林國紅
(廣東省佛山市樂從中學)
函數的奇偶性是函數的重要性質,是解決一些函數問題的有力工具.有些問題從表面上看似乎與函數無關,但如果我們從題設所給出的式子的結構特征入手,站在函數的角度審視問題并抓住問題的本質構造函數,運用函數的性質(單調性、奇偶性等)來處理,有時會起到“柳暗花明又一村”的解題效果.本文著重介紹單調奇函數的一個重要性質及其在解題中的妙用,供讀者參考.
引例1(2023年全國高中數學聯賽內蒙古預賽第2題)已知x,y∈R,且滿足
引例2(2023年全國高中數學聯賽北京預賽第6題)已知x,y∈R,且滿足
兩個引例的條件都是方程形式,引例1是無理方程,引例2是三次方程,通過解方程的方法直接求解相應的x,y較為困難.
兩個方程等號的左邊可以記為t3+2023t的形式,等號的右邊是互為相反數的兩個數.
可見兩個引例的已知條件、所求結果的形式相似,猜想這兩個引例應該有相似(或統一)的解法.
事實上,單調的奇函數有一個簡單且重要的性質.
性質已知函數f(x)是區間D上的單調奇函數,m,n∈D,若f(m)+f(n)=0,則m+n=0.
簡證因為函數f(x)是區間D上的單調奇函數,所以f(x)不恒等于0.
由f(m)+f(n)=0,得f(m)=-f(n)=f(-n),故m=-n,所以m+n=0.
下面我們應用單調奇函數的性質解答引例.
根據題意,有
所以由性質可得x+1+y+1=0,即x+y=-2.
引例2的解析由
所以f(t)是奇函數.因為f′(t)=3t2+2023>0,所以f(t)在R上單調遞增.
根據題意,有f(x-1)+f(y+2)=-1+1=0,所以由性質可得x-1+y+2=0,即x+y=-1.
以上述單調奇函數的性質為背景的試題在各類考試中多次出現,特別是在競賽中尤為常見,下面分類展示該性質的運用.
例1(2003年全國高中數學聯賽湖南預賽第7題)已知x,y∈R,且滿足
解析
設f(t)=t2003+2002t(t∈R),則
所以f(t)是奇函數.因為f′(t)=2003t2002+2002>0,所以f(t)在R上單調遞增.
根據題意,有f(x-1)+f(y-2)=0,所以由性質可得x-1+y-2=0,即x+y=3.
例2(2015年全國高中數學聯賽新疆預賽第4題)已知x,y∈R,且滿足
解析
設f(t)=t3+2015t(t∈R),則
所以f(t)是奇函數.因為f′(t)=3t2+2015>0,所以f(t)在R上單調遞增.
根據題意,有f(x-1)+f(y-1)=0,所以由性質可得x-1+y-1=0,即x+y=2.
點評
本類問題中的兩個已知等式在結構上相似,運用整體思想,直接構造相應的奇函數,并應用奇函數的性質進行解答.
例3(2008 年全國高中數學聯賽湖南預賽A卷第8 題)設函數f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)=1,f(b)=19,則a+b=__________.
解析
由
則
所以g(t)是奇函數.因為g′(t)=3t2+3>0,所以g(t)在R上單調遞增.
根據題意,有g(a+1)+g(b+1)=0,所以由性質可得a+1+b+1=0,即a+b=-2.
例4(2016年全國高中數學聯賽山東預賽第9題)已知α,β滿足
所以f(t)是奇函數.因為f′(t)=3t2+2>0,所以f(t)在R上單調遞增.
根據題意,有f(α-1)+f(β-1)=0,所以由性質可得α-1+β-1=0,即α+β=2.
點評
本類問題不能直接運用奇函數的性質解答,需要根據題目的條件作適當變形,將兩個等式變為相似結構,再構造相應的奇函數進行解答.例6只有一個等式,與其他例子的已知條件不同,但根據已知等式的結構特點,巧妙構造單調奇函數,再利用性質求得結果,思路新穎,過程簡潔.
點評
本類問題的兩個等式只是部分相似(一般是等號的其中一邊相似),一般的變形并不能將兩個等式變為相似結構,需要有換元意識,恰當地換元能將兩個等式變為相似結構,然后構造相應的奇函數進行解答即可.
奇函數有很多簡潔、優美的性質,且這些性質有著廣泛的應用.在解題中,有時遇到的問題并不是奇函數問題,但若仔細觀察式子的結構特征,可能會發現其與奇函數有著密切的聯系,因而把表面上看似與函數無關的問題通過變形轉化為函數問題,然后利用奇函數的性質解答,這樣可以優化解題過程.另外,運用函數的觀點來求解問題,有利于培養學生用動態發展的觀點來分析問題,抓住問題的本質,并提高解決問題的能力.
(完)