基于力學超材料的柔性機械臂設計技術

程基彬 戴 寧 郭 培 熊繼源 葉世偉 程筱勝

南京航空航天大學機電學院,南京,210016

0 引言

傳統的工業剛性機械臂結構一般由幾段剛性結構和關節組成,關節的數量決定了機械臂的自由度大小。但在一些特殊的工作環境中(如復雜內腔的檢視[1]、人體內的微創手術[2]、航天器在空間的操作[3-4]等),連續柔性機械臂可以作為一個更好的解決方案[5]。連續柔性機械臂因其更多的運動學自由度[6-8]和連續性,在需要大變形和空間受限特定工作環境下可以完成更多的工作。

柔性機械臂在國內外已被大量設計和研究。ROBERTSON等[9]設計了一種控制良好的真空動力軟體氣動執行器,作為軟體機器人或柔性機械臂的單元。DEASHAPRIYA等[10]設計了一種多節線控柔性機械臂,研究了該機械臂的運動學模型。DONG等[11]提出了一種由多節梯度變化的執行器組成的柔性機械臂,并研究實現了新的控制算法。JIANG等[5]提出了一種二維多段可伸縮柔性機械臂的控制算法,通過梯度下降法和神經網絡來保證所提算法的準確性和有效性。范需等[12]提出了一種基于分段常曲率假設的氣動軟體機器人變形預測方法。QIN等[6]設計了一種繩索驅動的連續關節仿生蛇形連續機器人,進行了運動學分析、軌跡規劃和負載能力測試。

常見的柔性機械臂結構包含剛性結構加活動關節和波紋管類的彈性結構。力學超材料是一種人工結構,其力學性能由其結構而非組成來定義[13],由于其性能獨特且可編程設計,因此可以作為柔性機械臂的結構單元。GREGG等[14]設計了一種超輕晶格結構及其復材制造工藝,探究了該結構的性能。CRAMER團隊[15-17]和JENETT團隊[18-21]也進行了相關研究,具體如下:文獻[15]基于超輕晶格結構提出了一種可編程的數字變形機翼設計方法并應用于航空航天領域;文獻[16]研究了超輕晶格結構的彈性變形和編程裝配,實現了機翼的各向異性和整體主動變形;文獻[17]提出了一種基于超材料的商用飛機級別大尺寸離散晶格機翼的分析方法,并且實現了有效的數值模擬;文獻[18]提出了一種通過模塊構建的可逆裝配體實現主動變形的方法,設計了具有良好空氣動力學特性的主動變形機翼;文獻[19]提出了一種可組裝的離散力學超材料構建系統,設計了四種力學超材料并完成其性能的研究;文獻[20]對大規模的胞元組裝自動化系統進行了研究;文獻[21]通過各向異性的可組裝力學超材料設計了一根可變性梁,可作為蛇形機器人的主體在水中實現游動。

綜上所述,本文將力學超材料和柔性機械臂兩者結合,研究以力學超材料為結構主體的柔性機械臂(以下簡稱柔性臂)設計技術。本文通過柔性臂單元的結構和分段常曲率假設,建立了胞元組的變形模型和變形參數的計算方法,得到了單節和多節的柔性臂單元變形預測模型,最后通過實驗對預測模型進行了驗證,完成了預定的彎曲角度和空間的檢視。

1 技術路線

本文以三維力學超材料單胞為基礎,構建柔性臂的結構單元,闡明驅動原理;柔性臂結合了分段常曲率假設,進行了以疊加為核心的分段變形建模,進一步提出了胞元組的變形模型;通過變形數學模型得到了單節柔性臂單元的變形預測模型,進一步提出了多節柔性臂單元的疊加變形預測模型;結合控制補償策略等實驗手段得到了實物實驗結果;對比分析實驗結果和模型預測結果,從而驗證預測的可用性。綜上,形成了圖 1所示的技術路線。

圖1 技術路線

2 柔性臂單元數學模型

2.1 柔性臂結構及驅動原理

柔性臂結構是由多個力學超材料的胞元組成,每個胞元由六片二維組元組裝而成,如圖2所示。二維組元有彈性 (橙色,零泊松比) 組元和剛性(灰色,正泊松比)組元兩種。相同組元組裝單胞的力學性能在正交方向上是一致均勻的,如圖2a和圖2d所示,其中圖2a所示為零泊松比(彈性)胞元,圖2d所示為正泊松比(剛性)胞元?；旌蠁伟牧W性能表現出正交各向異性,如圖2b和圖2c所示。不同特性單胞組成的胞元組可以實現非均勻的變形。

(a)彈性胞元 (b)雙向混合胞元 (c)單向混合胞元 (d)剛性胞元圖2 力學超材料胞元圖

對平面內的彎曲變形進行研究,選用圖2c所示的單向混合胞元進行組合成為單節胞元組,如圖2所示?；旌习托薷牡膭傂园山M成單節柔性臂單元。剛性胞元內置一個驅動器,以提供柔性臂單元變形的驅動力,通過傳力機構將驅動力作用于柔性臂單元末端。如圖3所示,驅動力FT根據扭矩T和傳力半徑r計算而得,可表示為FT=T/r。

圖3 單節柔性臂單元結構及其驅動原理圖

2.2 分段變形建模

單一胞元是一段連續體,單胞變形量疊加得到柔性臂單元的整體變形量。根據分段常曲率假設,每一個胞元變形后的中心線可以看作一定曲率圓弧所對應的弦長,同一驅動器控制內的多個單胞中心線由多段弦連接而成,如圖4a所示。

圖4a中,α為胞元組的彎曲角度,αi(i=1,2,…)為第i個胞元對應的彎曲角度,Ri為第i個胞元彎曲圓弧對應的曲率半徑,lri為第i個胞元的驅動繩索長度,si為第i個胞元彎曲后的中心曲線,d為胞元的初始邊長。由圖4中幾何關系可得

(1)

(2)

其中,Rri為lri對應圓弧的曲率半徑;a為一常數,表示胞元中心線到驅動繩索的距離,可由胞元邊長d的一半減去單片二維組元的厚度h0得到,即a=0.5d-h0。

胞元中心線的起點和終點坐標可通過胞元的變形疊加得到,如圖4b所示,點由藍色表示,紅色虛線為點坐標的增量。第二個胞元中心線的終點P2坐標(x2,y2)等于起點P0坐標添加各個方向上的增量,即(x2,y2)=(x0+Δx1+Δx2,y0+Δy1+Δy2)。

(a)胞元變形幾何關系(b)胞元位置疊加關系圖4 單一胞元變形示意圖

2.3 胞元組變形建模

單節柔性臂單元包含多個變形單胞,由一個舵機驅動。如圖5所示,圖中黑色曲線為變形胞元的中心曲線,紅色箭頭為該柔性臂單元起點和終點的切向向量,向量與x軸的角度為θi,其中起點方向與x軸的角度為θ1,終點方向與x軸的角度為θ2,柔性臂的旋轉角度αr=θ2-θ1的正負決定了柔性臂單元在坐標系下的兩種不同彎曲形態。

圖5 柔性臂單元彎曲變形

由圖5中的幾何關系易得

(3)

(4)

(5)

根據2.2節的胞元分段疊加關系,可以通過計算得到每個胞元中心線的起點和終點位置坐標。依據圖5所示的幾何關系,易得角度δ0=0.5(π-α1)和α′2=α1+α2,且圖5中存在一定的累加關系,具體計算表達式如下:

(6)

(7)

(8)

式(6)～式(8)中,i=1,2,…,5,通過五次疊加得到了單節柔性臂單元末端的位置信息。圖5中,si為單節柔性臂單元中第i個變形單胞的中心曲線,ki為第i個圓弧的曲率,(xi,yi)為位置坐標。

當兩節柔性臂單元組合運動時,如圖6所示,紫色線段為驅動胞元的中心線。通過分段區分變形和驅動單元,建立局部坐標系。在局部坐標系下柔性臂單元內的各個胞元變形可計算。b為一常數,表示驅動胞元的長度。Sj對應第j節柔性臂單元的變形曲線,其中(xSj1,ySj1)、(xSj2,ySj2)分別為該節單元的起點和終點。第j節單元起點可通過第j-1節單元的終點進行計算:

(9)

(10)

其中,β=αSj-αSj-1-…-αS1,αSj為第j節柔性臂單元的彎曲角度。柔性臂單元的終點坐標通過式(7)和式(8)計算而得。

圖6 兩節柔性臂單元疊加示意圖

3 柔性臂變形預測模型

柔性臂的變形可以分為兩個過程,如圖7所示。首先是每個驅動單胞中的驅動器輸出一段位移,使得驅動繩索收緊變形。繩索變形后的折線對應胞元彎曲后的變形圓弧。其次是變形胞元在繩索的作用下達成彎曲的形態。通過圓弧參數的疊加計算得到柔性臂單元末端的位置信息[22]。

圖7 柔性臂變形描述空間對應關系圖

變形圓弧參數到位置信息的變換是幾何關系,不涉及動力學內容。因驅動器輸出的扭矩數值恒定,所以驅動器空間至曲線參數的變化可以視為一個恒力的作用距離至圓弧參數的變換。舵機驅動器的額定扭矩影響柔性臂單元的極限變形角度。

3.1 單節柔性臂單元變形預測

單節柔性臂單元的變形預測如圖8所示,圖中的藍色線段為驅動繩索,它距胞元組的中心線的距離為a,通過收縮使得S1節變形胞元產生角度為αS1的彎曲。該單元起點的坐標為(x0,y0),末端坐標為(x0+b+5d,y0),單元變形后末端坐標為(xS12,yS12)。

(a)中心曲線與驅動繩索關系圖 (b)末端胞元參數示意圖圖 8 單一胞元組變形預測圖

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

繩索收縮的長度lT等于卷繩器旋轉角度γ對應的弧長,也等于初始繩索長度與彎曲后繩索長度之差,得到式(11)和式(12)。單節柔性臂單元的彎曲角度αS1等于5個胞元彎曲角度αi之和,得到式(13)。將式(1)和(2)代入聯立后的式(11)和式(12)可得式(14),整理后得到式(15),即卷繩器旋轉角度γ與每個變形胞元彎曲角度αi的關系式。

由2.3節可知,每個胞元的末端坐標是根據前端坐標推導而來的,柔性臂單元的末端坐標是通過單胞變形疊加而來的,所以柔性臂單元末端坐標相較于初始坐標的增量為胞元變形量之和,即

(16)

(17)

其中,xS11=x0+b,yS11=y0。至此,完成了一段柔性臂單元變形彎曲的過程預測,得到了具體的數學關系式。

3.2 多節柔性臂單元疊加變形預測

每個柔性臂單元都配有一驅動單元,可進行獨立控制。多節胞元組的變形預測過程中,卷繩器旋轉角度γ1、γ2分別控制柔性臂單元S1和S2的彎曲效果,可實現圖9所示的單側彎曲和S形彎曲,末端的方向變化如圖9中紅箭頭所示。

根據3.1節的角度關系,可得

(18)

(19)

其中,α1～α5為柔性臂單元S1的第1～5個變形胞元的彎曲角度;α6～α10為柔性臂單元S2的第1～5個變形胞元的彎曲角度。

圖9中紫色連接線為驅動胞元的中心線,由于柔性臂整體的結構屬性,各部分在連接點處滿足一階連續,則圖 9a所示的S形彎曲柔性臂末端坐標(xS22,yS22)可通過3.1節的結果疊加而來,其具體表達式為

(a)S形彎曲

(b)單側彎曲圖9 多節胞元組變形預測圖

(20)

(21)

多媒體課件這種形式，可以改變過去單調的教學方式，讓學生成為課堂的主體，教師則在一旁進行適當的點播；也可以讓學生在多媒體的輔助下進行小組間的自主學習。如在教學New York的過程中，先讓學生以小組為單位，查找一些關于New York的信息。再在課堂上，進行小組之間的展示和交流，共享資源。讓學生學會上網查找對自己學習有用的信息內容，這激發了他們的學習興趣，變被動為主動，讓學生在老師的引導下進行小組間的展示和交流，這也可以構建出一個以學生為主體，教師為主導的課堂，改變了以往的傳統教學方式。

圖9b所示的柔性臂末端坐標(x′S22,y′S22)可表示為

(22)

(23)

通過以上兩種彎曲情況的分析,可以進行三節及以上的柔性臂末端位置的預測。單節柔性臂單元的旋轉角度αr的正負決定了坐標累加量和計算角度的選擇。

4 實驗結果和分析

4.1 實驗環境

本文柔性臂結構的制造工藝選取成本低、靈活性高的多射流融合(MJF)三維打印。材料采用未來工廠公司未來7500高性能尼龍。驅動舵機選用DS3230,其余框架、背景板、線材、電源等均選用常見適用類型。本實驗采用的單胞邊長為45 mm,由于重疊的排列特性,d值取43 mm,a值取20.5 mm,b值取71 mm。單節柔性臂單元由1個驅動胞元和5個變形胞元組成。

實驗驗證平臺如圖10所示,整體平臺框架由鋁型材搭建而成,可實現柔性臂的多種初始位置;背景板裝于框架上,可輔助結果的測量;柔性臂固定在框架上。分別測量柔性臂不同姿態下的彎曲變形,將預測模型的結果與實驗結果進行對比。

圖10 實驗驗證平臺

4.2 實物實驗與分析

對多節柔性臂進行彎曲實驗,柔性臂能實現一個連續過程,圖11展示了兩個舵機同向旋轉相同角度且角度在40.5°～94.5°的變化過程,每隔13.5°進行一次記錄。

(a)40.5° (b)54°

(c)67.5° (d)81° (e) 94.5°圖11 單側彎曲連續變化圖

兩個舵機的旋轉角度可以分別進行控制,如圖12所示,以實現正負單側彎曲(圖12a和圖12b)、正負S形彎曲(圖12d和圖12 e)和末端的攝像頭觀察(圖12c)演示,從圖12c的①中可以看到柔性臂末端有兩個障礙物,②和③顯示了攝像頭拍攝到的障礙物,分別為黑色的碳纖維板和黃色的復材板。

將第3節中模型所預測的變形彎曲曲線與實驗結果提取出的曲線進行對比,結果如圖13所示。柔性臂末端角度的對比結果如表1所示。預測模型的誤差統計如表2所示。

通過實驗結果對比可知,在單側連續彎曲情況下,隨著舵機同時旋轉角度的增大,x軸向的預測誤差有增大的趨勢,y軸向的預測誤差有減小的趨勢,而柔性臂末端彎曲角度誤差變化較為平穩,但整體誤差是在增大的。造成誤差的主要原因是:在胞元組受力彎曲時,單個胞元存在一定壓縮,影響預測模型中的參數會導致預測的彎曲角度都偏大;靠近根部的柔性臂單元受重力影響更大,彎曲角度會有所減小。由圖13可知,越靠近柔性臂的末端,預測和實驗的偏差就越大,因胞元彎曲并不完全滿足分段常曲率假設,且由于裝配方法的局限性,因此隨著胞元的增多,累積的誤差就會持續增大。

(a)單側正向彎曲 (b)單側負向彎曲 (c)末端攝像頭觀察

(d)S形正向彎曲 (e)S形負向彎曲

(a)40.5°對比 (b)54°對比

(c)67.5°對比 (d)81°對比 (e)94.5°對比圖13 預測結果與實驗結果對比

表1 柔性臂末端彎曲角度對比

表2 誤差結果對比

5 結論

(1)提出了一種基于力學超材料的柔性機械臂結構。分析了柔性機械臂的驅動原理,對力學超材料單胞和胞元組變形進行了以分段和疊加為核心的建模,為柔性機械臂變形提供了基礎。

(2)提出了單節和多節的柔性機械臂單元變形預測模型,通過實物實驗驗證了預測模型的可用性,從而為基于力學超材料柔性機械臂的設計提供了一種方法,并為多節柔性機械臂的變形預測提供了理論支持。