隱失波橫自旋的若干物理性質研究

王智勇，賈志國，王振偉，鄭宏祥，王宜祥，丁明娟，邵光存，汪相如

(1.電子科技大學光電科學與工程學院 成都 611731；2.濟寧科力光電產業有限責任公司 山東 濟寧 272113)

近年來，國際上興起了關于結構光場橫自旋的研究熱潮[1-4]，并且與光的自旋霍爾效應[5-7]和拓撲光子學密切關聯起來[8]。人們發現了結構光場橫自旋在單向光接口技術中的潛在應用[9-12]。 其中，橫自旋指的是垂直于結構光場運動方向的自旋角動量。按照標準的量子場論術語，它對應的是螺旋度為零的自旋狀態。眾所周知，電磁場作為無靜止質量的矢量場，在自由真空中只有兩個獨立的橫極化分量，其中左旋和右旋圓極化光分別描述螺旋度為±1 的兩種橫光子，而螺旋度為零的縱光子和標光子可以用電磁場場強的縱極化分量來描述，對于輻射場而言它是不存在的(對于非輻射場而言，縱光子和標光子可以以虛光子的形式存在) 。由于這個原因，從一開始人們對結構光場的橫自旋缺乏一個嚴格的物理圖像，甚至對它有些神秘化，同時對它的某些物理性質存在一些誤解。文獻[1–2]的研究指出，橫自旋與通常意義上的自旋不同，它不是量子化的。然而本文的研究表明，橫自旋仍然是量子化的。

關于結構光場的橫自旋研究，既有理論價值，也有實用價值。目前的研究已經將它與光子自旋的量子霍爾效應、拓撲光子學等領域密切關聯起來。因此，我們有必要厘清橫自旋的物理起源、弄清楚它的物理性質，為相關的理論與應用研究提供一個可靠的出發點。本文將以兩種介質分界面處的表面波(隱失波)的橫自旋為例，為結構光場橫自旋建立一個嚴格的物理模型。

1 表面波的橫自旋

考慮一個垂直于x軸的平面界面，將兩種線性均勻和各向同性的介質分隔開來。界面位于x=0，沿y-z坐標平面無限展寬，它將空間分成x＞0和x＜0 兩 個部分。其中x＞0的空間為真空(介質2)，而x＜0的 空間充滿折射率為 η的介質(介質1)。在x-z坐標平面內，當一束入射平面波從介質1 接近介質2 時，它將在界面附近激發出一個表面波，該表面波在界面附近沿著z 軸方向傳播，而沿x軸從界面x=0指 向x＞0的空間方向上是指數衰減的(只要入射角 φ 滿 足 η sinφ ＞1)，因而也是隱失波。表面波可以分為兩種基本模式：1) 橫電模 (TE mode) 或者s-極化模式；2) 橫磁模 (TM mode)或者p-極化模式。前者只有單個的、沿y軸方向極化的電場強度分量Ey，后者只有單個的、沿y軸方向極化的磁感應強度分量By。 利用復指數函數形式，在x＞0區域，表面波的電場場強E=(Ex,Ey,Ez)和磁感應強度B=(Bx,By,Bz)其非零分量可分別表達為[13]：

下面以TM 模表面波為例，按照式(1)對應的實函數表達式，給出t=0時刻的示意圖，如圖1所示。

圖1 介質分界面處TM 模表面波示意圖

按照時間平均定理，利用式(1)和式(2)可以求得表面波的能量密度為：

其中對于TM 模有h=ca0， 而對于TE 模有h=b0(下同)。同理，表面波的動量密度為：

表面波沿著z軸的能量速度為：

令Aμ=(φ/c,A) 是 表面波的四維規范勢，Cμ=(cφ,C)是與之對偶的四維規范勢，它們分別滿足：

規 范 條 件 選 為 φ=0 和 ?·A=0 ，或 φ=0和?·C=0 。此時含時諧因子 exp(-iωt)的表面波滿足A=-iE/ω和C=-ic2B/ω。 令三維坐標矢量r=(x,y,z)，利用式(7)和式(8)可以求出電磁場的總角動量[14]：

其中已經假定場在無窮遠處(|r|→+∞)具有合理的邊界行為，體積元 dV=dxdydz。式(9)第2 行和第3 行的第1 項，都是描述電磁場的軌道角動量；第2 項不顯含空間位置矢量r，描述電磁場的自旋角動量(簡稱自旋)。因此電磁場的自旋密度矢量存在兩種表達形式：類電形式se=ε0E×A和類磁形式sm=ε0B×C。當所有場量采用復函數表達時，時間平均的自旋密度矢量可表達為：

將式(1)和式(2)以及A=-iE/ω和C=-ic2B/ω代入式(10)，可以得到：

1)對于TM 模，sm=(0,0,0)和se=(0,sey,0)，其中：

式中，h=ca0。

2)對于TE 模，se=(0,0,0)和sm=(0,,0)，其中：

式中，h=b0。

表面波的自旋密度矢量沿x軸方向指數衰減，且只有y分量，從而與表面波的運動方向(z方向)垂直，因此這種自旋屬于橫自旋。式(11)和式(12)表明橫自旋與kz成正比，即表面波的橫自旋方向與表面波的運動方向之間存在一種鎖定的關系，這種關系使得橫自旋在光量子信息技術中存在潛在的應用。

利用式(11)和式(12)可以給出表面波自旋密度矢量分布圖。為了方便，令和κ=1(只需考慮相對的密度分布)，給出的仿真圖如圖2所示。

圖2 表面波橫自旋密度矢量分布圖

2 橫自旋的量子化

首先從表面波的能量量子化形式出發(忽略真空能)。利用式(4)可以得到表面波的總能量：

對于TM 模有h=ca0， 而對于TE 模有h=b0。式(15) 意味著總的橫自旋其正負同樣依賴于表面波的傳播方向。利用式(6)和式(13)可得：

式中， tanθ=κ/kz， -π/4 ≤θ ≤π/4。值得注意的是，表面波雖然有橫自旋，在與傳播方向相垂直的橫截面上，表面波是線極化的。但是在與傳播方向相平行的極化面內，表面波是橢圓極化的，這正是它有橫自旋的原因。式(16)中的因子e=tanθ正是這個橢圓極化面的橢圓度，它不為零時便貢獻了橫自旋，即有：

在圓極化的特例下，總的橫自旋Sy=nhˉ與通常意義上的總自旋形式一樣。但需要注意的是，在這里n=1,2,···是表面波中包含的場量子數，它描述的不是自旋量子化。同一種場的單個場量子，其自旋角動量的量子化，指的是它在任一個給定方向上的投影是量子化的。當n=1時, 式(16) 描述了表面波中單個場量子的橫自旋量子化形式，類似于矢量場的通常自旋量子化形式，只是 ±1被替換為描述極化橢圓的橢圓度 tanθ(- π/4 ≤θ ≤π/4)。 由于與橫自旋對應的極化橢圓面平行于傳播方向，因此稱此時的表面波處于縱向橢圓極化態。

3 表面波的等效靜止質量

然而，在可觀測的意義上，超光速粒子從未被發現過，這說明當波數矢量的某一分量變成虛數時，不能繼續生搬硬套傳統公式和定義。事實上，表面波沿z軸傳播的真實速度是式(6)給出的能量速度，并非超光速。于是根據式(4)～式(6)，可以由如下色散關系給出表面波的等效靜止質量密度 ρ0：

利用式(4)、式(5)和式(18)，可以得出：

利用等效靜止質量密度 ρ0可以求出表面波總的等效靜止質量M0：

利用式(6)、式(13)和式(14)，可以證明：

這正是能量和動量的相對論形式。結合式(13)、式(14)和式(21)，可以得到單個場量子的等效靜止質量m0：

利用式(13)、式(21)和式(22)可得：

令w=ω,Pz=np(n=1,2,···)，由式(14)可得p=vhˉ ω/c2，利用它和式(23)可以得到表面波中單個場量子的色散關系：

式(25)完全等價于式(24)，同時ms∝m0。將式(25)稱為表面波場量子的正則色散關系，此時ms=hˉκ/c扮演等效靜止質量的角色?？傊?，不能從中表觀地得出表面波場量子具有虛的靜止質量ihˉκ/c這種結論。畢竟表面波的場量子具有實數的能量和亞光速，這也符合所有可觀測量都是實數的結論。由于表面波存在等效靜止質量，它的場量子存在橫自旋。進一步地分析表明，結構光場的等效靜止質量，與結構光場存在縱向分量這一事實密切相關，這一點也與標準的量子場論結論類似。

4 基于自旋矩陣的橫自旋極化態描述

式中，反對稱張量Sμν=-Sνμ是用旋量 ψ描述光場時的四維自旋張量，它的分量為：

式中，l,m,n=1,2,3, εlmn=εlmn表示全反對稱張量(取ε123=1) ，而矩陣 Σl和 αl分別滿足：

式中， τ=(τ1,τ2,τ3)是光場的三維自旋矩陣矢量，其3 個矩陣分量分別是：

由于橢圓極化可以表達為兩種圓極化的線性疊加，為了方便，下面只研究兩種縱向圓極化情形(這里的“縱向”是指極化面在x-z坐標平面)。為了研究橫自旋，需要研究自旋在垂直于表面波的運動方向上的投影，即沿著橫向的自旋投影。以y軸方向為例，該方向上的基矢為 η=(0,1,0)，因此只需研究自旋沿著矢量 η的投影。為此考慮自旋矩陣矢量τ 沿矢量η 的投影算符，設它的本征方程為：

可以得到自旋投影本征值λ =±1,0，而本征矢為：

式中，e±1(η)是橫自旋所對應的縱向圓極化矢量(極化面在x-z坐標面上)，描述橫自旋在橫向矢量 η方向上的兩種投影本征態，分別對應投影量子數λ=±1。 與本征值 λ=0對 應的本征態e0(η)是冗余解，與電磁場通常自旋描述中的冗余解類似，對于輻射場應予以忽略。

5 橫自旋潛在應用的初步探討

由于光子沒有靜止質量，在自由真空中它的傳播方向是唯一的特殊方向，只有沿此方向上的自旋投影才是可觀測量。與此不同的是，如Dirac 電子，作為有靜止質量的自旋為1/2 的粒子，它的自旋沿任一給定方向上（如外加磁場方向）的投影都是可觀測量。這使得人們在最近二十多年來發展出自旋電子學這個前沿熱門學科。盡管如此，如上所述，在特定物理環境中的結構光場，由于存在等效靜止質量，從而存在橫自旋，它在非傳播方向上的投影也是可觀測量。因此我們也有可能發展出一門新的學科，可以稱為自旋光子學或自旋光學，它是自旋電子學的光學類比。事實上，基于納米結構中自旋-軌道耦合所產生的自旋對稱破缺，一個新的光學分支，即等離子體激元光學中的自旋光學，在近年來已經被人提出[17]。

為了給出一個具體例子，令 σ=(σx,σy,σz) 是泡利矩陣矢量。從表面波中質量為m、電荷為e 的Dirac 電子的哈密頓量出發，可以推導出如下一項相互作用的哈密頓量：

式中，hˉ σ/2是 電子的自旋算符，而se=ε0E×A和sm=ε0B×C是表面波的橫自旋，式(32) 描述了電子自旋與表面波橫自旋之間的耦合。這種耦合作用，既可以讓電子自旋的up 態和down 態之間產生能級分裂，也可以讓表面波光子橫自旋的up 態與down 態之間發生能級分裂，從而形成一個二能級的電子系統或光學系統，這個二能級系統可以作為基于自旋編碼的量子比特。因此從式(32)出發，可以研究電子流與光子流之間基于自旋編碼的量子信息的傳輸與轉換。

作為另一個可能的應用實例，我們將為新型激光測距技術的探索提供新的原理方案。激光測距技術是通過測量激光脈沖從測距儀入射到目標物體并且被反射回來的時間，來獲得目標物體的距離信息[18]，它在許多領域存在廣泛的技術應用。在過去的幾十年里雖然取得了巨大進展，為了滿足各種越來越多的特殊要求和測量精度，人們試圖尋找實現激光測距技術的新原理新機理。由式(11)和式(12)可知表面波橫自旋與頻率的三次方成反比；又由電子與光子之間的自旋耦合方程式(32)可知，光子橫自旋的大小分布，會影響到自旋電子學器件中電子的自旋排列分布(電子自旋翻轉的概率與耦合項的模平方成正比，與光子頻率的六次方成反比)。將激光測距中的回波信號光子轉換為表面波，再通過它導致的電子自旋排列分布，得出回波信號光子的頻譜分布。由于黑體輻射的頻譜是已知的，由此可以探測當被測目標是黑體時的回波信號。

以上只是給出橫自旋潛在應用的初步設想，進一步的詳細研究將在我們的下一步工作中出現。本文主要目的是厘清橫自旋的物理起源與性質，提供一個系統的理論框架。

6 結 束 語

本文為表面波橫自旋提供了一些新的關鍵洞察，如表面波橫自旋同樣是量子化的。橫自旋與表面波運動方向之間存在鎖定關系，這在基于自旋自由度的單向光接口技術中存在潛在應用。在物理上，橫自旋的存在，與表面波存在等效靜止質量有關。這正如存在靜止質量的矢量場(Proca 場)，它包含與零螺旋度極化態相對應的橫自旋態。與通常的自旋一樣，橫自旋也可以用自旋矩陣來描述。由于等效靜止質量的存在，表面波橫自旋在給定方向上的投影是可觀測量，因此可以類比于自旋電子學來發展一門新的學科，可稱之為自旋光子學。從電子與表面波相互作用的哈密頓量中，可以推導出電子自旋和光子橫自旋之間的耦合項。以此為出發點，可以進一步研究電子流與光子流之間基于自旋編碼的量子信息的傳輸與轉換。