滲透數學文化 提升數學素養

邵夏燕

［摘? 要］ 在教學活動中融入數學文化有利于開闊學生的視野，落實學生的數學核心素養． 本節課利用曼哈頓距離引入課題，讓學生經歷“猜想—驗證—證明”的過程得出定理，最后解決課前提出的實際問題． 數學史幫助學生了解三角不等式的起源，古今聯系的策略將歷史上三角不等式的證明方法與學生的證明方法聯系起來，讓學生感悟數學文化的價值，激發學生的學習興趣，增強學生的學習信心．

［關鍵詞］ 數學文化；三角不等式；案例研究

三角不等式是上海教育出版社出版的數學必修第一冊第二章第三節“基本不等式及其應用”中的第二講內容，是基本不等式中的一個． 本節是新教材新增的內容，目前關于三角不等式的課例研究還較少． 三角不等式不僅是一個經常使用的恒不等式，而且在向量、復數教學以及高等數學教學中也經常出現，具有十分重要的意義．理解和證明三角不等式并不困難，但對它的認識和應用有個逐步進行的過程． 在教學中，如何讓學生更好地理解三角不等式及其作用值得廣大一線教師思考．

數學史可以幫助學生了解三角不等式概念產生的來龍去脈，加深對三角不等式概念的理解． 歷史素材能提供問題和方法，給予學生更多的探究機會． 借助數學史讓學生主動參與“做數學”的創造性活動，從而提升學生的數學素養，促使學生更好地理解數學活動的本質． 證明三角不等式時采用古今聯系的方式可以激發學生的學習興趣，學生在驚嘆古人智慧的同時能獲得學習動力． 鑒于此，筆者設計了一堂將數學史融入三角不等式教學的數學課．

本節課的教學目標是：（1）引導學生理解三角不等式定理，使學生能用三角不等式證明一些簡單的不等式，并求解一些簡單的最大值和最小值問題；（2）引導學生利用分類討論、數形結合等方法探究、抽象三角不等式，提升學生的數學抽象、邏輯推理等素養；（3）讓學生通過定理的證明和簡單應用，感受三角不等式的地位與作用，能用聯系發展的眼光看待數學問題．

數學史料及應用

1. 三角不等式的起源

三角不等式在我國可以追溯到成于公元一世紀左右的《九章算術》中的正負術：同名相除，異名相益，正無人負之，負無人正之；其異名相除，同名相益，正無人正之，負無人負之［1］． 前四句說的是有理數運算的減法法則，后四句說的是有理數運算的加法法則． 如果將有理數的運算法則用數學符號表示，就可以得出三角不等式；將多種情況總結成一個不等式，就能充分體現數學的求簡思維．

三角不等式在西方可以追溯到公元前300年左右的古希臘時期，著名數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷命題20）中提出“三角形中任意兩條邊之和大于第三邊，即a+b>c”，這成為后期三角不等式名稱的由來［2］．

2. 三角不等式的證明

雖然三角不等式可以追溯到《九章算術》與《幾何原本》，但實際上在20世紀初提出關于范數的三角不等式后，三角不等式這個名稱才真正得以沿用. 并且英美也只有少部分早期教科書在20世紀五六十年代提到了三角不等式這一概念和式子，而且主要是運用向量三角形或復數三角形來進行說明和論證的． 其中有兩種代數證明方法可以引進高一數學課堂：

學生反饋

課后收到學生問卷33份． 關于求x－3+x－5的最小值的問題，所有學生都成功使用三角不等式解出了最小值，甚至有42%的學生能使用兩種或兩種以上的方法解出最小值． 說明通過這節課的學習，學生較好地掌握了三角不等式，并且能夠運用三角不等式解決簡單的最值問題. 有58%的學生表示印象最深刻的是使用多種方法證明三角不等式，33%的學生表示印象最深刻的是“利用數形結合、分類討論來驗證三角不等式”，這達到了本節課的第二個教學目標.

談到本節課的收獲與感悟，學生反饋道：“以前三角不等式需要用許多文字語言才能描述出來，現在只需要簡簡單單一兩個代數式就可以表達了.”“三角不等式應用在日常生活中，讓日常生活變得更便捷.”“應當嘗試不同方法、不同角度的學習，盡力找到最簡潔方便的推導方案.”“學習不是背公式，而是學會推導.”可以看到學生對三角不等式及其推導方法有了更加深刻的理解，課堂活動讓他們對數學學習有了更多感悟.

總的來說，本節課激發了學生的學習興趣，課堂留白的方式給學生提供了充分表達的機會，在交流展示中加深了學生對知識的理解，增強了學生的學習信心． 本節課很好地達成了預設的教學目標．

結語

數學文化可以從知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化五個維度融入數學教學． 本節課涉及其中的三個維度，一是知識源流. 三角不等式的源流是數的運算，從等式到不等式，而《九章算術》又是中國古代數的運算的起源，是古人智慧的結晶． 二是社會角色. 本節課利用曼哈頓距離引入課題——三角不等式的教學，最后回到這一問題并運用三角不等式解決了這一問題，突出了數學在實際生活中的運用． 三是多元文化. 三角不等式起源于中國古代的《九章算術》和古希臘的《幾何原本》，而且歷史上不同時空的數學家對三角不等式的發現和證明都有貢獻，是多元文化的體現．

本節課將學生給出的驗證方法和兩種證明方法與歷史上數學家使用的方法對應起來，引導學生穿越時空與數學家對話，想數學家之所想，做數學家之所做，不僅激發了學生的學習興趣，而且增強了學生的學習信心．

參考文獻：

［1］ 郭書春. 匯?！毒耪滤阈g》［M］. 沈陽：遼寧教育出版社，1990.

［2］ J.L.Heiberg.The Thirteen Books of Euclid′s Elements［M］. The University Press，1908.

［3］ N.B.Haaser. A Course In Mathematical Analysis［M］. Boston：Ginn，1959.

［4］ B.A.Frank.School Mathematics Study Group. Mathematics for High School：Intermediate Mathematics［M］. New Haven：Yale University Press，1961.

［5］ 汪曉勤，鄒佳晨． 高中數學教學中實施課程思政的路徑［J］． 數學教學，2021（08）：1-6.