基于復雜約束拓撲優化的負泊松比超材料設計

孟軍輝，劉清洋，金澤華

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.北京理工大學重慶創新中心，重慶 401135）

超材料設計是指通過設計材料的內部結構，從而人為控制材料的各種屬性以獲得自然界沒有的新材料[1].負泊松比超材料是一種具有拉脹特性(負泊松比)的力學超材料，由某一特定的結構(胞元)進行周期性地排列構成，其等效泊松比和等效彈性模量主要由構成該結構的基質材料和胞元的幾何參數決定.自LAKES 等[2]成功制備出泊松比值為?0.7 的聚氨酯泡沫以來，負泊松比材料的研究進入到快速發展的階段，現有的負泊松比材料設計通常是基于已有的負泊松比材料的胞元構型，通過理論公式來對所設計材料的力學性能進行預測.或通過經驗，對現有的胞元構型進行改進.宮曉博[3]提出了一種改進的四角星形蜂窩結構，對該結構的彈性模量和剪切模量進行了理論分析，并應用于飛行器蒙皮結構.叢琳[4]提出了一種改進的二維圓形負泊松比結構，將圓形結構的內部用圓柱進行填充，并采用基本梁理論對其力學性質進行了預測，通過改變填充情況實現了對材料泊松比的調節.基于理論分析的設計方法計算方便，并能夠滿足設計需求，但通常并非“最優”的結果，同時難以設計出全新的胞元拓撲構型.

負泊松比材料設計除了基于理論分析拓展自然界現有的材料之外，可以引入拓撲優化設計來發現新型滿足設計需求的負泊松比材料.拓撲優化的方法在傳統的結構設計領域已經有了比較成熟的應用[5?7].對于負泊松比材料的優化設計，現有拓撲優化方法通常包括微觀尺度拓撲優化方法和宏觀?微觀一體化拓撲優化方法.圖1(a)示意了微觀尺度的超材料拓撲優化設計，整個結構在宏觀上的材料分布事先確定，對微觀尺度的材料胞元構型進行拓撲優化設計，該方法著重于材料局部的拓撲構型設計，而不注重材料在宏觀路徑上的分布.雖然能夠得到性能較為優異的負泊松比材料，但該方法存在微觀尺度超材料難以制造的問題.圖1(b)所示是“微觀?宏觀尺度一體化”的拓撲優化設計方法，該方法通過拓撲優化得到微觀上材料的拓撲構型，同時用該微觀材料均勻化后的力學性質作為輸入，用于設計該超材料在宏觀尺度上的材料路徑分布，實現微觀和宏觀兩種尺度上設計優化.SIGMUND[8]將胞元微結構設計轉化為了胞元結構的拓撲優化設計問題，用具有相同微結構的胞元進行周期性排列，形成宏觀上具有特殊力學性質的超材料.劉嶺等[9]以最小柔度為目標實現了承載結構的微觀、宏觀一體化拓撲優化設計.張會凱[10]在宏觀、微觀兩個尺度上建立了兩套設計變量進行了分層梯度超材料的兩尺度一體化的拓撲優化設計.“微觀?宏觀尺度一體化”的拓撲優化設計方法的計算量相對較大，設計出的結構一般沒有周期性.

圖1 不同尺度的超材料設計方法Fig.1 Topology optimization method of metamaterial in different scales

變形飛行器需要根據飛行高度和速度的變化而自適應地調整機翼構型，從而顯著地提高飛行器的各項性能，以拓展飛行包線.若考慮增大翼面積的情況，機翼展向和弦向同步變化，傳統的硬殼式蒙皮材料無法同時滿足以上要求.蜂窩結構設計靈感來源于大自然蜂窩，具有輕質和力學性能優異的特點，將其與負泊松比效應相結合，應用于飛行器蒙皮材料，可通過胞壁的彎曲變形以實現蒙皮的面內變形，同時滿足一定的面外承載的需求.劉凱宇[11]針對展向變形機翼，基于傳統內凹蜂窩的缺陷，提出了一種面內柔性好、面外剛度高的蒙皮改進方案.陳以金[12]設計和研究了反四手性負泊松比蜂窩結構和基于剪紙的零泊松比蜂窩結構作為變形機翼的內部支撐.SPADONI 等[13]將三韌帶圓節點手性蜂窩應用于機翼的填充芯才，通過實驗對比分析了三種不同節點半徑的手性超材料制成的填充機翼，結果證明手性蜂窩結構填充材料可以承受大撓度的變形.LIU 等[14]提出一種余弦波紋形零泊松比超材料，并將其成功應用于變彎度機翼.上述工作將已有的蜂窩構型進行改進并應用于變形飛行器，取得了較好的效果.

由于前文所述“微觀尺度拓撲優化”和“微觀?宏觀一體化拓撲優化”對負泊松比蜂窩結構進行設計時，需要對不同蜂窩單元進行拓撲優化以滿足面內變形和面外承載的需求，分別存在微觀尺度難以加工和優化過程計算量龐大等問題.實際上通過宏觀蜂窩單元的周期性排列也可實現負泊松比蜂窩結構的力學性能表征，利用這一特點可有效減小拓撲優化迭代過程的計算量，以提升柔性蒙皮材料的結構優化效率.

超材料拓撲優化設計在數值算法上通常有優化準則法(optimality criteria，OC)、移動漸近線法(method of moving asymptotes，MMA)等.OC 法是從某初始的密度分布開始，按照某一迭代公式，迭代獲得一個更優的密度分布.該迭代公式是由具體的優化問題的所對應的準則來決定的.其最大的特點是收斂速度快、迭代次數少，要求重分析的次數一般同結構變量多少和復雜程度無關[15].OC 法易于處理單約束的優化問題.XIA 等[16]應用OC 法進行了負泊松比胞元的拓撲優化設計，使用泊松比與楊氏模量混合函數作為目標，難以控制優化結果的負泊松比值.ZHANG 等[17]通過改進的目標函數來指定超材料的理想彈性張量，用OC 法實現了超材料泊松比的定量設計，但優化結果的實際泊松比與其指定的泊松比仍有較大程度的差距.MMA 方法是一種能夠解決多約束優化問題的高效數值算法.對于超材料的拓撲優化設計，此方法可以同時對體積比和泊松比進行精確的約束.崔宇紅[18]應用MMA 法設計得到了一種泊松比接近–1 的負泊松比初始結構，并對該結構進行了參數化建模，實現了對該材料泊松比的精確控制.ANDREASSEN 等[19]用MMA 法進行了二維和三維超材料的泊松比最小化設計，并對設計得到的三維負泊松比超材料進行了實驗驗證.WANG[20]用MMA 算法設計得到了具有面對稱結構和中心對稱結構的三維拉脹材料.ZONG 等[21]提出了一種兩步拓撲優化方法，用MMA 算法實現了三維手性負泊松比超材料的拓撲優化設計.但是現有基于MMA 法的優化設計未考慮材料的等效彈性模量.事實上從工程角度，柔性蒙皮材料設計，往往對蒙皮整體的變形量提出要求，這就使材料在具有一定的泊松比的同時也需要關注彈性模量等力學性能.

本文以應用于變體飛行器蒙皮材料的負泊松比結構為研究對象，針對現階段負泊松比超材料設計中存在的制造性差和不具備周期性的問題，進行了宏觀尺度的負泊松比超材料拓撲優化設計研究.通過對比分析優化準則法、移動漸近線法等優化方法，提出適用于具有周期性的超材料設計的宏觀尺度拓撲優化方法，以實現復雜約束下的負泊松比超材料拓撲構型的優化設計；并基于材料力學和結構力學的基本理論提出一種通用的超材料桿系結構理論模型，對優化所得結構拉脹效應進行工程估算；通過對比分析驗證了宏觀尺度拓撲優化方法的有效性，為變體飛行器蒙皮超材料的拓撲優化設計提供了參考.

1 宏觀尺度拓撲優化方法

為了解決微觀尺度和微觀?宏觀一體化的拓撲優化設計方法在變形飛行器蒙皮超材料設計上的問題，本文提出一種宏觀尺度下的負泊松比超材料的拓撲優化設計方法，充分利用蜂窩結構表征單元具有周期性重復的特點，將負泊松比超材料的拓撲優化問題轉化為材料單個胞元的拓撲優化問題.在設計出易于制造的超材料的同時，充分節省計算量.其步驟是：

①將宏觀結構離散為由宏觀尺度的胞元組成的離散結構，以實現結構的初始周期性序構；

②根據整體結構載荷及邊界條件確定代表性胞元承受的載荷及邊界條件，之后用拓撲優化設計單個胞元的最優拓撲構型；

③對優化得到的最優胞元構型依照初始離散結構進行周期性排序形成滿足要求的負泊松比超材料.

該方法的示意圖如圖2 所示.

圖2 宏觀尺度拓撲優化方法Fig.2 Macro scale optimization method

2 基于復雜約束的負泊松比超材料拓撲優化設計

基于上述的宏觀尺度拓撲優化方法，對于負泊松比超材料的設計，主要在于單個胞元的拓撲優化.可將單個胞元作為設計域，離散為有限單元，以每個單元的密度作為設計變量，以整個胞元的總體積作為約束條件，根據不同的設計要求合理地選擇目標函數進行拓撲優化設計.與一般承載結構拓撲優化不同的是，單個胞元的邊界條件需要重新確定.承載結構有限元模型的邊界條件一般是支座和集中力的形式，只要在固定相應的節點或對節點施加力即可，而具有周期性排列的超材料，每一個胞元都受到與之相鄰的胞元力的作用，胞元邊界上的位移需要相互協調，而每個胞元產生的變形又相同，最終表現為胞元相對的邊的位移需要滿足某種協調關系，即周期性邊界條件.此外，與承載結構拓撲優化中常見的柔度、剛度等易求得的目標函數不同，超材料胞元的拓撲優化的目標函數一般是其等效的超材料的楊氏模量、泊松比等力學性能指標，這些性能指標還需要利用漸進均勻化方法從離散的密度分布中求得.以下就優化程序中應用的漸進均勻化方法和周期性邊界條件進行討論.

2.1 漸進均勻化方法

均勻化理論最早應用于復合材料領域.20 世紀70 年代，BABUSKA[22]提出了具有嚴格理論基礎的漸進均勻化方法.這種方法將材料的微觀特性和宏觀的力學行為聯系起來.在超材料的拓撲優化設計當中，漸進均勻化方法可以從離散的密度分布中提取出超材料的楊氏模量和泊松比作為優化問題的目標函數或約束函數.

在線彈性范圍內，可以使用均勻化方法評估周期性結構在宏觀上所表現出的等效本構行為.對于三維空間的單胞Y，均勻化的彈性張量是對單胞Y內每一點彈性張量的積分的平均.為了適應數值算法，本文采用了基于能量的均勻化方法，該方法采用了平均應力和應變定理，均勻化的彈性張量可以寫成應變互能的形式

在有限元模型中，式(1)可以寫為求和的形式

其中Qij為

通過漸進均勻化方法，優化程序就可以從胞元的有限元模型中求解出材料宏觀上的等效彈性張量.設計時，可以根據不同的要求，將漸進均勻化得到的彈性張量的其中一些分量進行組合，構成目標函數或約束函數，如方向1 的泊松比，從而優化出均有某些特殊力學性能的超材料.

2.2 周期性邊界條件

考慮到胞元在整個結構中分布具有的周期性，因而在優化程序中，胞元設計域被離散為固定有限元網格之后，其有限元模型還需要滿足周期性邊界條件.對于具有周期性結構分布的超材料，假設每個胞元都處于同樣的變形狀態，其中每一個胞元的邊界上的位移都與相鄰的胞元相關，其邊界上的位移和力都必須滿足一定的協調關系.在周期性假設之下，胞元在給定應變的作用下，其位移場ui可以寫成宏觀的位移場及周期性的波動位移場之和：

對于二維正方形胞元，周期性邊界條件可以表述為胞元相對2 條邊上的位移關系，需滿足：

“k+”和“k–”分別表示1 個胞元中的一對平行且相對的胞元邊界(2 條邊界垂直于第k方向)，兩式相減則可消去周期性波動的未知量 ，得：

2.3 基于OC 法的超材料拓撲優化設計

優化準則法是從某一初始的設計出發，按照一定的迭代公式，來得到一個改進的設計.相應迭代公式可以由目標函數與約束函數組成的拉格朗日函數進行推導，拉格朗日函數應滿足數學上的Kuhn-Tucker條件.對于優化問題：

式中：f(x)為目標函數；fj為約束條件；xi為設計變量.對于上述優化問題可以引入Lagrange 乘子，建立如下的拉格朗日函數：

Kuhn-Tucker 條件可以寫為：

基于上述理論可以推導出優化準則法的迭代方式：

式中：m為正移動極限；η為阻尼系數；Bi為從最優條件當中獲得的.OC 法對多變量單約束的優化設計問題具有很高的優化效率.

本文對于一個正方形胞元設計域離散為100×100 的固定有限元網格，以每個單元的密度為設計變量，使用SIMP 法和OC 法進行拓撲優化設計.OC 法一般要求優化問題具有單個約束，對于負泊松比材料胞元的優化設計，則不能同時約束胞元的總體積比和泊松比.文獻[16]中采用總體積比作為單個約束條件，而將泊松比和剛度作為優化目標.構造目標函數：

式中：E1122、E1111、E2222都是均勻化之后的彈性張量中的分量；E1111、E2222分別為方向1 和方向2 上的楊氏模量，泊松比μ=E1122/E1111；目標函數中β∈(0，1)為自定義的固定參數；指數l為迭代次數.使用此目標函數，優化器傾向于在初始迭代時最大化材料方向1和方向2 上的楊氏模量.當優化過程進展，即l增加時，優化器傾向于最小化E1122的值，從而使泊松比μ=E1122/E1111變小直至為負.綜上所述，該負泊松比材料胞元的拓撲優化模型為：

式中：n為設計域離散為有限元后的單元數量；V(x)和V0分別為材料體積和設計域體積；f為約束體積比；U和F分別為位移矢量和力矢量；K為全局剛度矩陣.取基質材料的楊氏模量為1，泊松比為0.3，體積約束取為0.5，初始猜測密度分布如圖3 所示，編寫程序進行拓撲優化.迭代80 步后，得到的胞元密度分布如圖4 所示.漸進均勻化理論顯示，該胞元的泊松比為?0.498.

圖3 初始猜測密度分布Fig.3 Initial density distribution

圖4 OC 法優化負泊松比材料設計結果Fig.4 Design result of auxetic metamaterial by OC method

上述優化方法通過合理的構造目標函數使設計結果實現了負泊松比，然而這種方法設計的負泊松比值是無法指定的.為了實現指定負泊松比超材料的設計，構造目標函數：

μ?指定泊松比值 =?0.5，給定不同的初始密度分布，可以得到不同的胞元構型，如表1 所示.

表1 給定不同的初始密度分布得到的指定泊松比超材料胞元拓撲優化結果Tab.1 Topology optimization result of metamaterials with prescribed Poisson’s ratio by given different initial density distributions

從以上優化結果可以看出，指定泊松比的效果和初始密度有較大關系.3 種不同的初始密度分別優化出了反四手性、內凹六邊形和一種復雜的混合星形的拓撲構型.對于第一種和第三種構型，胞元的泊松比在指定的泊松比?0.5 附近，而第二種初始密度優化出的胞元構型，方向1、2 的泊松比相差較遠，且都與指定泊松比?0.5 相差較遠.

為了進一步驗證該方法指定泊松比的效果，分別指定不同的泊松比，對同一初始密度分布(表1 中第三種)進行優化，得到結果如表2 所示.

表2 MMA 法和OC 法指定泊松比超材料胞元設計結果的對比Tab.2 Comparison of design results of metamaterials with prescribed Poisson's ratio by MMA and OC

分析表2 的設計結果可以得出，優化結果的泊松比值與指定的泊松比值之差均小于0.03，說明了該方法構造目標函數指定泊松比的有效性.

2.4 基于MMA 法的超材料復雜約束拓撲優化設計

在上一節的優化設計當中，材料的拉脹效應都是通過構造目標函數來實現的，而將泊松比作為約束條件也能夠實現指定泊松比材料的設計.為了使優化結果具有對稱的結構，需要對優化模型在橫向和縱向上的泊松比都施加約束.在約束條件中加入泊松比，再加上體積約束，總共將產生3 個約束函數，使該拓撲優化問題變成了一種復雜的多約束的優化問題.OC 法對大量設計變量和少量約束的優化問題具有較高的優化效率，但對于多約束拓撲優化問題，由于式(2)中要依次引入相應約束的Lagrange乘子，每個Lagrange 乘子要采用不同的準則，優化的求解效率將大大降低[23].OC 法由于算法本身的局限性，難以處理這種多約束的優化問題，此時已不再適用.

移動漸近線法通過對結構的響應函數在當前設計點處進行一階倒變量泰勒展開，用線性化的方法來近似地描述原非線性的優化問題，將隱式非凸的優化問題轉化為一系列顯式的凸子問題來求解，每一個子問題都是對原問題的凸近似[24].MMA 法適用于求解具有復雜目標函數和具有多個約束條件的拓撲優化問題.

本文應用MMA 法進行了負泊松比超材料胞元的多約束拓撲優化.當泊松比成為約束條件之后，目標函數則不需要再考慮泊松比，此時可以將目標函數設定為其他力學性能指標，使材料在滿足指定的負泊松比和體積比的情況下，在其他的某些力學性能上達到最優.變形飛行器蒙皮超材料的設計往往對材料在受力后的變形量提出要求，這就需要對超材料的彈性模量進行考慮.本文以彈性模量為目標函數，約束材料的總體積比和該材料在1、2兩個方向上的泊松比，使超材料在1、2 兩個方向上的彈性模量E1111、E2222最大化.該方法的優化模型如下：

圖5 初始猜測密度分布Fig.5 Initial density distribution

圖6 MMA 法優化負泊松比材料設計結果Fig.6 Design result of auxetic metamaterial by MMA method

觀察表2 中MMA 法優化結果的胞元拓撲構型，發現MMA 法的結果具有穩定性，指定從?0.1～?0.5的泊松比，MMA 法優化得到的胞元結果具備相似的星形混合四邊形的構型，只是在每根桿的粗細和角度上進行了微調.對比OC 法和MMA 的優化結果，可以發現MMA 法優化結果的泊松比距離約束的泊松比 μ?的偏差更小，不超過0.006.由此可以看出把泊松比作為約束條件指定超材料的泊松比可以達到更好的效果.此外，由于本算例中的MMA 法將胞元1、2 方向上楊氏模量的和作為目標函數，優化結果的楊氏模量顯著高于OC 法的結果.綜上所述，用MMA法進行胞元指定泊松比的拓撲優化設計，能夠在較為精確地約束泊松比的情況下，使超材料的某些力學屬性最大化.

2.5 優化結果的提取和序構

對優化程序得到的最優拓撲構型密度分布的提取，既要保留原密度分布的主要構型，又要使提取出的二維胞元的幾何特征盡量簡單，易于后續的分析與制造.為了使提取之后的胞元盡量具有規則的幾何外形，本文對胞元的優化結果建立了100 mm×100 mm的坐標，便于對其幾何特征的測量，胞元的邊界盡量以直折線表示，以表3 中MMA 法指定泊松比為?0.5的超材料胞元設計結果為例，提取之后的胞元構型如圖7 所示，提取后的胞元二維結構形式能基本反應優化結果的拓撲構型.

表3 超材料楊氏模量和泊松比的有限元結果和理論值Tab.3 FE results and theoretical values of Young's modulus and Poisson's ratio of metamaterials

圖7 提取胞元拓撲形式Fig.7 Extraction of cell topology

3 優化設計結果的力學性能驗證

為了驗證第二節中設計的胞元構成的超材料的力學性能，對設計出的超材料構建有限元模型，分析其在單向拉壓下的變形情況.為了驗證宏觀尺度拓撲優化設計結果的有效性，應根據有限元分析得到的變形量，分別考察超材料在單個胞元上的泊松比和超材料整體的泊松比，將兩種泊松比值進行對比，對優化結果的力學性能進行驗證.

3.1 有限元驗證

等厚二維負泊松比超材料的泊松比與其厚度無關.為了節省計算量，對MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的超材料胞元設計結果序構得到的5×5 超材料劃分殼單元，再施加強制位移下，用有限元軟件對其進行仿真.用MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的超材料胞元設計結果序構而成的超材料靜力學分析應力云圖如圖8 所示.

圖8 超材料在位移載荷下的應力云圖Fig.8 Stress contour of metamaterials under displacement load

為了驗證上面幾種超材料的泊松比，本文在超材料中選取一些參考點，通過測量評價參考點橫向和縱向的位移得到超材料的泊松比值.為了避免邊界效應的影響，選取5×5 超材料中心處的胞元進行泊松比的計算，選取參考點如圖9 所示.

圖9 單元泊松比計算參考點的選取Fig.9 Selection of reference points for calculation of Poisson,s ratio of cell

在工程實際應用中，往往更關心超材料在宏觀尺度下的整體泊松比，以考察超材料在2 個方向上的變形量是否滿足設計要求.計算超材料整體的泊松比，則需要把參考點取在材料的邊界上，如圖10 所示.

圖10 計算超材料整體的泊松比參考點的選取Fig.10 Selection of reference points for calculating Poisson,s ratio of metamaterials as a whole

根據泊松比的定義μ=?ε2/ε1即可得到負泊松比材料的胞元泊松比和超材料在宏觀上的整體泊松比值，分別對MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的設計結果的胞元泊松比及整體泊松比進行計算，得到的泊松比值如表3 所示.

觀察表3 可以得出，由有限元模型計算得到的胞元泊松比基本符合漸進均勻化的結果，偏差在0.053 以內.由指定泊松比優化設計得到的胞元拓撲形式進行序構，得到的超材料宏觀上的整體泊松比仍能滿足指定泊松比的要求.

3.2 桿系結構理論模型的驗證

理論模型是負泊松比超材料的重要研究領域，針對不同的胞元構型，國內外的研究已經獲得了一系列較為完整的理論公式.針對內凹六邊形構型，比較有代表性的有GIBSON 等[25?26]及EVANS[27]理論模型.PRALL 等[28]首次詳細地推導了六韌帶手性結構超材料的理論公式；MENG 等[29]推導得到了星形結構超材料的等效楊氏模量和泊松比的理論公式；QI 等[30]對現有的各種超材料拓撲構型的理論公式進行了較為完整的綜述.目前，對于上一節設計出的較為復雜星形混合四邊形的胞元構型，尚無相對應的理論公式，本文借鑒了現有的理論公式的推導方法，對該胞元泊松比的理論值進行了推導.

對于MMA 法優化出的星形和四角形混雜的胞元拓撲構型，可以抽象為圖11 所示的鋼架模型.對該鋼架的上下邊界施加均布力來模擬胞元受到單向應力的情況.

圖11 胞元拓撲構型抽象為剛架模型Fig.11 Topology of cell abstracted as rigid frame model

模型中所有胞元壁的連接點為剛性連接，將胞元壁視為歐拉梁模型，受力時發生拉壓和彎曲變形.考慮到載荷和結構的對稱性、結構的內力也必然具有對稱性，在計算時可以僅計算整個結構的1/4，如圖12 所示.

圖12 1/4 胞元結構Fig.12 1/4 Structure of cell

為了簡化計算，可以將作用在EF桿上的垂直于桿軸向向上的均布力簡化為F點的集中力.考慮到胞元在發生橫向和縱向變形的時候，上圖中水平和豎直的桿件(分別為EF桿、GH桿、AB桿、AD桿)只受到拉力或壓力，不發生彎曲變形，因此可以在F點和G點施加轉角約束，同時分別約束E點和H點的水平和豎直位移，這樣就可以保證EF桿和GH桿在應力分析時不發生彎曲.在B點和D點施加滑動鉸支座，A點施加固定鉸支座，可以約束AB桿和AD桿不發生彎曲.此時EF桿上的均布力就可以簡化為F點處的集中力，大大減少了結構求解的計算量.上述鋼架的結構的求解仍是一個高度靜不定的結構力學問題.參考結構力學中通用的求解靜不定問題的方法，解除支座約束，以未知力代替，得到結構的靜定相當系統如圖13 所示.

圖13 結構的靜定相當系統Fig.13 Statically equivalent system of the structure

求解以上的靜不定系統，構建如下正則方程組，共10 個方程10 個未知力.

式中：δijXj表示在第j個未知力單獨作用下i處的位移；ΔiF表示在外力F的單獨作用下i處的位移.因為支座處約束方向上的位移為0，所以所有力和未知力在i處產生的位移應為0，即等式的右端為0.求解該正則方程組即可得到所有支座處的約束力X1、X2、···、X10的值.再利用單位載荷法得到F點和G點橫向和縱向的位移ΔFy、ΔGx.進而得到胞元的橫向及縱向等效應變：

式中e為胞元的邊長.再根據泊松比和楊氏模量的定義，即可得到該種胞元構型的負泊松比超材料的楊氏模量和泊松比的理論值.

式中b為胞元的厚度，2F/（eb）即為縱向應力的大小.

對MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2的設計結果的楊氏模量和泊松比用以上的理論進行計算，得到表3 所示的結果.

有限元模型和理論模型都對原始的優化結果密度分布進行了提取和簡化，提取過程中忽略了原始優化結果中的灰度單元和一些細小的、不易制造的幾何特征，使胞元能夠被一些幾何參數所描述，而不是100×100 個單元的密度值，使序構后的超材料具有可制造型.胞元拓撲構型的提取造成了有限元模型和理論模型的誤差，理論模型忽略的原始幾何特征較多，與設計泊松比值的偏差較大，但模型簡單直觀.有限元模型是對原始設計結果的二維幾何特征進行提取，得到的胞元模型經過仿真得到的泊松比值與設計值偏差較小，特別是胞元泊松比值.這種模型的提取方式更加能滿足指定泊松比值優化設計的要求.由有限元模型計算得到的整體泊松比值與胞元泊松比值的偏差較小，這種偏差主要由邊界效應引起，隨著超材料中單元數量的增多，這種偏差將會越小.綜上所述，由設計域劃分，到胞元拓撲優化設計，再到序構的宏觀尺度超材料拓撲優化設計方法能夠滿足設計需求.

4 結 論

① 針對超材料胞元構型的拓撲優化設計，提出了一種宏觀尺度拓撲優化設計的方法，分別應用OC 法和MMA 法進行指定泊松比拓撲優化，得到了一系列具有指定泊松比的胞元構型的設計結果.

② 用有限元模型分析和驗證了設計結果的力學性能.分別計算了MMA 法拓撲優化得到的4 種超材料中心胞元的泊松比和材料整體的結構泊松比，對這2 種泊松比進行了對比分析.針對拓撲優化出的胞元構型，參考現有的理論模型，推導了一種適用于星形混合四邊形胞元構型的超材料的理論模型，用以解釋該新型胞元構型的拉脹效應.綜合了理論模型和有限元模型，對拓撲優化結果的力學性能進行了驗證，證明了宏觀尺度拓撲優化方法設計負泊松比超材料的有效性.