介電高彈聚合物運動軌跡跟蹤控制研究

王超隆 楊熙鑫 官源林

摘要：針對介電高彈聚合物的軌跡跟蹤控制問題，本文提出自適應徑向基函數（radial basis function，RBF）神經網絡滑?？刂疲╯liding mode control，SMC）算法，實現了對介電高彈聚合物運動軌跡的跟蹤控制。首先考慮超彈性和粘黏性等引起動力學模型中的未知項，外界干擾導致模型的不確定性，利用RBF神經網絡的任意逼近連續函數特性、滑?？刂频聂敯粜院妥赃m應控制在線調整控制率設計控制器，并構造Lyapunov函數，證明控制器的穩定性，實現了對介電聚合物軌跡跟蹤控制，結果顯示聚合物的位置跟蹤極值誤差小于1%，響應時間約為0.7 s，表明系統具有較高的動態性能，實現了結構的線性運動軌跡跟蹤。同時，分析了激勵頻率和寬度預拉伸比對結構跟蹤軌跡的影響規律，設計了系數參數的優化方法。研究結果表明，該控制器提高了軌跡跟蹤的精確度，驗證了所提控制系統具有較強的自適應性、穩定性及優化方法的有效性。該研究為軟體機器人的仿生驅動與軌跡跟蹤控制提供了理論依據。

關鍵詞：介電高彈聚合物； 超彈性； 粘彈性； RBF神經網絡； 滑?？刂?/p>

中圖分類號： TP13; TP183

文獻標識碼：A

文章編號：1006-9798（2023）02-0046-07； DOI：10.13306/j.1006-9798.2023.02.007

基金項目：山東省自然科學基金資助項目（ZR2019PEE018，ZR2020QE158）；山東省科技型中小企業創新能力提升資助項目（2021TSGC1063）

作者簡介：王超?。?990-），男，碩士研究生，主要研究方向為介電高彈聚合物的驅動與控制。

通信作者：楊熙鑫（1984-），女，博士，副教授，主要研究方向為介電高彈聚合物的仿生驅動與控制。 Email：yangxixin@qdu.edu.cn

隨著科學技術的發展進步，智能軟體材料得到了廣泛應用?；谥悄苘涹w材料的軟體機器人引起人們關注，與傳統剛性機器人相比，它具有更好的靈活性、生物親和性及環境適應性。介電高彈聚合物作為軟體機器人常用的驅動材料之一，具有響應速度快、驅動位移大和能量密度高等特點，在軟體機器人領域具有廣闊的應用前景［1-3］。然而其超彈和粘彈等特點可導致介電高彈聚合物數學模型的非線性強，對運動軌跡的線性跟蹤控制研究極具挑戰。近年來，許多研究者從材料［4-6］和力學分析［7-8］方面，對介電高彈聚合物開展了相關研究，建立相應的數學模型，但通過模型獲得材料的運動響應存在強非線性，其運動控制理論引起廣泛關注。ZHANG R等人［9］提出標準的閉環比例、積分和微分（proportional，integral and differential，PID）控制；王紅紅等人［10］提出了模糊控制和滑?？刂品椒?，但這些控制方法在控制介電高彈聚合物的非線性動態方面效果較差。為克服PID固有的局限性，G.RIZZELLO等人［11-12］提出了PID和非線性補償的整合方法，實現了運動軌跡控制，但該方法未考慮粘彈性。針對材料的粘彈性，徐健等人［13］提出了天牛須搜索（beetle antennae search，BAS）算法，優化PID的控制方法，實現對軟體機器人的精準控制，但該算法未考慮抗干擾能力，跟蹤誤差較大；CHEN H Q等人［14］針對介電彈性體致動器具有較大的變形能力和環境兼容性，建立了有界和無界最優控制策略，通過實時調節施加的電壓，抑制平衡位置周圍的隨機振動；程林云等人［15］提出一種基于徑向基函數神經網絡的自適應控制方法，提高了跟蹤精度、抗干擾能力和魯棒性，然而運行時間較長，增加了運動軌跡的響應時間；王亞午等人［16］提出擾動抑制的自適應軌跡跟蹤控制策略，實現介電高彈聚合物的跟蹤控制目標，但未考慮粘黏性對運動跟蹤軌跡的影響；JIANG Z等人［17］考慮彈性體固有的粘彈性和非線性，設計了基于相對蠕變模型的蠕變補償器以消除蠕變，開發了一種基于零振動輸入整形技術的振動補償器，以抑制蠕變補償彈性體的振動動力學；LI Y L等人［18］基于搭建的動態方程，提出閉環反饋控制算法，但未考慮頻率變化的影響；樊亞玲等人［19］結合等雙軸預拉伸情況下系統的狀態方程，分析不同預拉伸比下極限電致應變、電場強度和電位移等參數關系，獲取該介電高彈聚合物的運動穩態工作區間?；诖?，本文結合介電高彈聚合物粘彈性的非線性動力學模型，提出一種基于RBF神經網絡的自適應滑?？刂品椒?，實現對介電高彈聚合物線性運動軌跡的跟蹤控制。該研究為實現介電高彈聚合物驅動軟體機器人的應用奠定了理論基礎。

1 問題描述

1.1 動態模型

為研究介電高彈聚合物的非線性運動與主動控制，本文設計了基于軟體與剛性材料相結合的介電高彈結構［20］。介電高彈聚合物結構示意圖如圖1所示。

由圖1a可知，介電高彈聚合物具有不可壓縮性，設L1、L2 和L3分別為初始狀態下材料的長度、寬度和厚度，ρ為密度，材料因超彈性具有電致大變形的優良性。為提高材料的運動性能，需對材料進行預拉伸。圖1b中，λ1～λ3為聚合物在方向1～3上預拉伸長度、寬度和厚度的變形比，獲得拉伸后，長度、寬度和厚度分別為λ1L1 、λ2L2 和λ3L3 。為了確保材料處于純剪切狀態，利用剛性框架限制2個方向變形。假設結構彈簧剛度為k，棒子質量為m，電位移表示為

2 介電高彈聚合物運動軌跡控制方法

基于RBF神經網絡的自適應滑?？刂葡到y如圖2所示。

2.1 RBF神經網絡逼近器設計

為了研究介電高彈結構的運動軌跡跟蹤，針對聚合物狀態空間方程中f（x）和g（x）中許多參數未知或無法測量的問題，本文提出基于RBF神經網絡方法來逼近未知非線性函數。RBF神經網絡結構圖如圖3所示。

3 仿真實驗

3.1 聚合物非線性運動軌跡

為了驗證所提自適應控制方法的有效性和穩定性，本研究在Maltab上對控制模型進行仿真分析。設計初始條件x0=［pi/600］，目標軌跡為標準正弦信號，滑模面系數c=14，介電高彈結構的模型參數如表1所示。

在1 Hz標準激勵頻率下，給出介電高彈結構的期望軌跡與未加控制的實際運動軌跡，聚合物位置軌跡跟蹤隨時間變化曲線如圖4所示。圖中，紅色曲線為介電高彈聚合物的目標軌跡，黑色虛線為系統的實際響應曲線。由圖4可以看出，因聚合物具有超彈性，使其運動軌跡呈現出非線性和不可控性，實際軌跡上、下波動較大，實際運動頻率與目標頻率不一致，與目標運動軌跡差距較大。為了更好的跟蹤目標軌跡，需要引入控制器來消除或減少系統的超彈性影響，實現對介電高彈聚合物的運動軌跡高精度跟蹤。

3.2 基于RBF神經網絡滑?？刂凭酆衔镞\動軌跡

在1 Hz標準激勵頻率下，介電高彈結構的運動軌跡跟蹤響應誤差，聚合物誤差隨時間變化曲線如圖5所示。圖中，紅色曲線為期望運動軌跡，黑色虛線為實際運動軌跡，圖5a為兩者軌跡之差。

由圖5可以看出，該控制方法能夠實現介電高彈結構按照期望的漸進跟蹤，文獻［17］中極值誤差為1.76%，響應時間為1.2 s（跟蹤誤差達到穩態時間），與其相比，本文方法所得極值誤差約為1%，響應時間約為0.7 s，具有更好的動態特性。該研究提高了軌跡跟蹤的精確度，無需設計觀測器，避免了計算量，驗證了所提方法的有效性。

3.3 不同運動頻率下軌跡跟蹤控制

為了研究運動頻率對介電高彈結構的運動軌跡影響，結合上述參數，選用5種不同的低頻激勵信號（頻率分別為1 ，1.5，2 ，2.5和3 Hz），分析結構軌跡運動曲線及其誤差，在不同頻率下，聚合物位置跟蹤和誤差隨時間變化曲線如圖6所示。由圖6可以看出，該控制方法能夠實現結構的線性運動軌跡跟蹤，但隨著頻率的線性增大，運動軌跡極值誤差逐漸增加，由0.01～0.15，響應時間逐漸變長，由0.7～4.7 s。

為了減少頻率變化對極值誤差和響應時間的影響，研究滑模系數c對運動軌跡跟蹤的影響規律?；Ｏ禂嫡{節前后極值誤差與響應時間如表2所示。由表2可以看出，隨著頻率的線性增加，調整滑模系數也線性增加，結構運動軌跡曲線的極值誤差和響應時間大幅度降低，動態性能獲得極大的改善。調整后，在運動頻率為3.0 Hz時，最大誤差較調整前減少92.7%，調整時間減少了80.9%。說明通過改變滑模系數，能夠有效調節聚合物運動的動態性能，提高控制方法的魯棒性。

為了更直觀地觀察調整滑模系數對運動軌跡的影響結果，本研究通過柱狀圖進行分析，滑模系數對運動軌跡的極值誤差與響應時間影響結果如圖7所示。在其他條件不變及激勵頻率小范圍線性增加下，系統動態性能指標逐漸增大，調整滑模系數c之后，系統的極值誤差和響應時間大幅度減小，證明參數優化能夠改善結構動態性能，提高聚合物軌跡跟蹤的精準性。

3.4 不同寬度伸縮比下運動軌跡跟蹤控制

為了研究結構參數對運動軌跡控制方法的穩定性影響，分析不同寬度伸縮比λ2對結構運動軌跡曲線的影響。在λ2線性變化下，不同寬度伸縮比的運動軌跡曲線和誤差如圖8所示。由圖8可以看出，所有曲線的最大誤差約為0.01，調整時間均接近0.7 s，說明改變寬度伸縮比λ2對聚合物運動軌跡跟蹤控制沒有太大影響，證明控制方法具有較強的自適應性和穩定性。

4 結束語

本文提出了一種自適應RBF神經網絡滑?？刂品椒?，實現對聚合物軌跡跟蹤控制。仿真結果表明，在標準激勵頻率下，跟蹤曲線具有較好的動態性能指標，驗證了所提方法的簡潔性和有效性。在不同激勵頻率下，隨著頻率的增大，動態性能逐漸變差，運用所提參數的優化方法，能夠大幅度提高結構的性能。不同寬度預拉伸比下系統運動軌跡表明，系統不受寬度預拉伸比變化的影響，說明所提方法具有較強的自適應性和魯棒性。本文控制方法為聚合物廣泛應用提供了思路和方法，為軟體機器人的仿生驅動與控制研究提供理論依據，具有一定的應用價值。由于所提控制器的趨近律為一般趨近律，會造成運動曲線在平衡點附近發生抖震現象，后續會繼續研究減少或消除該現象，由于線性滑模面收斂較緩慢，增加了響應時間，接下來會考慮用其他滑模面進行仿真探究。

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Abstract：This paper proposes an adaptive Radial Basis Function （RBF） neural network sliding mode control （SMC） algorithm for the trajectory tracking control of dielectric high-elasticity polymers. Firstly，the unknown terms in the kinetic model caused by hyperelasticity and viscosity，and the uncertainty of the model caused by external disturbance are considered. The controller is designed by using the arbitrary approximation of continuous function property of RBF neural network，the robustness of sliding mode control，and the online adjustment of control rate by adaptive control. The Lyapunov function is then constructed to demonstrate the stability of the controller as a means of achieving tracking control of the dielectric polymer trajectory. The results show that the extreme value error of the polymer position tracking is less than 1% and the response time is 0.7 s，indicating that the system has high dynamic performance and achieves linear motion trajectory tracking of the structure. Finally，the influence of excitation frequency and width pre-stretch ratio on the tracking trajectory of the structure is analysed，and an optimisation method of the coefficient parameters is designed. The results show that the effectiveness of the optimisation method improves the accuracy of the trajectory tracking，and also verifies that the proposed control system has strong self-adaptability and stability，which provides a theoretical basis for the research of bionic drive and trajectory tracking control of soft robots.

Key words：dielectric high-elastic polymer； hyperelasticity； viscoelasticity； radial basis function neural network； sliding mode control