媒體報道誘導的離散傳染病切換系統建模與分析

覃文杰,張嘉敏,向中義

(1. 三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443002; 2. 云南民族大學 數學與計算機科學學院, 云南 昆明 650504;3. 湖北民族大學 數學與統計學院, 湖北 恩施 445000)

0 引言

傳染病危害著人類生命健康、影響著社會經濟發展,因此人們一直以來都在與傳染病作斗爭。通過發展傳染病動力學模型來研究疾病的傳播機制[1],可為傳染病的預防和控制提供理論和數據支持,具有重要的現實意義。

影響傳染病傳播的因素有很多,近年來人們越來越關注媒體報道對人們行為方式的改變。在疾病暴發初期,媒體會通過網絡、電視、報紙等不同的渠道實時報道相關情況,人們便會自覺采取相應的預防措施來阻止和減少疾病的傳播,如出門戴口罩、少聚集、常消毒等[2]。因此國內外學者也持續關注媒體報道對疾病傳播的影響。

2003年,RUAN等[3]用f(I)=k/(1+aI2)刻畫媒體影響,得出基本再生數R0對疾病的暴發或消除起決定性作用。2007年,LIU等[4]通過構造傳染率βexp(a1E-a2I-a3H)來研究媒體或心理效應對傳染病的影響。2008年,CUI等[5]考慮含有媒體影響因子m的傳染率βexp(-mI),建立SEI模型來討論媒體報道對疾病傳播的影響。2013年,劉玉英等[6]構造具有飽和性的媒體影響因子函數來刻畫媒體對傳染病感染率的影響。其他有關媒體效應的傳染病模型可見文獻[7-13]。

然而,目前基于媒體影響的傳染病模型主要集中在連續模型,對于媒體影響的離散傳染病模型還并不多見。事實上,對于某些傳播速度較慢或疾病數據收集單位不連續的情形,用離散模型來刻畫傳播規律將更為合理。本文正是基于此而建立媒體報道誘導的離散傳染病切換模型,研究媒體報道因子對傳染病傳播的影響。

1 模型的建立

在KERMACK和MCKENDRICK[14]的SIR倉室模型基礎上,考慮具有媒體報道影響的SIR連續模型:

(1)

式中:S=S(t)、I=I(t)、R=R(t)分別表示t時間內易感者、感染者、恢復者的數量,b是內稟增長率,K是環境容納量,d是自然死亡率,α是因病死亡率,γ是感染者的自然恢復率,β(I)表示疾病在媒體報道影響下的傳染率?；谖墨I[3-6],考慮媒體影響因子m,以及疾病達到暴發點時感染者數量的臨界值Ic,將其構造為非線性飽和函數:

這里所有參數都是非負數。

借助Euler離散[15-17],將模型(1)離散化,得到

(2)

由于模型(2)的前兩個方程不含Rn,故簡化模型(2)可得

(3)

通常情形下,當感染人數較少(I

(4)

然而隨著感染人數的不斷增加并達到閾值Ic時,相關媒體會持續關注此類傳染病的傳播與流行,全媒體的宣傳和報道會使公眾關注疾病的動態,從而采取相應的防護措施,改變個人行為,此時模型(4)為

(5)

綜合模型(4)和(5),得到如下切換模型:

(6)

式中:

離散模型(6)是一個基于閾值控制策略的動態切換系統,接下來將從理論和數值兩方面來研究模型(6)的動力學行為。

2 子系統的動力學行為

為了敘述方便,將模型(6)改寫成向量形式

(7)

式中:

I(Z)=In-Ic,Z=[Sn,In]T。

特別地,切換系統定義在區域G1和G2的子系統分別記為FG1和FG2,下面將分析研究兩個子系統正平衡點的存在性和穩定性。

2.1 子系統FG1的動力學行為

子系統FG1的平衡點由如下方程決定:

R0為子系統FG1的基本再生數,且有b-d>0。記D=b-d,M=d+α+γ。

定理1 若子系統FG1滿足下列條件之一:

(8)

(9)

(10)

由式(10)可得

2.2 子系統FG2的動力學行為

子系統FG2的平衡點滿足

(11)

AI2+BI+C=0,

(12)

式中:

方程(12)的判別式為

在R0>0的基礎上對其進行分析:

(1)當Δ=B2-4AC<0時,方程(12)不存在實根;

(2)當Δ=B2-4AC>0,即

時,考慮以下3種情況:

①若C=1-R0<0,則方程(12)必存在一個正實根;

②若C=1-R0=0,則當-B/(2A)>0時方程(12)存在唯一的正實根,當-B/(2A)≤0時不存在正實根;

③若C=1-R0>0,則當-B/(2A)>0時方程(12)存在兩個正實根,當-B/(2A)<0時不存在正實根。

定理2 若子系統FG2滿足如下條件:

(13)

(14)

子系統FG2的雅可比矩陣為

(15)

顯然,其特征方程為

P(λ)=λ2-tr(J2)λ+det(J2),

(16)

式中:

3 切換系統的復雜動力學行為

由于離散切換系統各類平衡態存在的類型比較復雜,從理論上研究系統的動力學行為存在很多困難,因此本節將通過數值仿真方法研究傳染病切換系統的復雜動力學行為,其中包括平衡點分支、單參數分支、初值敏感性和多吸引子共存等。

3.1 切換系統的平衡點分支分析

為了研究方便,給出切換系統真假平衡態的定義[19-22]:

為了研究系統以內稟增長率b和閾值Ic為分支參數的平衡點分支,固定參數K=0.5,β=1.8,m=0.28,d=0.02,α=0.35,γ=0.1,如圖1所示,當b∈[0.65,2.50],Ic∈[0.1,1.5]時,離散切換系統存在6種情形的平衡態:

圖1 系統以b和Ic為分支參數的平衡態分支圖Fig. 1 Equilibria’ bifurcation diagram of system for parameters b and Ic

研究結果表明:通過媒體報道策略影響傳染病的傳播,要將離散切換系統的最終狀態控制進入區域II-4,即兩個子系統都不存在真平衡態,換言之,突發傳染疾病不會成為地方病,不會影響到人們的正常生產、生活。一定要避免區域II-1及區域II-3所示的情形發生,因為傳染疾病一旦形成地方病,將直接威脅著人們的身體健康、經濟的發展、社會的穩定。

3.2 單參數分支分析

為了進一步研究切換系統的敏感參數、關鍵參數對系統動力學行為的影響,本小節將分別以自然恢復率γ、傳染率β以及因病死亡率α為分支參數進行系統的單參數分支分析。

首先,固定參數b=2.8,K=1.8,β=0.52,m=0.8,d=0.08,α=0.25,Ic=1,以自然恢復率γ作為分支參數來研究切換系統的動力學行為,如圖2所示。隨著γ從0.05到0.40的不斷變化,切換系統經歷了周期解分支、倍周期解分支、混沌、周期減半、周期窗口、擬周期解等復雜的動力學行為,這也表明了突發性傳染的自然恢復率在控制傳染病傳播方面起著相當重要的作用,在制定相關防控策略時一定要重點關注疾病的自然恢復率。

圖2 系統以γ為分支參數的分支圖Fig. 2 Bifurcation diagram of system for parameter γ

其次,固定參數b=1.8,K=3,m=0.02,d=0.3,α=0.3,γ=0.02,Ic=5,以疾病的傳染率β作為分支參數來研究切換系統的動力學行為,如圖3所示。當β∈[0.60,0.88]不斷變化時,切換系統呈現出穩定解、混沌解、周期倍增解、多重穩定解等復雜的動力學行為。這說明了傳染率對疾病的傳播有著重要影響,為了控制疾病傳播穩定在可控的范圍內,需要采取措施降低傳染率,如增大媒體宣傳報道的力度就是間接降低疾病傳染率的有效途徑之一,這也是本文重點研究的內容之一。

圖3 系統以β為分支參數的分支圖Fig. 3 Bifurcation diagram of system for parameter β

接下來,研究因病死亡率α對系統動力學行為的影響,以α作為分支參數來研究切換系統的動力學行為。固定b=1.8,K=2.8,β=0.56,d=0.08,m=0.02,γ=0.001,Ic=2,如圖4所示,隨著因病死亡率α的不斷變化,切換系統本身的動力學行為發生了不同的變化狀態。

圖4 系統以α為分支參數的分支圖Fig. 4 Bifurcation diagram of system for parameter α

在圖4 (a)(α=0.5)中,系統具有穩定解;當α從0.5減小到0.2時,系統出現一個周期解,如圖4 (b)所示;當α繼續變小達到0.1或0.06時,系統會出現混沌解,如圖4 (c)和圖4 (d)所示。

3.3 初值敏感性分析

除了重要參數、敏感參數對疾病傳播有著重要影響外,一定區域內易感者和感染者的初始密度對疾病的暴發狀態也會產生不同的影響,本小節將系統研究切換系統在不同初值下的動態行為。

固定參數b=1.6,K=2,β=1.85,m=0.2,d=0.5,α=0.85,γ=0.09,Ic=0.36來研究初值對離散切換系統動力學行為的影響,如圖5所示。

圖5 系統的初始密度對疾病控制的影響Fig. 5 The impact of initial densities of system on disease control

圖5中所示情形的初值都在切換線以下,即系統的感染者并未達到疾病暴發的閾值。具體而言,圖5 (a)表示在初值(0.820 8,0.246 0)下,切換系統感染者密度未達到疾病暴發的閾值;圖5 (b)表示在初值(0.942 3,0.208 9)下,切換系統感染者密度僅僅一次達到了疾病暴發的閾值,即突發性傳染疾病只暴發一次;圖5 (c)表示在初值(1.075 0,0.236 9)下,切換系統感染者密度兩次達到了疾病暴發的閾值,即突發性傳染疾病暴發兩次;圖5 (d)表示在初值(1.30, 0.18)下,切換系統感染者的密度多次達到了疾病暴發的閾值,即突發性傳染疾病多次暴發。研究表明,為了抑制疾病的暴發流行,應該適當控制易感者和感染者的初始數量,讓系統穩定在子系統FG1中,即圖5 (a)、圖5 (b)的情形。同時,為了控制疾病暴發,需要反復多次地對公眾通過媒體宣傳疾病傳播的相關知識,使得人們對疾病防護引起相當的重視,從而改變人們的個人行為方式,達到控制疾病傳播的目的。

為了更進一步研究離散切換系統的初始密度對突發性傳染疾病傳播的影響,下面給出了系統的盆吸引區域圖,即選取參數b=0.8,K=3,β=1.85,m=0.57,d=0.5,α=0.85,γ=0.2,Ic=1.8,給出系統在區域S0∈[0,2.5],I0∈[0,2.5]的平面分支圖,將5個區域分別記為I、II、III、IV及V,如圖6所示。其中區域I表示疾病不會暴發為地方病;區域II表示疾病暴發一次后就不再流行;區域III表示疾病暴發二次就不再流行;區域IV表示疾病暴發三次就不再流行;區域V表示疾病會多次暴發流行。

圖6 系統的盆吸引域Fig. 6 Basin of attractions of system

研究表明,當感染者數量超過疾病暴發的閾值時,要加大媒體的宣傳力度、報道范圍以及報道頻率,使得公眾提高警惕并養成良好的預防習慣,從而使得疾病即使在暴發多次后也要穩定于安全可控的范圍之內。這也說明感染者和易感者的初始密度對后續疾病的流行趨勢和程度會產生重要的影響。

因此,為了更有效地控制疾病傳播流行,需要對易感者和感染者的密度進行實時監控和上報。

3.4 多吸引子共存分析

由3.3節相關內容可知,不同的初值會導致系統發生復雜多變的動力學行為以及致使系統穩定在不同的吸引子上,這就是吸引子共存現象,本節將關注系統多吸引子共存的研究。

切換系統的吸引子同樣具有很強的初值敏感性,為了研究不同初始密度對共存吸引子的影響,在不同的初值狀態下選取參數b=2.8,K=1.8,β=1.2,m=0.5,d=0.08,α=0.25,γ=0.46,Ic=3,如圖7所示。圖7 (a)為切換系統周期解情形,圖7 (b)為系統擬周期解情形。很顯然,隨著時間序列的增大,圖7 (b)所示情形必將導致系統呈混沌狀態,這必然會給疾病防控帶來一系列挑戰。

圖7 系統不同初值情形下的多吸引子共存Fig. 7 Coexisting attractors of system with different initial values

進一步,繼續研究重要參數—疾病傳染率β對系統多吸引子的影響,在初值(S0,I0)=(2,0.1)的情形下,固定參數b=3,K=2,m=0.1,d=0.5,a=0.85,γ=0.04,Ic=1.8,通過參數β的不斷變化,切換系統呈現出不同的振幅和頻率的吸引子。隨著參加β不斷增大,切換系統吸引子波動范圍也不斷變大,如圖8 (a)—(f)所示。研究表明,疾病傳染率在傳染病傳播中起著重要作用,防控部門可以通過媒體的宣傳和報道降低疾病傳染率,以達到有效控制傳染病傳播流行的目的。

圖8 不同參數b下系統的吸引子Fig. 8 The attractors of system with different parameters β

4 結語

考慮媒體報道對人們行為改變的切換效應,建立了一類由媒體效應誘導的離散傳染病切換模型。一方面,從理論上研究了模型兩個子系統的動力學行為,包括無病平衡點、地方病平衡點的存在性以及地方病平衡點的局部穩定性。另一方面,通過數值方法研究了敏感參數對系統動力學行為的影響。研究發現:關鍵參數的小擾動直接影響著疾病的暴發次數與頻率,同時媒體報道可以降低疾病傳染率,有效遏制疾病的流行與暴發。

事實上,決定系統切換的閾值相當關鍵,就目前掌握的文獻,還沒有對如何確定這個閾值進行相關的研究,這也是一個非常具有挑戰的問題。同時結合具體的突發性傳染疾病實例(如新型冠狀病毒感染),在媒體效應的基礎上考慮閾值對疫情防控的影響,將具有重要的理論和現實意義,這將是后續需要研究的重要課題。