左R-模上Riesz空間的同態和同構性質研究

孫銳娟，湯建鋼，2*

（1.伊犁師范大學數學與統計學院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學應用數學研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

在20 世紀二三十年代，F.Riesz 等人分別將格序結構引入到向量空間，提出了Riesz空間概念，研究了Riesz空間的一些基礎性質.由于它是把具體的分析問題抽象在一種更加純粹的代數結構和格序結構中進行研究，由此發展出的概念和方法，應用也就更為廣泛、更加深刻.由于環的不一定可換，所以有了左模與右模之分.模的概念是19世紀提出的，但到20世紀40年代才引起重視；到70年代，人們認識到模是當代最重要的代數結構之一，其重要性超過了線性空間，并且模是域上線性空間概念的推廣.因此，將格序結構引入模的概念中，將Riesz空間推廣到模很有必要.文獻［1］和［2］由淺入深地敘述了范疇與同調代數的基本知識,開頭按照模的體系介紹了它的定義、子模、商模、模同態與同構及其性質，中間部分講述了范疇和幾類特殊模，在文獻的最后詳細地介紹了函子和同調的相關內容.文獻［3］中的前半部分詳盡地介紹了格論的基本性質與結構，后半部分就邁進了格論的專業研究，例如補格與布爾代數及同余關系與同余格繼而進入了偽補代數與stone代數這個頗為高深的領域.文獻［4］提出Riesz空間是有代數結構的序結構.文獻［5-9］將格序結構引入群、環中，得到了格序群、格序環，以及它們的一些基本性質.

同態與同構在代數中有著非常重要的作用，也是研究Riesz模范疇的先決基礎.因此，研究左R-模上Riesz空間的同態與同構的相關性質很有必要.文獻［10］研究了l-群的同構關系，將群論中的同構定理推廣到格序群，同時也研究了格序群的主凸l-子群的結構.文獻［11］用泛代數的方法研究了格序群上的同余關系，證明了一個格序群的同余格與它的l-理想格是同構的.文獻［12］將基本同態定理推廣到格序環和格序模中.本文在l-群、l-環的基礎上，基于對具有代數結構序對象的Riesz空間及其性質的研究，類比格序群和格序環的同態與同構的性質，研究了左R-模上Riesz空間的同態與同構的相關性質.

1 預備知識

定義1.1設(G,+)是一個Abelian群，≤是群G上的一個偏序關系，滿足?a,b,c∈G,a≤b?a+c≤b+c，則稱(G,+,≤)為一個Abelian偏序群.

定義1.2設(G,+,≤)是一個Abelian偏序群，如果偏序集(G,≤)是一個格，則稱(G,+,≤)為一個Abelian格序群，簡稱為Abelian l-群.

定義1.3設(R,+,·)是一個具單位元的環，≤是環R上的一個偏序關系，滿足?r,s,t∈R，

（1）r≤s?t+r≤t+s，

（2）0 ≤r,0 ≤s?0 ≤rs，則稱(R,+,·,≤)是一個偏序環.

注：記R+={r∈R|r≥0}，則定義1.3中的條件（2）等價于R+R+?R+.

定義1.4設(R,+,·,≤)是一個偏序環，如果偏序集(R,≤)是一個格，則稱(R,+,·,≤)是一個格序環，簡稱為l-環.

定義1.5設M為左R-模，(R,+,·,≤)是具單位元的偏序環，(M,+,≤)是Abelian偏序群，滿足?m,n,p∈M,?r∈R(r≥0)，都有m≤n，則m+p≤n+p,rm≤rn，則稱(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，簡稱為po-模.

注：記M+={m∈M|m≥0}，則定義1.5中的條件對?m,n∈M,?r∈R(r≥0)，若m≤n，則rm≤rn等價于條件?m∈M,?r∈R，若m≥0,r≥0，則rm≥0，并且等價于R+M+?M+.

定義1.6設(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，如果(R,+,·,≤)是具單位元的l-環，(M,+,≤)是Abelian l-群，則稱(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，也稱為格序左R-模，簡稱為l-R-模.

定義1.7設(M,+,≤)是一個l-R-模，(N,+)是(M,+)的子模，如果(N,≤)是(M,≤)的一個子格，并且R+N+?N+,則稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個子l-R-模.

定義1.8若N是l-R-模M的子l-R-模，且N是凸集，即對任意的m∈M,n1,n2∈N′，當n1≤m≤n2時，有m∈N′，則N′稱為M的凸子l-R-模.

定義1.9設(M,+,≤)是l-R-模，對任意m∈M，若m≥0，稱m是一個正元素，m≤0，稱m是一個負元素.自然地定義m的正部分是m+=m∨0，m的負部分是m-=(-m) ∨0，M的絕對值是 |m|=m++m-.

定義1.10設(M,+,≤)是一 個l-R-模，N是(M,+,≤)的子模，如果N滿足正規性條件，即?m∈M,?n∈N,若|m|≤ |n|時，則m∈N,稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個（序）理想.

2 基本內容

定義2.1設(M,+,≤)，(N,+,≤)是l-R-模，f:M→N是左R模同態，若對任意的x,y∈M，有

（1）f(x∨y)=f(x)∨f(y)，

（2）f(x∧y)=f(x)∧f(y)，則稱f為M到N的一個l-R-模同態，記作M～N.

設f:M→N是M到N的一個l-R-模同態，若f是單射，則稱f是l-R-模單同態.若f是滿射，則稱f是l-R-模滿同態.若f是雙射，則稱f是l-R-模同構（簡稱同構），也稱l-R-模M與N同構，記作M?N.若M=N，相應的同態（同構）叫做l-R-模M的自同態（自同構）.

設f:M→N是M到N的一個l-R-模同態，易見f(M)是N的凸子l-R-模.如果f:M→N是l-R-模單同態，則M的凸子l-R-模f(M)與M同構，我們稱這樣的f是l-R-模M到l-R-模N的嵌入映射.

定義2.2設f:M→N是l-R-模同態，把M的所有元素都映射到N的零元素的同態f(x)=0∈N，?x∈M稱為l-R-模零同態，記作0:M→N.

命題2.1設f:M→N是l-R-模同態，其中(M,+,≤),(N,+,≤)是左R-模上Riesz 空間,定義f:M→N的核與象分別為Kerf=f-1(0)={x∈M}，則Kerf是M的凸子l-R-模，Imf是N的凸子l-R-模.

證明：易知Kerf是l-R-模M的一個子模，由于Kerf=f-1(0)={x∈M}，對任意的x,y∈Kerf，有f(x∧y)=f(x)∧f(y)=0,故x∧y∈Kerf.同理可得x∨y∈Kerf.則(Kerf,≤)是(M,≤)的子格.?x,y,p∈Kerf,?r∈R(r≥0),當x≤y時，有rx≤ry,x+p≤y+p,因 此Kerf是M的 子l-R-模.若?x,y∈Kerf,z∈M,x≤z≤y,則f(x)≤f(z)≤f(y).由f(x)=f(y)=0，可得f(z)=0,即z∈Kerf.故Kerf是M的凸子l-R-模.同理可知Imf是N的凸子l-R-模.

命題2.2設(M,+,≤)，(N,+,≤)是l-R-模，若M′ 是M的一個凸子l-R-模，定義M/M′={M′+x|x∈M}，則M/M′是一個l-R-模.

證明：在M/M′={M′+x|x∈M} 中,定 義M′+x≥M′+y的充要條件為存在s∈M′,使得s+x≥y,(M′+x)∨(M′+y)=M′+(x∨y),(M′+x)∧(M′+y)=M′+(x∧y),則M/M′是一個格,易知M/M′對于加法(M′+x)+(M′+y)=M′+(x+y)可構成一個Abel加群,故M/M′是一個l-加群.

由模論知,對任意r∈R,M′+x∈M/M′,定義r(M′+x)=M′+rx,則M/M′是一個R-模.對任意的r∈R,(M′+x)∈(M/M′)+,則存在s∈M′,使得s+x≥0,因 為r(s+x)=rs+rx≥0，且rs∈M′，則r(M′+x)=M′+rx≥M′.任意的x1,x2,x3∈M，若M′+x1≥M′+x2，則 有(M′+x1)+(M′+x3)=M′+(x1+x3)≥M′+(x2+x3)=(M′+x2)+(M′+x3),因此M/M′是l-R-模.

命題2.3設f:M→N是l-R-模滿同態，其中(M,+,≤)，(N,+,≤)是左R-模上Riesz空間，定義l-R-模同態f的余核和余象分別為：Cokerf=Coimf=M/Kerf，則Cokerf和Coimf是l-R-模.其中是包含Imf的N的最小l-R-模.

命題2.4設f:M→N和g:N→P都是l-R-模同態，那么gf是M到P的l-R-模同態，稱為f與g的復合.

證明：由文獻［3］可知，gf是模同態.下證gf為格同態.對任意的x，y∈M，有g(f(x∨y))=g(f(x)∨f(y))=g(f(x))∨g(f(y))=gf(x) ∨gf(y)，同理可得g(f(x∧y))=gf(x) ∧gf(y)，故gf是l-R-模同態.

命題2.5設M,N,P都是l-R-模，f∈Hom(M,N),g∈Hom(N,P)，則

（1）若f,g都是l-R-模單同態，則gf是l-R-模單同態；

（2）若f,g都是l-R-模滿同態，則gf是l-R-模滿同態；

（3）若gf是l-R-模單同態，則f是l-R-模單同態；

（4）若gf是l-R-模滿同態，則f是l-R-模滿同態.

證明：由文獻［3］和l-R-模單同態和l-R-模滿同態定義可知結論顯然成立.

命題2.6設f是M到N的l-R-模同態：

（1）f為l-R-模單同態當且僅當Kerf=0；

（2）f為l-R-模滿同態當且僅當Cokf=0；

（3）f為l-R-模同構當且僅當Kerf=0，Cokf=0.

證明：（1）設f為l-R-模單同態，對任意的m∈Kerf，則f(m)=0=f(0)，由于f是單同態.故可得m=0，即Kerf=0.反之若Kerf=0，則對任意的m1,m2∈M，有f(m1)=f(m2)=0，可得f(m1-m2)=0.故有m1-m2=0，即m1=m2，故f為l-R-模單同態.

由（1）（2）可得（3）.

命題2.7設M，N，P都是l-R-模，f是M到N的l-R-模同態，則

（1）f為l-R-模單同態當且僅當對任意的l-R-模保序映射，g1,g2∈Hom(P,M)，若fg1=fg2，必有g1=g2.

（2）f為l-R-模滿同態當且僅當對任意的l-R-模保序映射,?1,?2∈Hom(N,Q)，若?1f=?2f，必有?1=?2.

證明：（1）對任意的p1,p2,p3∈P,r∈R,p1≤p2,設f為l-R-模單同態，因為fg1(p1)=fg2(p3)，則有g1(p1)=g2(p3)，g1(r(p1+p3)) ≤g1(r(p2+p3))，g2(r(p1+p3)) ≤g2(r(p2+p3))，故g1=g2.反 之，若g1=g2，則g1(p1)=g2(p3)，因為fg1=fg2，有fg1(p1)=fg2(p3).故f為l-R-模單同態.

（2）設f是l-R-模滿同態，?1f=?2f，但是?1≠?2，那么存在n∈N，?1(n) ≠?2(n).因為f是l-R-模滿同態，存在m∈M,使f(m)=n.所以?1f(m)=?1(n)≠?2(n)=?2f(m).這與?1f=?2f矛盾.因此必有?1=?2.反之，假若f不是l-R-模滿同態，Cokf=N/Imf≠0，取?1是N到N/Imf的自然l-R-模同態，?2是N到N/Imf的零同態，顯然?1≠?2.任意的但?1≠?2，矛盾，因此f是滿同態.

定理2.1設f:M→M′和g:M→N都是l-R-模同態，其中g是滿同態并且Kerg?Kerf，則存在l-R-模同態?:N→M′,使得f=?g.此外，Ker?=g(Kerf),Im?=Imf.所以?是單的當且僅當Ker?=Kerf，?是滿的當且僅當f是滿的.

證明：由于g是滿的，對任意的元素n∈N,必存在m∈M，使得g(m)=n.如果又有m1∈M，使得g(m1)=n,則g(m-m1)=0，從而m-m1∈Kerg?Kerf,即f(m-m1)=0,f(m)=f(m1).因此，只要規定?(n)=f(m)，就可定義一個同態映射?:N→M′滿足?g=f.下證交并同態.對于任意的n1,n2∈N，取m1,m2∈M，使得g(m1)=n1,g(m2)=n2，則對r1,r2∈R,有?(r1m1∨r2m2)=f(r1m1∨r2m2)=r1f(m1)∨r2f(m2)=r1?(n1)∨r2?(n2),?(r1m1∧r2m2)=f(r1m1∧r2m2)=r1f(m1)∧r2f(m2)=r1?(n1)∧r2?(n2).故? 是l-R-模同態.

定理2.2設φ:M→N是l-R-模滿同態，其中(M,+,≤)，(N,+,≤)是左R-模上Riesz空間，則

（1）Kerφ是M的凸子l-R-模；

（2）若M′是M的一個凸子l-R-模，則M/M′是一個l-R-模，且自然映射ν:M→M/M′是l-R-模滿同態；

（3）作為l-R-模M/Kerφ?N.

證明：（1）首 先Kerφ是l-R-模M的一個子模,Kerφ=φ-1(0)={x∈M} .對任意的x,y∈Kerφ有φ(x∧y)=φ(x)∧φ(y)=0，故x∧y∈Kerφ，同理可得x∨y∈Kerφ，則(Kerφ,≤)是(M,≤)的子格；?x,y,p∈Kerφ,?r∈R(r≥0).當x≤y時,有rx≤ry，x+p≤y+p,因 此Kerφ是M的 子l-R-模；若?x,y∈Kerφ,z∈M有x≤z≤y,可得z∈Kerφ，故Kerφ是M的凸子l-R-模.

（2）在M/M′={M′+x|x∈M} 中，定義M′+x≥M′+y的充要條件為存在s∈M′，使得s+x≥y，(M′+x)∨(M′+y)=M′+(x∨y)，(M′+x)∧(M′+y)=M′+(x∧y)，則M/M′是一個l-加群.由文獻［2］知，對任意r∈R,M′+x∈M/M′,定義r(M′+x)=M′+rx，則M/M′是一個R-模.對任意的r∈R,(M′+x)∈(M/M′)+,存在s∈M′，使得s+x≥0，因為r(s+x)=rs+rx≥0，且rs∈M′，則r(M′+x)=M′+rx≥M′.任意的x1,x2,x3∈M，若M′+x1≥M′+x2，則 有因此M/M′是l-R-模.

對任意x∈M，因為ν(x)=M′+x，由文獻［2］知ν是一個R模同態.對任意x∨y∈M，因為ν(x∨y)=M′+(x∨y)=(M′+x)∨(M′+y)=ν(x)∨ν(y)，同理ν(x∧y)=ν(x)∧ν(y).顯然ν是滿射，故ν是l-R-模滿同態.

（3）由（1）（2）和定理2.1顯然成立.

命題2.8設N和K是M的l-R-模，定義N+K={n+k|n∈N,k∈K}，則N+K是一個l-R-模.

證明：對任意N1，N2和K1，K2有(N1+K1)∨(N2+K2)=(n1+k1)∨(n2+k2)=(n1∨n2)+(k1∨k2)，(N1+K1)∧(N2+K2)=(n1+k1)∧(n2+k2)=(n1∧n2)+(k1∧k2)，其中n1,n2∈N，k1,k2∈K，則N+K是一個格.易知N+K對加法(N1+K1)+(N2+K2)=(n1+k1)+(n2+k2)=(n1+n2)+(k1+k2)可構成一個Abel加群，故N+K是一個l-加群.

由文獻［2］可知，對任意的r∈R，n+k∈N+K，定義r(n+k)=rn+rk，則N+K是一個R模.對任意的r∈R+,n+k∈(N+K)+，則存在n1∈N,k1∈K，使得(n+k)+(n1+k1)=(n+n1)+(k+k1) ≥0，因 為r((n+k)+(n1+k1))=r(n+k)+r(n1+k1)=(rn+rk)+(rn1+rk1)=(rn+rn1)+(rk+rk1)≥0，且(rn+rn1)+(rk+rk1)∈N+K，則r(n+k)=rn+rk≥0，對任意n1,n2,n3∈N,k1,k2,k3∈K，若n1+k1≥n2+k2，則可得(n1+k1)+(n3+k3)=(n1+n3)+(k1+k3)≥(n2+n3)+(k2+k3)=(n2+k2)+(n3+k3)，因此N+K是一個l-R-模.

定理2.4設N和K都是M的凸子l-R-模，則K是N+K的凸子l-R-模，N∩K是N的凸子l-R-模，且(N+K)/K?N/(N∩K).

證明：由文獻［1］知，K是N+K的子模，對任意的k1,k2∈K，有k1∧k2=(0+k1)∧(0+k2)∈K,k1∨k2=(0+k1)∨(0+k2)∈K,故(K,≤)是(N+K,≤)的子格.?r(＞0)∈R,k1,k2,k3∈K,若k1≤k2，則r(k1+k3)≤r(k2+k3)=rk2+rk3，則K是N+K的子l-R-模.任意的k1,k2∈K，n+k∈N+K，當k1≤n+k≤k2時，可得n+k=0+k=k∈K，因此可知K是N+K的凸子l-R-模.同理可得N∩K是N的凸子l-R-模.

設f:N→(N+K)/K，由文獻［1］知，f是模同態，且f是滿的.下證f是格同態.對任意的n1,n2∈N,有f(n1∨n2)=(n1∨n2)+K=(n1+K)∨(n1+K)=f(n1)∨f(n2),f(n1∧n2)=(n1∧n2)+K=(n1+K)∧(n1+K)=f(n1)∧f(n2).故f是l-R-模滿同態.

若n∈Kerf,則f(n)=n+K=0,n∈K,但n∈N.故n∈N∩K.反之，設n∈N∩K，因為f(n)=n+K，而n∈K，則f(n)=K，即n∈Kerf.因此Kerf=N∩K，由定理2.2知(N+K)/K?N/(N∩K).

定義2.4設θ是l-R-模M上的一個等價關系，對任意m,n∈M,m與n具有關系θ，記作m≡n(modθ).如果對任意的m,n,p,q∈M,r∈R,m≡p(modθ),n≡q(modθ)?m∨n(modθ)≡p∨q(modθ)且m∧n(modθ)≡p∧q(modθ),m+n≡(p+q)(modθ)，rm≡rp(modθ),則稱θ是l-R-模M上的同余關系,對任意m∈M，m所在的等價類記作m/θ，即m/θ={n∈M|n≡m(modθ)}.則稱M/θ={m/θ|m∈M}為M關于同余關系θ的商.

定理2.6設M是一個l-R-模,θ為M的一個同余關系，0 是M的零元，任意r∈R,令K=0/θ={m∈M|m≡0(modθ)}，則K是M的凸子l-R-模且對任意的m,n∈M,m≡n(modθ)?m-n∈K.反之，設K是M的一個凸子l-R-模，在M上規定一個二元關系θ:m≡n(modθ)?m-n∈K,則θ是M上的同余關系.

證明：（1）設θ是M上的一個同余關系，r∈R，令K=0/θ={m∈M|m≡0(modθ)}，由模論可知rm-0∈K，故rm≡0(modθ)，p∈M,m∈K，則p≡p(modθ)，m≡0(modθ)，-p≡-p(modθ)，從而p+m-p≡p+0-p(modθ)，即p+m-p≡0(modθ)，p+m-p∈K，且對任意m,n∈K,m≡0(modθ),n≡0(modθ),rm≡0(modθ),從而m∨n≡0 ∨0(modθ)≡0(modθ)，m∧n≡0 ∧0,(modθ)≡0(modθ),m+n≡0+0(modθ)≡0(modθ),-m≡0-m(modθ)≡(0-0)(modθ)=0(modθ)，從 而m+n,-m,rm,m∧n,m∨n∈K，對任意的r∈R+，當m∈K+，顯然有rm≥0,rm∈K，所以K是M的l-R-子模.

對任意p∈M,m,n∈K，若m≤p≤n，則p∧m=m,p∧n=p,由m≡0(modθ)≡n(modθ)，有p∧m≡p∧n(modθ)，即m≡p(modθ)，從而p≡m(modθ)≡0(modθ)，從而p∈K，所以K是凸集，即K是M的凸l-R-子模.

對任意的m,n∈M，若m≡n(modθ)，則由-n≡-n(modθ)，m-n≡n-n(modθ)，即m-n≡0(modθ)，m-n∈K.反之，若m-n∈K，則m-n≡0(modθ)，m-n+n≡0+y(modθ)，即m≡n(modθ).

（2）設K是M的一個凸子l-R-模，在M上規定一個二元關系θ:m≡n(modθ)?m-n∈K.由模論可知θ是模M 上的同余關系,現設m,n,p,q∈K，則m-n∈K,p-q∈K,(m-n)∨(p-q)∈K,(m-n)∧(p-q)∈K，

從而(m-p)∧(n-q)≤m∧n-p∧q≤(m-p)∨(n-q).

因為K是凸的且(m-n)∨(p-q)∈K,(m-n)∧(p-q)∈K，所以m∧n-p∧q∈K，即m∧n≡p∧q(modθ).同樣可證m∨n≡p∨q(modθ)，故θ是M上的同余關系.