從點陣看算式

□ 賈陸宇 郜舒竹

點陣是表征數字符號的直觀模型，常作為數形結合的載體，出現于教科書中數的認識、表內乘法、倍數與因數等內容中，用以幫助學生建立具體與抽象間的聯系。長期以來，小學數學學科關于“數與運算”主題的課程設計與課堂教學，更重視計算的速度與準確性，相對忽視運用數形結合的方式“發現”算式間關系的過程。

學生對點陣的觀察及其動態變換的操作，能夠幫助他們進一步理解算理、明晰算法，提升對算式間等價關系的認知。在實際教學中，教師應重視對此類直觀模型的運用，通過呈現直觀圖式輔助教學，將抽象的“關系”形象化。

一、歷史溯源

點陣是人們認識并理解“數與運算”的重要工具。它的歷史源遠流長，可追溯至古希臘時期。當時，畢達哥拉斯（Pythagoras）將對世界的科學觀察與數聯系起來，發現數與已經存在或即將形成的事物間存在“結構上的相似性”。按照畢達哥拉斯、亞里士多德（畢達哥拉斯學派的追隨者）的觀點，結構上的相似性體現為“數”幾乎是所有事物的組成元素，世間萬物都可以用“數”來表達，如固定的琴弦長度比能產生和諧的音調、天體與地球的距離適宜使得宇宙間球體轉動的聲音變得和諧等。［1］

基于數與世間萬物在結構上的相似性，畢達哥拉斯相信紛繁雜亂的世界蘊含著亙古不變的“數學規律”，即“數（Number）”，并認為數是永恒的，獨立于感性世界而存在，人們理解世間萬物的關鍵在于數，即萬物皆數［2］；相信一切形體均由數衍生而來，因而常常通過擺放沙灘上的卵石來表示數［3］，適當擺放一定數量的卵石能夠形成規則幾何圖形。由此，畢達哥拉斯學派按照幾何圖形的形狀對“數”進行了分類，衍生出“形數（Figurate Numbers）”的概念，如三角形數、正方形數、五邊形數等。［4］比如從視覺上來看，因為3 塊卵石能夠以正三角形的形式進行排列，所以“3”就被認為是一個三角形數（如圖1）。

圖1 3塊卵石的排列示意圖

“形數”的出現使得形與數之間的內在聯系得以凸顯。通過數與形的相互轉化，抽象的事物能夠直觀化，復雜的事物能夠簡單化。因此，后人繼承并發揚了畢氏學派“以形表數、以數解形、數形結合”的思想，用具有均勻間隔的“點（Dots）”代替卵石，通過構造點的規則幾何排列來表示數，進而形成“點陣（Arrays）”的概念。

從“形數”到“點陣”的演進過程，充分體現出直觀圖式對理解抽象概念的重要性，也揭示了同一集合對象間或不同集合對象間的關聯性。［5］同一集合內，對象間“存在聯系”是因為它們具有“相似之處”。比如，若將“形數”視為集合，三角形數、正方形數、五邊形數等對象均因“能夠形成規則幾何圖形”而具有了共性。正是這樣的共性為抽象算式之間的聯系的形象化提供了可能。

二、算式的形象化

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中指出，學生要在具體情境中了解四則運算的意義，感悟運算之間的關系。［6］若想感悟運算間的關系，就要找到算式與算式間的異同，其中最直觀的方式就是“看到”變與不變，為此就需要“以形表數”，將算式中蘊含的思維過程可視化［7］。

點陣可以提供有關加減法、乘除法等運算的具體模型，具有將抽象算式、算法可視化的功能。［8］在點陣中，當一組對象可以按照某種標準模式排列而沒有剩余對象時，便能夠將某個數字或運算與一組對象關聯起來。［9］比如，當以“點”為單位時，圖2 所示的點陣便與數“4”存在關系。

圖2 點陣與數“4”存在關系的示意圖

在此基礎上，同一個點陣通過不同的劃分方式，還能夠與算式相聯系，并使得算式間的等價關系可視化。如圖3 所示，對于同一點陣，兩種不同的劃分方式從左到右分別聯系著算式“1+3=4”與“1+2+1=4”。

圖3 同一點陣的兩種劃分方式示意圖

在點陣中，除了以點為單位，還能以點集為單位，將點陣與乘除法相聯系。從以點為單位發展到排列和構造相等的數組，并以此作為集合計數的順序，也更符合學生先學習加減法、后接觸乘除法的思維過渡順序。［10］

綜上所述，點陣與運算緊密關聯，運算賦予點陣以“數”的意義，點陣又將運算以“形”的形式進行展現。同時，點陣在直觀與抽象之間搭建起一座橋梁，將數與算式變為“具體”的事物，使抽象的數學對象變得可視化，因“形”的關系變得直觀。

三、算式間的關系

美國華盛頓州立大學的David Slavit 認為，“運算”在數學課程體系中具有十分重要的意義，運算與運算間的關系應成為學生學習的重點內容，并據此提出“運算感（Operation Sense）”這一概念，用于描述學生在學習運算時能夠獲得的一些能力。同時，不同類別的兩個運算間還可以用其他方式進行聯系，如乘法為重復的加法，除法為重復的減法。［11］上述認知便屬于“運算感”中“算式與其他算式之間關系的認識”這一能力層級。這里的“關系”實質是指算式間的等價關系，體現為不同的算式可以得到相同的結果、不同的算式可用于描述同樣的數量關系兩個方面。［12］

運算關系的感悟，需要通過探尋運算間的“共性”來實現。而“運算”較為抽象，不易發現共同之處，所以需要先對同種運算中算式間的關系進行歸納總結，再由運算內部關系推及運算間的共性。

(一)同種運算間的算式關系

在加（減）法運算中，存在諸多“和”（“被減數”）相同的算式。從圖3可知，和相同的算式可以用相同點數的點陣來表示，算式間存在著“關系”。但這樣的結論并未觸及問題的本質，為此需進一步思考：對于同種運算中具有相同結果的不同算式，是什么將“它們”關聯起來的？

這里基于點陣的視角，通過“1+2+3=6”和“3+3=6”兩個加法算式進行探究。若將點陣中每一行所代表的數看作加法算式中的一個“加數”，這兩個算式就可以分別用圖4、圖5所示的點陣來表示。

圖4 算式“1+2+3=6”的點陣示意圖

圖5 算式“3+3=6”的點陣示意圖

圖4與圖5所示點陣中均包含“6”個點，這便是“共性”。此時，若按照圖6 所示變換方法對圖4 中的點陣進行動態變換，便可以得到一個每行均由三個點排列而成的點陣（如圖5）。

圖6 點陣動態變換示意圖

可見，在加法算式中，“和”為同一個數的算式均可以用總點數相同的點陣來表示，而加數的個數及每個加數的大小取決于點的排列方式。此外，從點陣的“表象”來看，進行位置變換的點始終是“一個一個”進行運動的。

同理，減法算式與減法算式之間的關系也可以用點陣的動態變換來說明。為避免歧義，將點陣中最下面一行所具有的點數視為“差”，而其余一行或多行中，每行所具有的點數均視為“減數”，點陣總點數則視為“被減數”。

因此在減法運算中，“被減數”為同一個數的減法算式，可以通過對點陣的點“一個一個”地進行位置變換，改變算式中“差”的大小，或對減數的大小及個數進行調整，使得它們變為同一種形式。

觀察點陣中的加法運算與減法運算可知，點“一個一個”地進行位置變換，既是加法運算中所有算式的共性，也是減法運算中所有算式的共性。位置變換方式（“一個”）則是運算算法中“單位”的幾何體現。因此可以說，在加法運算與減法運算中，是“相同的單位”將算式與算式聯系起來的。

在整數乘法運算（因數×因數=積）中，因數常表達著不同的內涵：第一個因數表達的是具體“對象（Object）”的屬性，也就是多少個“1”；第二個因數則不同，表達的是包含這種具體對象的“集合（Set）”。如乘法算式“4×5=20”，它的第一個因數“4”表示 4 個 1；第二個因數將“4 個1”視為單位“1”，表示包含5個單位“1”的集合。［13］

基于上述認知，這里將點陣中一行所具有的點數視為“具體對象”，點陣的總行數視為“集合中包含具體對象的個數”，點陣所具有的總點數視為“積”。那么，乘法算式“4×5=20”就可以用圖7所示點陣來表示。

圖7 算式“4×5=20”的點陣示意圖

若以“具體對象”為單位對點陣進行劃分，可以得到多種拆分方式。圖8 可理解為“4×2”和“4×3”這兩個小部分構成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×2+4×3”。

圖8 算式“4×5=4×2+4×3”的點陣示意圖

以同樣方式進行思考，圖9 可理解為“4×1”和“4×4”這兩個小部分構成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×1+4×4”。

圖9 算式“4×5=4×1+4×4”的點陣示意圖

從上述兩種劃分方式可以看出，算式與算式之間具有“關系”（4×1、4×2、4×3、4×4與4×5可以共存于一個算式之中）的原因是存在共性，即它們的具體對象均為4個1，且均將“4個1”視為新的單位。

在乘法運算中，一般是通過“具體對象×集合中具體對象的個數”得到“積”。作為乘法的逆運算，除法則是計算“積”（除法運算中的被除數）中包含了多少個具體對象（除法運算中的除數），即“集合中具體對象的個數”（除法運算中的商）是多少。若從點陣視角進行解讀，點陣中每一行具有的點數應視為“除數”，點陣所具有的總行數為“商”，點陣所具有的總點數為“被除數”。由此可知，除法運算是基于單位對總點數相同的點陣進行分解的過程，除法算式間也因有相同的“單位”而存在“關系”。

要注意的是，在除法運算中，不能通過改變單位的大小來牽強地認定兩個算式是相同的。舉個例子，雖然算式“6÷3=2”和“12÷6=2”的計算結果相同，但兩者并不能視為同一算式的不同形式。究其原因，“6÷3=2”中的單位為“3”（如圖10），而“12÷6=2”中的單位為“6”（如圖11）。

圖10 算式“6÷3=2”的點陣示意圖

圖11 算式“12÷6=2”的點陣示意圖

所謂計算結果“2”相同，實際上指的是“集合中包含具體對象的個數”相同，因此兩個算式間的聯系也只能定義為商相同的兩個除法算式。

從點陣中可以看到，在乘法運算與除法運算中，算式間的聯系在于它們均是基于“單位”所進行的組合與分解。

(二)運算間的關系

通過對“不同的算式可以得到相同的結果”原因的分析，以及對算式間關系的探索，可知加減乘除四種運算都是基于“單位”展開的，這便是四種運算之間的共性。［14］提煉出運算間的“共性”后，便可以開始在點陣的直觀圖中探尋運算間的關系。

對于一個包含16 個點的點陣，可以通過動態變換排列為多種形式，如圖12、圖13、圖14。圖12的點陣可以用來表示4+4+4+4=16、16-4-4-4=4、4×4=16、16÷4=4四個算式。

圖12 點陣排列方式（一）示意圖

圖13 點陣排列方式（二）示意圖

圖14 點陣排列方式（三）示意圖

若將點陣動態變換為圖13 的排列方式，則可以表示 8+8=16、16-8=8、8×2=16、16÷8=2 四個算式。

再看圖14，該點陣可以表示2+3+4+7=16、16-2-3-4=7 這兩個算式。如果將點陣再次進行動態變換，這個包含“16”個點的點陣還能用來表示更多的算式。

在上述三種排列方式中，通過對點陣進行不同解讀，可以表達出十個不同的算式，涵蓋加、減、乘、除四種運算。雖然運算方法不同，但它們都是基于“單位”進行的運算，也正由于這一共性的存在，才建立起了以單位為統領的四則運算的整體結構。［15］用點陣直觀感知算式間的關系，看似孤立的四種運算在點陣的動態變換下，從表象中剝離出了其所具有的共同內在本質，并融合成了一個密不可分的整體。

綜上所述，點陣是實現數形互化的有力工具，蘊含著豐富的課程價值：首先，點陣為抽象知識提供視覺圖形，幫助學生在頭腦中形成實體表象，實現由具體到抽象的思維過渡；第二，點陣提供可操作的活動空間，使得學生伴隨多樣的動態變換、圈畫等具身活動，實現思維與操作的相互作用、協調，逐步內化并建構整體性認知結構；第三，點陣具有美育價值，充分展現出數與形的和諧美及不同知識間的統一美，進一步激發學生對數學知識的探索欲望。因此在數學教學中，教師應當對點陣的課程價值予以高度重視，使其成為學習活動設計的課程資源，充分發揮其課程價值。