質點沿對數螺線運動的速度和加速度

陳 彥, 王 威

(揚州職業大學, 江蘇 揚州 225009)

《理論力學》中運動學部分關于點的變速曲線運動給出了點的速度、切向加速度、法向加速度和全加速度的一般計算公式[1],但經典的例子不是很多,只有一道擺線(或旋輪線)和一道阿基米德螺線的例題。由于變速曲線運動本身的復雜性,所以必須和一般曲線的幾何性質結合起來加以研究。對數螺線是質點切向、法向加速度均為常數的平面運動軌跡[2-3]。質點能不能以等角速度繞固定點轉動的同時又沿著對數螺線運動?邵云以勻速轉動的水平光滑直管內小球的離心運動為例給出了肯定的答案[4],但是并沒有給出質點速度和加速度的一般計算公式,也沒有清楚地闡明質點分別在自然軸系、極坐標系和動參考系中速度矢量和加速度矢量的內在統一性以及和對數螺線的幾何性質有何關聯,筆者針對這些問題進行分析討論。

1 質點沿對數螺線運動的速度與加速度公式

對數螺線在極坐標系(ρ,θ)下的一般方程為:

ρ=aebθ(a>0,b≠0)

(1)

它的圖形如圖1所示,從起點A(ρ=a,θ=0)出發,逆時針轉向,隨著極角的增大,當b>0時,越繞越遠離極點;當b<0時,越繞越靠近極點而永遠達不到極點。對數螺線最重要的幾何性質就是等角性,即曲線上任意一點的切矢與徑矢成固定角度α=arccot(b)(0<α<π,α≠π/2),α為對數螺線的傾斜度,所以對數螺線又叫等角螺線。

圖1 對數螺線

1.1 質點沿對數螺線運動的速度

將對數螺線在極坐標系下的方程轉化為直角坐標系下以θ為參數的參數方程[5]如下:

(2)

如果質點從起點A(ρ=a,θ=0)開始繞極點等角速度轉動,并且沿著對數螺線運動,設角速度為ω,以逆時針轉動為正,順時針轉動為負,從而θ=ωt,先將其代入方程(1),得到極徑ρ與時間t的關系式(3),再代入方程(2),轉化為以時間t為參數的參數方程(4),如下:

ρ(t)=aebωt(a>0,b≠0,t>0)

(3)

(4)

已知參數方程形式的弧微分公式[5]如下:

(5)

將方程(4)代入式(5)并化簡得

(6)

這樣質點在任意時刻的線速度為:

(7)

τ為切向單位矢量,指向與質點的運動方向一致,根據教材,公式有[6]

(8)

將方程(4)代入式(8)并化簡得:

τ=(cos(ωt+arccotb),sin(ωt+arccotb) )

=(cos(ωt+α),sin(ωt+α) )

(9)

根據《理論力學》中速度在極坐標系中的投影式,將方程(3)與θ=ωt代入,計算結果如下:

(10)

1.2 質點沿對數螺線運動的加速度

通過公式(6),求得質點在任意時刻沿對數螺線運動的切向加速度為:

(11)

從速度(7)和切向加速度(11)的表達式可以看出,當bω>0時,二者符號相同,質點作變加速曲線運動(圖2(a));當bω<0時,二者符號相反,質點作變減速曲線運動(圖2(b))。

(a)變加速曲線運動(α=β,ω>0,b>0)

(b)變減速曲線運動(π-α=β,ω>0,b<0)圖2 質點沿對數螺線運動

已知參數方程形式的曲率公式如下:

(12)

將方程(4)代入式(12),求出質點在任意時刻所在位置的曲率,并化簡得

(13)

從而求得質點在任意時刻沿對數螺線運動的法向加速度為

(14)

n為法向單位矢量,如圖2所示,指向曲線內凹一側,可由τ旋轉90°得到

n=(-sin(ωt+α),cos(ωt+α))(ω>0)

n=(sin(ωt+α),-cos(ωt+α))(ω<0)

(15)

所以全加速度大小

(16)

如圖2所示,它與切向加速度之間的夾角的余切為

(17)

所以β=arccot|b|(0<β<π/2),此角度恰好等于對數螺線的傾斜度或其補角,結合對數螺線的等角性得出結論:全加速度的方向恰為徑矢方向或者與之關于內法線軸對稱的方向。

根據《理論力學》中加速度在極坐標系中的投影式,將方程(3)與θ=ωt代入,計算結果如下:

(18)

容易驗證

(19)

aρ即為全加速度在徑矢方向的投影,因為a、b和ω都不等于0,所以aθ肯定不為0,也就是全加速度在θ方向必然有分量。假設質點沿著對數螺線逆時針轉動(ω>0),不管作變加速運動(b>0)還是作變減速運動(b<0),全加速度的方向一定是沿著與徑矢關于內法線軸對稱的方向,且指向曲線內凹一側,如圖2所示;而順時針轉動(ω<0)的情況正好相反。

2 應用實例

如圖3所示,內壁光滑的直管在水平面內繞其端點O以勻角速度ω轉動,設初始時刻t=0,此時直管位于Ox軸,質量為m的小球相對靜止于管內A點,OA=k。隨著直管的轉動,小球在離心力的作用下被甩出。

(a)小球的速度

(b)小球的加速度圖3 勻速轉動光滑直管內小球的離心運動

設t時刻小球的極坐標為(ρ,θ),如果以地面為定參考系,小球的絕對速度為va,絕對加速度即全加速度為aa;如果以轉動的直管為動參考系,小球的相對速度為vr,相對加速度為ar。牽連點為A點,牽連速度為ve,牽連加速度為ae,由于牽連運動為定軸轉動,所以小球存在科氏加速度aC。根據文獻[4]中的結論,在直管旋轉半圈后,即θ>π時,小球的運動軌跡近似為對數螺線,此時小球的運動軌跡方程為:

(20)

對比方程(3),顯然a=k/2,b=1,所以此對數螺線的傾斜度α=π/4。

2.1 小球的速度

在定參考系中分析小球在t時刻的速度,將a和b代入式(7),得小球的線速度即絕對速度:

(21)

其中τ=(cos(ωt+π/4),sin(ωt+π/4)),從圖3(a)中可以看出小球的速度方向與直管徑向的夾角即為此對數螺線的傾斜度。

在轉動參考系中分析小球的速度,將a和b代入式(10),并且小球的相對速度vr和牽連速度ve的大小與速度在極坐標系中的投影滿足

(22)

所以小球的相對速度vr剛好等于速度在極坐標系中的徑向分量vρ,而牽連速度ve剛好等于速度在極坐標系中的環向分量vθ,方向如圖3(a)所示,結論和文獻[4]一致。

如果從不同參考系的角度理解速度矢量的合成,即

v=va=vρ+vθ=vr+ve

(23)

2.2 小球的加速度

在定參考系中用自然軸系分析小球在t時刻的加速度,將a和b分別代入式(11)、式(14)和式(16),得小球切向加速度at和法向加速度an的大小:

(24)

方向如圖3(b)所示,得小球全加速度a的大小即絕對加速度aa的大小:

a=aa=kω2eωt=2ρ(t)ω2

(25)

根據上面的結論得知全加速度方向與速度方向夾角也等于π/4,由于小球作變加速運動,如圖3(b)所示全加速度方向必然與直管垂直,指向極角增大的地方。

在轉動參考系中分析小球的加速度,將a和b代入式(18),得aρ=0,從式(18)中可以看出加速度的徑向分量aρ中的第一項即相對加速度ar,第二項即牽連加速度ae,二者大小相等,方向相反,如圖3(b)所示,即

ar=ae=ρ(t)ω2

(26)

而式(18)中的環向分量aθ即為小球的科氏加速度aC,所以

aθ=aC=kω2eωt=2ωvr=2ρ(t)ω2

(27)

方向如圖3(b)所示,結論和文獻[4]一致。

如果從不同參考系的角度理解加速度矢量的合成,即

a=aa=at+an=aρ+aθ=ar+ae+aC

=aθ=aC

(28)

3 結語

對數螺線最重要的幾何性質就是等角性,結論剛好驗證了這一性質?？梢娫谝话闱€運動中,質點的切向和法向加速度均為常數這個條件,只是運動軌跡為對數螺線的充分但非必要條件。以勻速轉動的水平光滑直管內小球的離心運動為例,運用本文的計算公式,驗證了文獻[4]結論的正確性,并且清楚地闡明了質點分別在自然軸系、極坐標系和動參考系中速度矢量和加速度矢量的內在統一性。