被動調Q固體激光器非線性動力學研究

高子葉， 夏光瓊， 鄧濤， 林曉東，唐曦， 樊利， 吳正茂

1. 西南大學 物理科學與技術學院，重慶 400715；2. 西南大學 數學與統計學院，重慶 400715；3. 西南大學 電子信息工程學院，重慶 400715

被動調Q固體激光器具有結構緊湊、 效率高、 光束質量優異、 脈寬窄和峰值功率高等優點, 在基礎科學研究、 軍事、 工業加工和醫療衛生等眾多領域有廣泛的應用前景． 例如, 徑向偏振調Q激光可用于各類金屬的鉆孔[1]; 高峰值功率和功率密度的調Q激光可以用于激光誘導等離子體點火[2]; 1 μm波段的調Q激光可用于治療痤瘡和黃褐斑[3]; 2.94 μm的調Q激光可消融牙本質, 從而用于牙科治療[4]． 對于這些應用來說, 除了需要考慮調Q激光的波長范圍、 偏振特性、 脈沖寬度、 脈沖能量、 脈沖峰值功率和重復頻率等之外, 通常也要求調Q激光的脈沖峰值功率具有良好一致性(即脈沖峰值功率不隨時間變化)． 因此, 目前關于被動調Q固體激光器的研究主要集中在激光器處于單周期振蕩動力學態． 而對于被動調Q固體激光器處于其他的非線性動力學態(即脈沖峰值功率隨時間變化)的研究相對較少． 在特定工作參數條件下, 被動調Q固體激光器可呈現一種特殊的非線性動力學態——脈沖混沌態, 此時其輸出脈沖的峰值功率將隨時間呈現復雜的混沌變化趨勢． 相對于其他的混沌源而言, 基于被動調Q固體激光器產生的脈沖混沌激光具有更高的峰值功率, 將其應用到混沌雷達領域有望大幅度提高混沌雷達的作用距離． 因此, 對被動調Q固體激光器非線性動力學特性進行深入研究具有重要意義．

2003年, Tang等[5]實驗觀測到被動調Q Nd: YAG固體激光器表現出單周期、 倍周期以及脈沖混沌動力學態, 并從速率方程出發數值模擬了不同泵浦速率下激光器對應呈現出的3種動力學態; Wei等[6]實驗觀察到在不同泵浦功率下, 被動調Q Nd: YAG固體激光器呈現出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動力學態, 且處于不同動力學態時激光橫模數目不同; Ng等[7]實驗觀察到通過調節諧振腔, 被動調Q Nd: GdVO4和 Nd: YVO4激光器均可表現出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動力學態; Wei等[8]實驗觀測到被動調Q Nd: LuVO4固體激光器也可以呈現出單周期、 倍周期和脈沖混沌動力學態, 并且處于脈沖混沌動力學態時伴隨著旁瓣脈沖的出現; Yao等[9]實驗觀察到在較高泵浦功率下, 被動調Q Tm: YAP固體激光器輸出脈沖幅度變得混亂, 認為激光器進入了脈沖混沌動力學態; Kovalsky等[10]實驗證明了被動調Q Nd: YAG固態激光器輸出脈沖間距具有不穩定性, 并遵循確定性低維非線性動力學規律; Du等[11]實驗研究了被動調Q Tm, Ho: GdVO4固體激光器輸出脈沖具有不穩定性, 并將其歸因于確定性低維非線性動力學引起的; Hong等[12]理論和實驗研究了被動調Q Nd: YVO4固體激光器輸出激光的脈沖寬度隨外部泵浦調制頻率的演化路徑; Bonazzola等[13-14]研究了激光橫模對被動調Q固體激光器非線性動力學態的影響, 并分析了極端事件(extreme events, EEs, 極端事件定義為脈沖峰值強度高于標準偏差的4倍)出現條件; Tsai等[15]實驗觀測到被動調Q Nd: GdVO4偏振固體激光器呈現出單周期和脈沖混沌動力學態; Han等[16-17]實驗觀測到被動調Q Nd: Lu0.61Gd0.39VO4固體激光器表現出單周期和多周期動力學態． 2021年, 本課題組[18]實驗觀測到高重頻被動調Q Nd: LaMgAl11O19固體激光器呈現出單周期和脈沖混沌動力學態, 并且分析了脈沖混沌激光的時間序列、 頻譜、 相圖、 自相關曲線和直方圖等． 上述報道針對被動調Q固體激光器的非線性動力學態開展了部分理論和實驗研究, 但是激光器的非線性動力學態隨著系統關鍵參量(如泵浦速率、 腔內光子往返損耗、 腔內光子往返時間等)變化的演化路徑還未見報道．

基于此, 本研究從四能級系統速率方程出發, 利用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法數值研究了被動調Q Nd: YAG固體激光器的非線性動力學特性, 分析了泵浦速率、 腔內光子往返損耗、 腔內光子往返時間等關鍵系統參量對被動調Q Nd: YAG固體激光器非線性動力學的影響． 數值模擬結果表明: 通過選取不同的關鍵參量數值, 被動調Q固體激光器可呈現單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動力學態; 連續變化其中一個關鍵參量的數值, 激光器的動力學態既可呈現出經歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進入脈沖混沌的演化路徑; 也呈現可經歷脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到單周期的演化路徑． 此外, 數值模擬結果呈現了處于脈沖混沌動力學態的被動調Q固體激光器出現極端事件的情形．

1 理論模型

Nd: YAG晶體具有優良的機械和光學性能, 是常用于實現脈沖寬度窄、 峰值功率高、 脈沖能量大的近紅外調Q激光的固體增益介質之一[19-22]． 在近紅外被動調Q固體激光器中, Cr: YAG晶體常作為可飽和吸收體使用． 因此, 本研究以Nd: YAG為激光增益介質, Cr: YAG為可飽和吸收體, Nd: YAG/Cr: YAG被動調Q固體激光器的四能級速率方程為[5]:

其中,φ為腔內光子數密度;n2,n1,n0分別為Nd: YAG的上能級粒子數密度、 下能級粒子數密度和基態粒子數密度, 并且滿足n0+n1+n2=1.52×1020cm-3;ns和ns0分別為Cr: YAG的基態粒子數密度和初始粒子數密度;σe為Nd: YAG的受激發射截面;σa為Cr: YAG的吸收截面;γ21,γ20,γ10分別為Nd: YAG上能級到下能級的衰減速率、 上能級到基態的衰減速率、 下能級到基態的衰減速率;γs為Cr: YAG基態的衰減速率;lg為Nd: YAG的通光長度;ls為Cr: YAG的通光長度;c為光速;R為輸出鏡的反射率;L為腔內光子往返損耗;tr為腔內光子往返時間;Wp為泵浦速率． 采用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法求解微分方程, 仿真參數見表1[5]．

表1 仿真參數

2 結果與分析

2.1 泵浦速率對被動調Q激光非線性動力學的影響

通常對于被動調Q固體激光器來說, 當增益介質和可飽和吸收體的種類和通光長度固定后, 泵浦速率、 腔內光子往返損耗、 腔內光子往返時間是影響被動調Q固體激光器非線性動力學的關鍵系統參量． 為了研究泵浦速率對被動調Q固體激光器非線性動力學的影響, 將腔內光子往返損耗和腔內光子往返時間固定并分別設置為0.04和800 ps． 圖1和圖2分別為在不同泵浦速率下, 調Q激光的時間序列和相圖． 圖1為時間序列, 即調Q激光的強度隨時間的變化趨勢圖; 圖2為相圖, 即調Q激光的脈沖峰值功率(n+1)隨脈沖峰值功率(n)的變化趨勢圖． 圖1a和圖2a是泵浦速率為600.022 500 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看出調Q激光峰值功率具有恒定強度, 同時相圖中只有一個點, 表明系統處于單周期態． 圖1b和圖2b是泵浦速率為600.022 550 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調Q激光峰值功率具有2個數值并交替出現, 同時相圖中出現了2個點, 表明系統處于倍周期態． 圖1c和圖2c是泵浦速率為600.022 590 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調Q激光峰值功率具有4個數值并周期出現, 同時相圖中出現了4個點, 表明系統處于四周期態． 圖1d和圖2d是泵浦速率為600.022 650 s-1的時間序列和相圖, 從時間序列圖中可以看到調Q激光峰值功率具有多個數值且無規律, 同時相圖中出現了一條線[23], 表明系統處于脈沖混沌態．

圖1 不同泵浦速率下, 被動調Q激光的時間序列

為了進一步研究激光器動力學態的演化路徑, 數值模擬了調Q激光的脈沖峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖(圖3)． 圖3a是泵浦速率從600.022 500 s-1到600.022 700 s-1變化時, 激光器的動力學狀態歷經單周期、 倍周期、 多周期, 然后進入脈沖混沌態, 表明系統是經倍周期分岔路徑進入脈沖混沌． 圖3a中黑色虛線右側調Q激光的脈沖峰值功率表現出無界性, 此時調Q激光部分峰值功率會出現一些較高的數值, 表明此時出現了極端事件[13]． 圖3b是泵浦速率從609.100 365 s-1到609.100 455 s-1變化時, 激光器的動力學態呈現出由脈沖混沌態到單周期態的演化路徑． 圖3b中黑色虛線左側部分表明調Q激光處于脈沖混沌態時也出現了極端事件．

圖2 不同泵浦速率下, 被動調Q激光的相圖

圖3 調Q激光峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖

2.2 腔內光子往返損耗對被動調Q激光非線性動力學的影響

通常對于被動調Q激光器來說, 腔損耗主要包括了耦合損耗(輸出鏡反射率)、 隨機損耗(散射、 衍射和吸收等)以及可飽和吸收體的殘余吸收損耗等． 耦合損耗是輸出鏡引入的損耗; 隨機損耗是光子在腔內往返過程中由于散射、 衍射和吸收等引入的損耗; 可飽和吸收體的殘余吸收損耗主要取決于可飽和吸收體的初始透射率． 當輸出鏡以及可飽和吸收體的參數固定時, 通過調節諧振腔腔鏡的傾角可改變隨機損耗, 可以控制輸出激光的非線性動力學態． 基于此, 對腔內光子往返損耗對被動調Q激光非線性動力學的影響開展了研究． 本研究中的腔內光子往返損耗(L)是指隨機損耗． 為了研究腔內光子往返損耗對被動調Q激光非線性動力學的影響, 將泵浦速率和腔內光子往返時間分別設置為600 s-1和800 ps． 圖4和圖5分別為在不同腔內光子往返損耗下, 調Q激光的時間序列和相圖． 當腔內光子往返損耗為0.048 84,0.048 86,0.048 87,0.048 88時, 調Q激光的時間序列和相圖如圖4a和圖5a、 圖4b和圖5b、 圖4c和圖5c、 圖4d和圖5d所示, 表明調Q激光工作在單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌態．

圖4 在不同腔內光子往返損耗下, 被動調Q激光的時間序列

圖5 在不同腔內光子往返損耗下, 被動調Q激光的相圖

為了進一步分析激光器動力學狀態的演化路徑, 數值模擬了調Q激光峰值功率隨腔內光子往返損耗變化的分岔圖(圖6)． 圖6a是腔內光子往返損耗從0.036 43到0.036 51變化時, 激光器呈現出從脈沖混沌態到單周期態的演化路徑; 圖6b是腔內光子往返損耗從0.048 83到0.048 91變化時, 激光器呈現出由單周期態進入脈沖混沌態的倍周期分岔路徑． 另外, 圖6a和圖6b中黑色虛線左側和右側部分也出現了極端事件．

圖6 調Q激光峰值功率隨腔內光子往返損耗變化的分岔圖

2.3 腔內光子往返時間對被動調Q激光非線性動力學的影響

對于被動調Q固體激光器來說, 增益介質、 可飽和吸收體、 諧振腔的長度共同決定了腔內光子往返時間． 當增益介質和可飽和吸收體的長度固定時, 通過調節諧振腔的長度可調節腔內光子往返時間． 為了數值模擬腔內光子往返損耗對被動調Q激光非線性動力學的影響, 將泵浦速率和腔內往返損耗分別設置為600 s-1和0.04． 圖7和圖8是在不同腔內光子往返時間下, 調Q激光的時間序列和相圖． 當腔內光子往返時間為800.772 000,800.771 000,800.770 940,800.770 820 ps時, 調Q激光的時間序列和相圖見圖7和圖8, 說明被動調Q激光器的動力學狀態呈現為單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌態．

圖7 不同腔內光子往返時間下, 被動調Q激光的時間序列

圖8 不同腔內光子往返時間下, 被動調Q激光的相圖

為了進一步研究腔內光子往返時間對被動調Q激光器非線性動力學的影響, 本研究數值模擬了調Q激光峰值功率隨腔內光子往返時間的演化路徑(圖9)． 圖9a和圖9b是腔內光子往返時間在799.567 300～799.567 700,800.770 700～800.772 100 ps范圍內, 激光器表現出單周期態進入脈沖混沌態的倍周期分岔路徑以及由脈沖混沌態到單周期態的演化路徑． 圖9a黑色虛線右側部分和圖9b黑色虛線左側部分表明出現了極端事件．

圖9 調Q激光峰值功率隨腔內光子往返時間變化的分岔圖

3 結論

本研究基于四能級系統速率方程, 利用四階龍格-庫塔法和自適應變步長法數值模擬了被動調Q Nd: YAG固體激光器的非線性動力學特性, 分析了泵浦速率、 腔內光子往返損耗、 腔內光子往返時間等關鍵系統參量對被動調Q激光器非線性動力學的影響． 數值模擬結果表明: 通過選取不同的關鍵參量數值, 被動調Q固體激光器可工作在單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動力學態; 當連續變化其中一個關鍵參量的數值, 激光器經歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進入脈沖混沌態, 呈現出倍周期分岔演化路徑; 激光器也可歷經脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到周期態, 呈現出脈沖混沌到周期態的演化路徑． 首次給出隨關鍵系統參量變化, 被動調Q固體激光器動力學態呈現出多種演化路徑． 此外, 數值模擬結果呈現了處于脈沖混沌態的被動調Q固體激光器出現極端事件的情形．