基于STEAM理念的數學文化項目式學習案例開發

張維忠　林夢奇

【摘 要】STEAM教育的核心理念是將不同學科之間的知識和技能相互融合，以創造性的方式解決實際問題。文章立足STEAM理念，從項目啟動階段、項目規劃階段、項目開展階段、項目展示評價4個關鍵教學階段出發，以“神奇的多面體”為例，對基于STEAM理念的數學文化項目式學習案例的開發與實施進行教學設計。

【關鍵詞】STEAM理念；數學文化；項目式學習；多面體

STEAM教育是一種綜合性的教育模式，它將科學、技術、工程、藝術和數學融合在一起，旨在培養學生的創新能力、解決問題的能力和團隊合作精神。STEAM教育的核心理念是將不同學科之間的知識和技能相互融合，以創造性的方式解決實際問題。數學作為基礎學科，在科學、技術、工程和藝術等學科都具有廣泛的應用性，能夠統整其余4門學科于一體，實現跨學科融合。但STEAM理念作為一種舶來品，落地中國教育仍面臨著諸多困境［1］。一方面，囿于分科課程的限制，數學課程資源缺乏整合；另一方面，其落地困頓于教學實踐手段的融合。因此，STEAM理念作為當下數學教育的改革方向，迫切需要相應的載體，也值得為之進行大膽的探索與嘗試。以項目學習作為溝通數學文化與STEAM理念的橋梁，是實施跨學科教學的有效方式。為此，基于STEAM理念來開發數學文化項目式學習案例，建構相關的路徑與進行具體的案例教學，可以很好地發揮STEAM教育理念對數學教學的促進作用，為學生的數學核心素養培養以及學科融合發展提供借鑒。本文嘗試以“神奇的多面體”為例探討其具體開發與實施過程，課例內容可設置在學習人教版高中數學必修第二冊第八章“8.3 簡單幾何體的表面積與體積”之后，需要3課時。

一、項目啟動階段：主題與目標的確定

（一）主題確定

項目學習的主題是指某個待探究的數學課題或者亟待解決的情境性問題［2］。本文嘗試以“神奇的多面體”為例，圍繞多面體的制作及其蘊含的學科知識等展開。

項目“制作多面體”對學生的動手能力、自主探究能力等都提出了較高要求。在探究的過程中，需要學生尋找頂點數、棱數、面數之間的關系，作出多面體的展開圖，旨在培養學生數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理等數學學科核心素養。從正多面體到半正多面體等其他多面體，學生需要經歷類比探究的過程。同時，學生能夠初步感知拓撲學中的變與不變。多面體的發展伴隨著天文學的發展、哲學的追問以及人類思想的進步，使學生能在其中感受到歷史演變之中數學的魅力；在了解多面體中有關數學史的同時，學生也能體驗到畢達哥拉斯、歐拉等偉大數學家們孜孜不倦、追求真理的精神；還能夠在多面體模型中深刻感受數學的對稱美、和諧美以及數學的神奇［3］。除此以外，多面體與化學、生物、藝術設計等方面都有著密切的聯系。在本項目中，學生還需要借助信息技術手段作多面體展開圖、立體圖，對信息技術的運用也有一定考查。正是因為多面體與數學文化及諸多學科知識的緊密聯系，我們可以充分挖掘其中蘊含的數學文化與跨學科內涵，通過開發以“神奇的多面體”為主題的項目，進而開發系列拓展研究。

（二）目標確定

基于STEAM理念的數學文化項目式學習既要具備一般項目式學習目標的特征，又要凸顯數學的文化價值和跨學科價值。具體可分為基礎知識、綜合能力和精神品質［4］三個維度。

二、項目規劃階段

在明確項目主題與目標后，需要考慮與之相關的知識內容，形成知識結構圖。在項目規劃階段，將主題分解為可實施的子項目學習活動，并考慮進行子項目活動對學生的要求。

以“神奇的多面體”為項目活動主題，正多面體的發展歷史、設計制作及其立體模型，涉及不少數學文化知識，為項目的開展提供豐富的素材。這個主題可以分解成兩個大的任務以及每個任務下的子任務，如圖1。各個子任務需要調動起數學或其他學科的相關知識或能力，如晶體相關知識、藝術欣賞能力等。

項目活動的物理環境是以圍坐式布局的多媒體教室，師生人手配備學習平板，且平板中安裝有GeoGebra 3D計算器。在此階段還需準備好項目活動所需原材料，如剪刀、卡紙、多邊形磁力片、化學球棍模型學具等。為落實本文所提出的案例，在項目具體開展階段，將實踐路徑劃分為循環進行的五個階段，如圖2。

在項目規劃階段要充分考慮學生可能遇到的問題，具體開展時應通過適當的引導幫助學生搭建學習支架，使其能夠更好地抽象出數學問題，為后續開展其他相關項目式學習提供參考。本項目圍繞“任務一：制作正多面體”與“任務二：制作其他多面體”展開，并利用任務一的探究過程為學生搭建探究多面體的支架。任務二則主要類比任務一在課外自主完成探究，在課堂上進行成果展示。

三、項目開展階段

由于項目式學習以學生為中心，以小組合作探究為主要形式，內容涉及動手制作部分，全部使用課內教學時間可能不夠，因此可以采用課內課外相結合的形式。例如以小組為單位在課外完成查閱資料、準備材料、具體制作等活動，在課內開展設計方案、完成項目、匯報交流等核心內容。本案例可設置為3個課時。其中，任務一2課時，任務二1課時。

任務一：制作正多面體（第1課時）

（一）創設情境，呈現項目

創設情境 早在古典時期，多面體就已經為人所知。它不僅在數學中扮演著重要角色，還在哲學中有著重要影響，并且在不同的學科領域之間架起了橋梁。在阿什莫爾博物館中，陳列著4 000年前蘇格蘭新石器時期的正多面體刻石。多面體在我們的生活中無處不在。足球是最常見的半正多面體?；瘜W中的許多晶體也呈現出多面體的幾何模型。今天，讓我們一起走進“神奇的多面體”的項目式學習。

問題1-1 如圖3，觀察刻石圖片，它們有什么共同特征？

設計意圖：創設情境，讓學生了解生活中的多面體，并以其中一種特殊多面體——正多面體引入課堂。教師讓學生欣賞刻石，并尋找出正多面體的共同特征：各個面都是全等正多邊形，并且各個多面角都是全等多面角。

融入數學文化 一直以來，正多面體就被視作數學史上最美妙、最獨特的發現之一。早在公元前4世紀，古希臘數學家泰阿泰德第一個完整描述了正多面體。但是最后正多面體沒有被稱為“泰阿泰德立體”，而是被稱作“柏拉圖立體”。這是因為柏拉圖將正多面體和宇宙元素聯系起來，將生成宇宙的四原質火、氣、水和土的粒子分別賦予了正四面體、正八面體、正二十面體和正方體的形狀，還以正十二面體來表示宇宙本身。

設計意圖：通過數學史的融入，學生進一步了解了正多面體的發展歷程、感受數學文化的魅力，拓展學生的知識面。

跨學科內涵 16世紀德國天文學家開普勒將正多面體的研究從古希臘時期帶入了近代。他堅信天體之間如音樂般和諧，天體的運行遵循完美的數學規律。他借助柏拉圖立體與行星軌道的相切，得到了著名的太陽系行星模型。

正多面體在化學中也有著廣泛的應用?？此泣S金的黃鐵礦（二硫化鐵）晶體就是呈正十二面體形狀的，而貨真價實的黃金晶體是正八面體。通過研究碳原子的化學特性，化學家們還合成了立方烷C8H8、正四面體烷C4H4。

而在生物中，形體微小的放射蟲竟然也具有不同正多面體的形狀。還有一些病毒，像皰疹病毒、艾滋病病毒等也都呈正二十面體?？磥?，盡管這些病毒令人恐懼，但都是幾何高手。

正多面體作為一種對稱結構，總能讓人感受到秩序、莊重、和諧的美感。古語有云：“夫美也者，上下、內外、大小、遠近皆無害焉，故曰美?！崩锢锿馔饨跃馔滋?，方為“美”。早在公元前500年，伊特剌斯坎人就開始使用正十二面體的青銅器。古代的凱爾特人也同樣喜愛正十二面體形狀的物品。倫敦大英博物館的埃及館里，還可以看到托勒密王朝時期的正二十面體骰子。

問題1-2 生活中還有哪些熟知的正多面體？有哪些知名的正多面體模型？利用化學的球棍模型學具，動手擺出一些正多面體的晶體模型。

設計意圖：通過對數學與科學、數學與藝術的融入，學生進一步感悟正多面體的應用價值，為后續的深入學習提供有力支撐。將數學中的正多面體模型與化學晶體模型相聯系，學生能更直觀地感受正多面體的立體形式與晶體中的數學模型。

（二）動手實操，制作模型

問題2-1 想要制作一個正多面體需要哪些要素？利用GeoGebra 3D計算器畫出正多面體（如圖4），觀察它們的關鍵要素，將表2補充完整。

設計意圖：教師引導學生思考與討論正多面體的關鍵要素，包括面數、頂點數、棱數、平面展開圖等。教師指導學生借助GeoGebra 3D計算器作出正多面體，通過觀察3D幾何體得出各要素。列表表示面數、頂點數、棱數是為了方便后續正多面體個數與歐拉公式的呈現。而平面展開圖的繪制是為下一步制作正多面體做準備。

借助數字化工具，考查學生的直觀想象能力，不僅包含立體幾何，也有平面幾何知識。GeoGebra作為一個動態數學教學軟件，能夠使學生更加深入地理解和解決數學問題，同時能夠直觀展示幾何模型，將抽象的數學知識形象地可視化，以促進學生對數學知識的理解和建構［5］。

問題2-2 明確要素后如何制作正多面體？請設計方案并制作一個正多面體。

設計意圖：學生以小組為單位討論并設計正多面體的制作方案，具體包括所需材料和制作步驟，記錄方案和討論過程等。依據方案，學生可充分運用幾何知識制作正多面體，并進行優化，使制作的正多面體盡可能美觀。教師讓學生通過動手實驗，將平面展開圖折成立體圖形，發展學生的直觀想象數學學科核心素養。該活動環節，培養了學生的動手能力、合作意識與責任意識等精神品質。

（三）匯報展示，評價交流

匯報展示 請各小組展示項目式學習成果，并匯報制作過程。

設計意圖：各小組選取代表匯報本組項目式學習的設計方案、遇到的問題及其解決方案等，展示制作的正多面體。在匯報展示的過程中，學生進行自我總結。教師對各小組進行評價，并引導學生與組內、組外同學交流收獲與改進之處，填寫評價量表。在自評互評的過程中，學生能夠進行自我反思。同時，在聽取他人匯報的過程中進一步優化自己的項目成果。

（四）性質探究，定理推導（第2課時）

問題3-1 上節課我們分組制作了正多面體，除了上述五種正多面體，你還能做出其他正多面體嗎？用準備好的多邊形卡片拼一拼。

設計意圖：教師引導學生思考正多面體個數。從組成正多面體的正多邊形的邊數和個數入手，學生嘗試用準備好的多邊形卡片拼湊多面體，探尋能夠組成正多面體的條件。

由于正多面體是凸多面體，即沒有凹陷的頂點和棱，因此每一個頂點處由相鄰兩棱所成的面角之和小于360°。不然，若在某一頂點處上述各面角之和等于360°，則交于該頂點的所有面都將落在同一平面上；若在某一頂點處的上述各面角之和大于360°，則以該頂點為端點的某些棱將是凹陷的。

因為多面體的任一頂點處至少要有三個多邊形相遇，而正多面體的每一個面都是全等的正多邊形，正多邊形的每一個內角和都相等，所以正多面體的多面角都必須小于120°，這是正多面體的另一個必要條件。而正六邊形的內角恰好為120°，因此正六邊形不可能圍成正多面體，所有邊數大于6的正多邊形也都不可能圍成正多面體。

這就是說只有當正多邊形的邊數小于6時，頂角的角度之和小于360°，卡片之間還留有空隙，才能夠拉成一個立體的角。即只有正三角形、正方形和正五邊形才有可能圍成正多面體。再進一步借助多邊形卡片，正三角形對應能夠組成正四面體、正八面體、正二十面體，正四邊形對應能夠組成正六面體，正五邊形對應能夠組成正十二面體。

學生通過動手探究，得出正多面體存在的條件。在此過程中滲透反證的思想，培養學生的自我探究能力。

融入數學文化 其實第一個完整描述正多面體特征的古希臘畢達哥拉斯學派數學家泰阿泰德，早已知道只有五種正多面體，即正四面體、正方體、正八面體、正二十面體和正十二面體。

設計意圖：教師簡要講述數學史，使學生感悟數學家求真務實、嚴謹治學的精神。該教學設計旨在讓學生通過了解數學家探索問題的思維過程，提高用數學家的眼光發現、提出、分析和解決問題的能力［6］。

問題3-2 回顧制作正多面體時所列出的多面體的頂點數、棱數、面數等關鍵要素的表格，你能從中發現它們之間的關系嗎？

設計意圖：教師引導學生借助上一節課問題2-1所列表格（見表2），歸納正多面體的面數（F）、頂點數（V）、棱數（E）之間的關系。討論探究、總結歸納歐拉公式V+F-E=2，初步感知拓撲學在中學數學中的應用。

問題3-3 多面體歐拉公式該如何證明？請小組討論，并試借助正多面體展開圖，用數學歸納法證明。

設計意圖 歐拉公式有許多證明方式。對于高一學生而言，可以嘗試用比較容易理解的數學歸納法［7］進行證明。

類比正多邊形的頂點數、棱數、面數關系的歸納方式?，F將正多面體降維轉化為平面圖，設想正多面體是由一個平面依次將其余各個面逐一添加而形成的。因此，一個正多面體就需要由一個平面添加F-1個面形成。從添加第二個平面開始，每添加一個平面，增加的棱數總比增加的頂點數多1。當添加了F-2個面后，可得E=V+（F-2）。當增加最后一個面而形成立體時，棱數和頂點數均未增加，因此，仍然是E=V+（F-2），即V+F-E=2。

數學歸納法的表述簡明準確、易于理解，可以降低證明的難度。數學歸納法也是高中數學中經常采用的一種證明方式。同時，類比正多邊形的研究其實也是使歐拉公式獲得了從平面到空間的推廣。

問題3-4 能否用歐拉公式證明正多面體只有五種？

設計意圖：教師引導學生思考正多面體歐拉公式的應用。

設正多面體的面是正n邊形，一個頂點處的面角數為m。

則nF=2E，mV=2E，又因為V+F-2=E，

則2E/m+2E/n-2=E，即1/m+1/n-1/E=1/2。

當棱數E≥3時，解得m，n，E的整數解為（m，n，E）=（3，3，6），（4，3，12），（5，3，30），（3，4，12），（3，5，30）。

它們分別對應于正四面體、正八面體、正二十面體、正六面體與正十二面體。由此可證得正多面體只有五種。問題3-1是用反證法解答，歐拉公式給證明正多面體的種數提供了一個新的思路。正多面體種數的一題多解，旨在培養學生的發散性思維與創新能力。

融入數學文化 法國數學家拉普拉斯曾說，讀讀歐拉，他是所有人的老師。歐拉是數學史上公認的4位最偉大的數學家之一。幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、復變函數的歐拉公式……歐拉還是數學史上最多產的數學家。

天才在于勤奮，而歐拉就是最典型的一位。在歐拉的數學生涯中，他的視力一直在惡化，近乎完全失明。即便如此，病痛似乎并未影響歐拉的學術生產力，在失明后的17年里，他都是在完全失明的情況下做研究。他以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世。歐拉的一生，是為數學發展而奮斗的一生。

設計意圖：學生觀看歐拉生平介紹的視頻，感受歐拉一生中所遇到的挫折與取得的成就。通過感受數學家的成長歷程及在數學乃至社會生活中的貢獻、成就和影響力，學生形成對數學積極的情感態度和正確的價值觀。數學家的精神作為數學文化中的一部分，對落實“立德樹人”的根本任務具有重要作用。

（五）例題呈現，靈活運用

例1 表面積為[23]的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則求此球的體積。

例2 求正二十面體相鄰兩個面所成的二面角。

設計意圖：高中數學項目式學習應落腳到課本知識中。通過兩道例題，學生感悟到正多面體中所蘊含的數學知識及其在數學中的價值。例1主要考查幾何體的表面積、體積，需要學生從平面幾何入手，先計算正八面體一個面的三角形的面積，進而求出棱長。通過球體的體積公式最終得到正八面體外接球的體積。例2則是對正多面體二面角的考查。正二十面體線面較多，結構復雜，在解題過程中需要緊緊抓住正多面體所有二面角相等的性質，化整體為局部，問題自然就能得到解決。

高中數學對正四面體、正八面體的考查往往以較為簡單的形式出現，至于正十二面體、正二十面體則鮮有考查，最常見的莫過于對正方體的考查。正多面體中的點線、線線、點面、線面、面面關系涵蓋了立體幾何中各種典型的位置關系，是正確理解和把握空間位置關系的基礎，同時也能很好地考查學生的數學抽象、直觀想象、數學建模等數學學科核心素養。

任務二：制作其他多面體（第3課時）

活動任務 幾百年來，多面體吸引著許多的數學家。在化學、建筑、藝術中，多面體給科學家、建筑師和藝術家帶去了很多靈感。按照分組與抽簽，完成以下活動任務。

活動1 制作半正多面體

學生觀察足球的形狀，化學中的足球烯模型，南北朝官員獨孤信的印信等幾何體，歸納出半正多面體的定義。所有多面角都相等，且各個面是邊數不全相同的正多邊形的多面體，叫作半正多面體，也稱為阿基米德多面體。

任務1：探究半正多面體與正多面體之間的關系。

任務2：類比正多面體的制作過程，制作一個半正多面體。

任務3：借助凸多面體歐拉公式，尋找以正三角形為面的凸多面體的個數。

任務4：撰寫項目計劃書并進行成果展示。

活動2 制作正星體

以正多面體各面為底，向外作正棱錐，使這些棱錐的側面皆為相等的正三角形，這樣得到的凹多面體為正星體。

任務1：探究正星體與正多面體之間的關系。

任務2：類比正多面體的制作過程，制作一個正星體。

任務3：正星體中還蘊含著哪些知識？

任務4：撰寫項目計劃書并進行成果展示。

活動3 制作以正三角形為面的凸多面體

在正多面體中，有3種是以正三角形為面的多面體。除此以外，還存在著其他以正三角形為面的多面體嗎？

任務1：類比正多面體的制作過程，制作一個以正三角形為面的凸多面體。

任務2：借助凸多面體歐拉公式，尋找以正三角形為面的凸多面體的個數。

任務3：撰寫項目計劃書并進行成果展示。

活動4 制作埃舍爾多面體

被稱為“數學藝術家”的荷蘭畫家埃舍爾，因其繪畫中的數學性而聞名。在其作品《星》中，埃舍爾將不同的多面體放在同一幅畫里，形成群星閃爍、互相照耀的效果。正中的多面體是一個菱形十二面體（每個面都是菱形的十二面體）對應的星狀多面體，即在菱形十二面體的每一個面上“長”出一個四棱錐得到的多面體。這樣的多面體被稱為埃舍爾多面體。

任務1：制作一個埃舍爾多面體。

任務2：查閱資料，搜集整理埃舍爾作品中的數學與藝術。

任務3：撰寫項目計劃書并進行成果展示。

活動5 制作三立方體合體

被稱為“數學藝術家”的荷蘭畫家埃舍爾，因其繪畫中的數學性而聞名。在其作品《瀑布》中有這樣一個幾何體，它是由完全重合的三個立方體分別繞x軸、y軸、z軸旋轉45°，所得到的高度重合的三立方體合體。

任務1：類比正多面體的制作過程，制作一個三立方體合體。

任務2：觀察制作好的三立方體合體，思考三個立方體相交后分割出多少個區域。

任務3：撰寫項目計劃書并進行成果展示。

設計意圖：通過拓展任務，學生進一步類比正多面體的探究過程并對其他多面體進行設計制作。以分組的形式展開能夠使各個小組的學生有針對性地探究某一種多邊形。對高中生開展多樣化的多面體活動旨在使學生對多面體有更多的了解，從而可以感受到數學的魅力，更重要的是培養學生的空間想象力和創造力，并把空間想象力延伸到化學、藝術及生活中。各子任務主要在課外完成，課上進行匯報展示。

四、項目展示評價

（一）成果展示

該環節旨在鼓勵學生在解決各子任務的基礎上，對整個項目有系統性的思考，以培養學生解決問題的邏輯性，最終梳理形成項目成果。本項目包括小組成果與個人成果，學生還需參照項目目標，自我反思成果中所存在的問題，并對項目成果進行改進與優化，具體成果內容見表3。

（二）評價設計

項目式學習的評價應該是多維度的，可以以項目目標為基礎，以學生自評、組內互評、教師評價等不同主體相結合，以結果性評價、表現性評價與情感態度評價［8］并存的方式開展項目評價。由此可以建立如表4的評價量表。通過評價量表，學生能直觀看到自己在項目任務中的優勢與不足，也方便教師開展后續的個性化指導。

參考文獻：

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［6］李婉玥，張維忠.教科書中數學家形象與精神的呈現［J］.當代教育與文化，2023（1）：47-53.

［7］黃忠裕.從思想與文化的高度挖掘多面體歐拉公式的教育價值：談高中數學課程標準中的多面體歐拉公式［J］.數學通報，2005（5）：3-6.

［8］郭衎，曹一鳴.綜合與實踐：從主題活動到項目學習［J］.數學教育學報，2022（5）：9-13.

（責任編輯：陸順演）