）= φ（t），y（t，0）= ψ（t）；0 ＜λ≤1 時，對每一個t∈[α，β]，曲線c（λ）上的點恰處于M 點和曲線C 相應點的連線段上，因而由條件Ⅰ，曲線c（λ）完全落在區域D 內，設其所圍區域為D（λ）。當λ→0 時，區域D（λ）擴展而趨于區域D 內，由條件Ⅲ

在區域為D（λ）上可以應用格林公式（1），同時利用曲線c（λ）的方程，有

式（3）右端是含參變量λ 的定積分，由函數φ（t）、ψ（t）的連續可導性及P、Q 的連續性知，被積函數在α≤t≤β，0 ≤λ≤1 時連續，因此該積分關于λ 連續。在式（3）中令λ→0，可得

上式右端的定積分恰等于式（2）左端的曲線積分。

當曲線C 分段光滑，即函數φ（t）、ψ（t）分段有連續導數時，式（3）可化為分段積分，取極限后仍得格林公式。證畢。

如果區域D 不是滿足條件Ⅰ的簡單區域，則可引進幾條輔助線將D 分成有限個簡單的部分區域，在每個區域上應用公式（2），然后相加，仍能證得結論?？梢姼窳止剑?）對復雜區域也成立。

引理2 設開區域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數P（x，y）、Q（x，y）在=DUC 上連續。在D 內除有限個點及有限條零面積曲線外，具有一階連續偏導數，則當式（2）右端的廣義重積分收斂時，格林公式（2）成立。

證明在D 內作一條或數條曲線，使這些曲線經過所有的不可導點，這些曲線將D 分成有限個部分區域。由于不具有一階連續偏導數的點集均為零面積集，所以在各部分區域上均可分別應用格林公式（2），然后相加即可得證。證畢。

3 主要結論

在上述兩個引理的基礎上，進一步放寬要求P（x，y）、Q（x，y）在邊界曲線連續的條件，得到了本文的主要結論。

定理3 設開區域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數P（x，y）、Q（x，y）在= DUC 上有界并且除有限個點外連續，在D 內除有限個點及有限條零面積曲線外具有連續的一階偏導數，則當式（2）右端的廣義重積分收斂時，格林公式（2）成立。

證明只考慮在一個點M（a，b）處不連續。對于多個點不連續，可以類似證明。當M 在區域D內時，以M 為圓心作圓C（ε）：x = a + εcos t，y = b +εsint，0 ≤t≤2π，半徑ε 充分小使該圓完全包含在D 內，設區域D 挖去圓域后得區域D（ε）。對D（ε）應用格林公式得

即可得到式（2）?，F在證明式（4）。

ε→0 時，上式右端趨于零，式（4）成立。

當不連續點M 在邊界C 上時，同樣在D 內挖去圓域，這時曲線C（ε）表示圓在D 內的部分。顯然，估計式中的積分區間變小，因而估計式仍成立。當然這時公式（2）左端是廣義的曲線積分，可以通過曲線上點的逼近來實現。證畢。

從定理3 的證明中看出，函數P、Q 的有界性條件，可以用式（4）來代替，而且式中的曲線C（ε）不必是圓，只要向M 點無限收縮即可。

4 結 語

格林公式在數學和力學等多個領域有著廣泛的應用，盡量減少對使得公式成立的條件限制，顯然有助于擴大其應用范圍。本文對函數P、Q 的條件作了一定的改進。需要注意的是，本文的引理和定理都要求式（2）右端的廣義重積分收斂或者被積函數有界，這個條件是不能去除的。此外，對曲線C 的形狀與光滑性都不必有所限制，只要C 是可求長的閉曲線，格林公式便成立，這說明使得格林公式成立的條件還有一定的改進空間。

格林公式是大多本科理工專業高等數學教學的重要內容。引導學生嘗試改進一些類似于格林公式等定理成立的條件，尋找不滿足條件的反例，對培養他們拓展性思維和探索精神都是有益的。