百分數“統計意義”的內涵、育人價值及教學建議

□劉加霞 馬曉丹 陶安慧

統計學與數學、物理學等自然科學相比，最大的不同是統計學具有“容錯性”，其依據的理論、采用的方法、思維的形式，在很多情況下并不是為了尋求永恒不變的定律和準確無誤的定值（也許不存在定律和定值），而是為了從瞬息萬變的混沌世界中抽象出社會經濟現象的本質特點進行推斷和估計。

“統計意義”是指人們無法確定未來社會經濟等方面的具體發展結果，只能作出概率的估計與推斷?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中有11次提及“統計意義”，除2次談到“平均數的統計意義”、1次談到“數據的統計意義”外，其他幾次主要說的是“百分數的統計意義”?！袄斫獍俜謹档慕y計意義”是2022年版課標的重要修改之處。

那么，百分數的“意義”指什么？何謂百分數的“統計意義”？統計意義的具體表現是什么？學生理解百分數統計意義的價值是什么？教學中如何處理百分數的統計與非統計意義？理解百分數統計意義的教學建議有哪些？

一、當用百分數描述隨機數據的倍數關系時才具有“統計意義”

百分數的起源可以追溯到早期的商業活動中，涉及利息、納稅和貨幣兌換等。最初百分數是作為一個具體的數量出現的，是“每一百個單位”對應的具體數量。例如，百分數的意大利語為“per centro”，意思是“每一百中有多少”，后來演變為德語“procentro”，之后又演變為現代的詞語“procent”。百分數的現代英語單詞是“percent”，其含義愈加抽象，表示部分與整體、一個量與另一個量的倍數關系或者是兩個度量對象之間的相對大小。百分號“%”來源于15世紀的意大利商人，當貨物降價時，他們會使用一種特定的縮寫符號“PC0”，之后逐步演化為“per”，直至現代的“%”，才不再具有“量”的含義。也有研究者［1］舍棄百分數的現實意義，從“數”的角度將其定義為“繁分數（兩個分數的商）”，但這樣的定義不適用于小學階段。

百分數主要用于描述一種關系或進行比較，這里的比較既可以發生在部分與整體之間，也可以發生在不相交的兩個量之間。［2］因此，把百分數稱為百分率或百分比更能凸顯其表示兩個量之間的倍數關系?！皟蓚€量”既可以是確定數據，也可以是隨機數據。其中，用百分數描述兩個確定數據之間的倍數關系可以稱為百分數的“數學意義”。例如，某人某月工資是1000 元，其中包括獎金200 元，則獎金占工資總額的20%。又如，將5mL 蜂蜜放到95mL 的溫水中，蜂蜜占整杯蜂蜜水的5%，配相同濃度的1000mL 蜂蜜水就“百分之百”地需要50mL蜂蜜。此時的百分數（濃度）不具有“統計意義”，它只描述蜂蜜與蜂蜜水的倍數關系，用它可以衡量蜂蜜水的甜度或濃度。這種對不具有隨機性數據的分析稱為描述性分析（描述統計），這里的信息是數據“自身攜帶”的，只需要描述出來，不需要進行推斷、估計等思維活動。

用百分數描述隨機數據之間的倍數關系則是百分數的“統計意義”。例如，小明一共投了20 個球，投中了12個，投球命中率是60%，但不能說，投10個一定命中6個，投100個一定命中60個。類似地，出勤率、合格率、發芽率等概念的獲得都要涉及抽樣或通過調查得到隨機數據，此時利用百分數進行分析、判斷或者作預測所得到的結論不能“百分之百”地成立，要考慮其具有“隨機性”。這種對隨機現象進行的概率估計和抽樣推斷都是百分數“統計意義”的具體體現。

百分數體現“倍數關系”、體現“程度”（百分數的“度量”含義，有統計含義，也有非統計含義），利用百分數制定“標準”（誤差程度、隨機性大?。┑榷际?022年版課標要求的內容。尤其是學會制定標準和基于標準作出判斷，都涉及重要的數學思維，是小學數學教育的較高目標。例如，根據投籃的命中率決定誰參加比賽，如比賽獲勝的可能性大??；根據科學抽樣所得到的樣本情況來推斷總體的情況，如確定某年級學生跳繩的合格標準。

制定標準與按標準做事是非常重要的兩件事，既涉及能力問題，也涉及情感態度甚至是價值觀的問題。因此，學生認識百分數要經歷“從低到高”的三個階段，具體包括：每一百個單位所對應的“具體量”、兩個確定數據之間的倍數關系（數學意義）、兩個隨機數據之間的倍數關系（統計意義）。讓學生“理解百分數的統計意義”對他們的思維水平要求較高，需要具有一定水平的隨機思維（或者稱為統計思維）能力。無論是自然現象還是社會經濟現象，時時處處都充滿著因個體的差異性而引起的不確定性，在大多數情況下，我們缺乏足夠的信息或知識去利用有效信息。但是，人們總是期望通過量化事物的不確定性去發現規律、揭示真相，認識不確定性背后的必然性。由此就產生了“統計學”，其根本任務是探究規律、發現關系、推斷未知（由于不確定性，人們在一定概率下作出判斷）。

如果說數學給出的是唯一正確的答案，那么統計學給出的只是多個可選擇的答案中最有可能接近實際的結果。因此，人們需要具備統計思維，這是一種在獲取數據、從數據中提取信息、論證結論可靠性等過程中表現出來的思維模式［3］，具有辯證性、批判性等特點，比傳統的數學思維要求更高。統計思維是一種由經驗到理性的認識，一種運用偶然發現規律的科學思維。它既是一種方法和技術，又含有世界觀的成分——認識世界的一種方式。2022 年版課標將百分數的內容調整到“統計與概率”領域，并增加理解它的統計意義的要求，目的就是試圖提高學生的統計思維水平，但這在小學階段的難度很大。

二、“百分數”的重要育人價值在于提高學生的統計思維水平

百分數的學習不是在傳遞如何把結果轉化為分數的孤立規則，而是把百分數與更廣泛地理解數學思想或者自身的經驗聯系起來。［4］雖然《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標”）也強調了數據意識以及隨機性，但教材中有關“對數據的需要”和“變異”兩個維度的內容所占的比例卻非常低，教學時，教師也更多地從習題的表層要求出發，而忽視了滲透其中的數據意識以及隨機性認識。［5］小學階段的統計教學以統計知識與方法為基本內容，在此過程中培養學生的統計思維甚至統計思想，2022 年版課標在小學階段強調“數據、平均數、百分數的統計意義”即是為了實現這個目標。然而，在初中階段卻沒有提及“統計意義”，其在“內容要求”和“學業要求”中提到的都是統計知識與方法，反而小學階段的要求“更高”一些。因此，筆者認為初中階段也應該提出“理解統計意義”的要求，而不只是學習統計知識與方法。

統計學家C.R.勞指出：“對統計學的一知半解，常常造成不必要的上當受騙；對統計學的一概排斥，往往造成不必要的愚昧無知。統計學是人類探究真理時必不可少的工具?！保?］其基本邏輯就是統計學提供專門的方法幫助人們通過量化事物的不確定性去不斷產生新的知識，從而發現或接近真理。人們從經驗或實驗中所獲取的知識是含有不確定性的，統計學關注的是這些知識當中所含不確定性的度量問題。一旦能得到不確定性的度量，人們的知識就得到擴充，對世界的認知就朝前跨越。這個過程在人類知識積累的進程中不斷重復。

克萊因在《西方文化中的數學》一書中虛構了“決定論先生”和“概率論先生”，以對話的方式探討“無序的宇宙：用統計觀點看世界”，最終得出結論：宇宙是無序的，科學、社會經濟方面所得出的相關原理、定律等只不過在“統計學意義（通過數據而得到的規律）”上成立，唯一的真理就是“沒有絕對的真理”。從“統計的角度”看問題，可稱之為“統計思維”。它具有辯證性，即從偶然中發現必然但又不能“百分之百”地相信“必然”，屬于人類的高級思維。對小學生甚至初中生而言都較難形成，但又非常重要。我國歷次義務教育數學課程標準對其“要求”也較為“糾結”。例如：《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中提出的是“統計觀念”；2011年版課標將“統計觀念”改為了“數據分析觀念”；2022年版課標在小學階段將其改為“數據意識”，并且特別強調“統計意義”，初中階段則采用“數據觀念”。這些修改反映了統計思維是一種非常重要卻又難以培養的思維能力。

統計思維比形象思維和邏輯思維更為復雜，它是人們自覺地運用數據對客觀事物的數量特征和發展規律進行描述、分析、判斷和推理的一種思維方式。數據要盡可能地排除人為干擾和系統誤差，這樣通過統計推斷所得到的結果才能“更好”，但所得出的結論并沒有“對錯”之分。這與數學結論具有唯一性、確定性等的特征不同，也是統計思維與數學思維的本質區別，由此也可以看出在小學階段培養學生的統計思維非常有難度。但是，統計思維的習慣要從早期學習就開始培養［7］，即使有困難也要在日常教育教學中逐步滲透，否則成年后會更難。

總之，統計思維的基本思維方式是歸納推理。例如，所獲得的一些數據既有差異性，又有規律性。數據越多（不同樣本類別、樣本容量），其規律性越明顯，所獲得的規律也越“可靠”。所以，統計思維本質上是證據思維，是辯證思維和邏輯思維的綜合體，但辯證思維的特征更明顯，而不是“非黑即白”的二元式邏輯性、因果性思維。在數學學習過程中一直滲透“統計思維”，浸潤式地培養學生的統計思維是非常必要的，這對教師的數學專業能力、教學能力也提出了更高的要求。

三、“理解百分數的統計意義”的教學建議

認識“百分數”重在讓學生感悟運用百分數衡量兩個量之間相對大小的必要性、理解百分數的含義以及初步感悟百分數的統計意義。通常在教學“百分數”時，教師會創設比較“絕對量（如投中球的數量、森林面積等）”與“程度量（如命中率、森林覆蓋率等）”等問題情境，幫助學生體會用百分數進行比較的必要性。但在這些問題情境中，學生所理解的仍然是百分數的“數學意義”，而不是它的統計意義。他們仍然是按照“每一百個投中多少個”來理解用百分數描述命中率，進而理解百分數可以表示投中的次數與所投總數之間的倍數關系的。雖然按這種方式教學，學生會“認可”百分數不是教師“告知的”，而是通過比較分母是20、100、200 等數時逐步感悟得到的。學生這樣理解的根本原因是“十進制”思想在他們心目中“根深蒂固”，他們認可用“百分數表達倍數關系”便于比較、便于作判斷和下結論。但是這樣的教學并沒有讓學生理解百分數的統計意義。那么，如何讓學生理解百分數的統計意義呢？

（一）在討論與辯論中感悟數據的隨機性

“統計”的研究對象主要是隨機事件，并通過對隨機事件展開調查或試驗得到隨機數據。隨機數據包括兩類：一是完全隨機狀態，即概率試驗所得到的數據，例如拋硬幣、擲骰子試驗所得到的數據；二是來自現實的數據，具有一定的隨機性，但又不完全隨機，屬于半隨機狀態。完全隨機和完全不隨機的數據，屬于數學研究或數學闡釋的范疇，半隨機的數據則由于歷史原因歸于統計研究領域。隨機性與不確定性不一樣，當然二者之間也有一定的關系，有的不確定性事件具有隨機性，有的則不具有隨機性。例如，本周日午餐“可能吃魚”，該事件具有不確定性，但它不具有隨機性，周日是否吃魚可以由“媽媽”決定。對數據隨機性的價值認識較晚的原因是“對其研究的難度很大”，研究者很難對“數據隨機性”的內涵給出操作性定義，而且很難弄清楚學生理解數據隨機性的過程。

以“命中率”為例，學生在理解百分數便于比較、能夠刻畫兩個量之間的倍數關系之后，還需要進一步認識投球所得到的數據具有隨機性。為突破學生已有的確定性思維的定式，教師需要引導學生從“統計”的角度認識“百分數”，即所得到的命中率只是“統計意義”上的命中率，不具有“確定的因果關系”。比如，命中率60%并不意味著“投10 個球一定命中6 個”。因此，在教學“百分數”的過程中，教師要激發學生展開討論與辯論：“假如再比賽一場，命中率一定是60%嗎？”“既然命中率不是確定的，那么推薦誰去參加比賽呢？”……這就要求學生“能夠根據情境，利用統計知識進行批判性的質疑，并用統計語言進行表達與解釋”［8］。

教學“百分數”的統計意義時，要讓學生知道在現實世界中隨機現象普遍存在，感知隨機現象的基本特征：可能發生，也可能不發生；可能以這樣的程度發生，也可能以那樣的程度發生。還要讓學生感知許多隨機現象發生可能性的大小是可以預測的。統計思維就是用部分數據推斷總體情況，不能保證“百分之百”正確，但要保證出錯的可能性盡可能小。這種根據數據作出推斷的方式就是統計的本質。

（二）與已有的統計經驗建立鏈接，感悟“數據蘊含信息”

一般而言，我們說“百分位數是一類統計量”，但不說“百分數是統計量”。平均數、中位數、眾數、加權平均數、方差、標準差等都可稱為“統計量”，能夠描述一組數據的“集中趨勢（集中量數）”或“離散趨勢（差異量數或變異量數）”。百分位數是百分位所對應的數據，即將一列數據由小到大（或由大到?。┡帕?，第一個數據就是第1百分位數，中位數就是第50 百分位數。要特別指出的是，第一個四分位數就是這組有順序數據中第25%所對應的數據，第二個四分位數就是中位數，第三個四分位數就是第75%所對應的數據。

雖然不說“百分數”是統計量，但是“百分數”的教學能夠與統計量的教學建立聯系。二者都通過對原始數據進一步加工獲得“新數據（即原始數據蘊含的信息）”，再根據數據所蘊含的信息作出合理的決策。比如，在“推薦參賽選手”的問題上，僅從投籃“命中次數”這一個量是不能獲得有效信息的?！懊写螖怠眱H在數量上具有可比性，但在統計意義上是不可比的。學生最直接的感受是“僅比較投中次數是不公平的，我們并不清楚他們各投籃多少次”?？梢?，學生需要從兩個量建立的關系（“投籃次數”與“命中次數”的倍數關系）中挖掘數據蘊含的信息。

“百分數”教學能否喚起學生學習統計量時的相關經驗呢？在學習“平均數”時，學生曾有過質疑“公平”的經歷。而在比較兩個小組的投籃水平時，直接比較兩個小組“投中總數”的做法也是不公平的。所以，學生需要從“投中總數”與“人數”的等分關系里挖掘數據信息?！鞍俜謹怠焙汀捌骄鶖怠倍疾皇歉鶕粋€量的大小判斷事物的程度的，而是通過相關數據之間的關系挖掘有效信息，進而作出更加客觀的判斷。它們的共性是把統計意義下不可比的數據變得具有可比性，為合理決策提供重要依據。

（三）讓學生感悟“命中率的來源”決定其可信度

如前所述，學生已經通過研討交流感受到，利用“投中的數量”不能做決策，利用“命中率”更科學，感悟到百分數這一概念產生的必要性。此外，還需要讓學生初步了解怎樣求得的“命中率”更可信，利用其作出的決策更可靠。統計思維需要超越數據本身，并與數據的來源背景進行連接。［9］

例如，教師可以創設這樣的情境：從甲、乙、丙3 人中選1 人參加投籃比賽，甲的命中率是100%，乙的命中率是90%，丙的命中率是80%。從命中率高低來看，當然選甲參加比賽，但是，甲參加比賽卻輸了。學生會很自然地反問：“命中率100%怎么會輸呢？”他們還會追問：“甲的命中率100%是怎么得來的？”教師告知學生選拔賽的過程：原來，選拔賽時，甲只投了1個球，結果投中了，命中率100%；乙投了10 個球，投中了9 個，命中率90%；丙投了50個球，投中了40個，命中率80%。這時教師提問：你會相信誰的“命中率”？學生可能會說：當然是丙的。

前述教學情境的討論真正涉及事件發生的隨機性問題。隨機性主要體現在兩方面：一是對于同樣的事件每次收集到的數據可能不同。如讓甲投籃1 次，投中1 次，命中率100%；另一次預賽，讓他投籃10 次，投中6 次，命中率60%。哪個“命中率”能代表他的水平呢？很難說。只有當他投籃的次數更多一些，才能發現“規律”。二是只有擁有足夠多的數據才可能從中發現規律。如讓甲投籃50次，投中29 次；投200 次，投中122 次；投500 次，投中300次……乃至投更多的次數。這時可以說，他的投籃命中率大約是60%，此時的“命中率”才能代表他的投籃水平，使用這個“命中率”作判斷、作預測才能“更準”。此外，還有一個基本假設：人的投籃水平基本是穩定的，但也會受偶然因素的影響。因此，一個人的投籃命中率是60%，決不能說“投100 次肯定投中60 次”。然而，在真正比賽時，兩個人的命中率分別是50%和60%，仍會派命中率60%的人參加比賽，因為他獲勝的可能性更大。所以在理解百分數統計意義時，不要簡單地被百分數所迷惑，而要考查百分數背后的統計過程。

推斷統計的核心是通過已經歷過的事件來推斷未經歷過的事件，或者說通過樣本推斷總體。因此，抽樣問題至關重要，但小學階段的統計內容中只是略有涉及，初中階段更應該提出“理解統計意義”的要求。統計分析的過程是一個循序漸進的過程，它既容忍誤差的存在，又在認識過程中不斷控制和降低誤差，同時還及時對分析結論進行評估。因此，“理解百分數的統計意義”很難，需要學生辯證地看待存在的“現象或事實”，從“統計角度”看待事件發生的過程與結果。