攔截機動目標的三維協同中末一體化制導律*

陳宏旭，于江龍，陳 揚，董希旺，3，李清東，任 章

(1. 北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院·北京·100191；2. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109；3. 北京航空航天大學 人工智能研究院·北京·100191)

0 引 言

近年來，隨著來襲目標的速度不斷增大，機動性不斷增強，作戰樣式逐漸多樣化，對這類空中威脅目標的攔截造成極大挑戰。傳統的攔截方案是單枚導彈攔截目標，但由于目標機動性不斷增強，“一對一”的攔截成功率不斷降低，因此，采用協同制導的方式，多枚導彈攔截一個機動目標成為當前的研究熱點[1-4]。

目前，國內外學者在協同制導領域已經提出了很多解決方案。文獻[5]提出了一種二回路(決策回路和控制回路)的時間協同制導律，根據剩余飛行時間設計期望的一致量，設計反饋控制器，實現打擊時間的一致性。文獻[6]提出了領導者-跟隨者模式的時間協同制導律，選取一枚導彈作為領彈，為領彈設計相應的導引方法，為其余導彈設計跟蹤控制器跟蹤領彈，實現時間協同。文獻[7]根據變結構控制理論，設計了有限時間收斂的帶有攻擊角約束的制導律。文獻[8]基于模型預測，采用優化方法實現了帶有攻擊角約束的制導律。文獻[9]設計了帶有角度約束的協同制導律，多彈采用一定的編隊隊形增大攔截域，有效攔截大機動目標。文獻[10-11]基于改進比例導引法以攻擊角度約束作為偏置項，進而設計了時間角度協同制導律。針對攔截問題，文獻[12]提出了以動能攔截器為對象的攔截末制導律。文獻[13]提出了二維場景下基于覆蓋策略的多枚弱機動能力攔截彈協同攔截大機動目標的協同制導律。文獻[14]研究了三維場景下導彈逆軌攔擊機動目標的最優制導律。文獻[4]提出了一種新型的協同末制導架構，并且在末制導段實現了對目標的有效攔截。文獻[15]研究了多領導者-跟隨者模式下的多飛行器協同攔截機動目標的分布式協同圍捕制導問題。文獻[16]研究了多對多的協同博弈制導問題。

綜上所述，現有的多數攔截機動目標的制導律是在二維場景下，只考慮末制導，隨著來襲目標的機動能力提升和機動策略變化，較難滿足作戰精度要求。因此，研究三維場景下，結合中末制導的協同攔截制導律具有重要意義。

本文針對上述問題，基于二回路的協同制導架構，提出攔截機動目標的三維協同中末制導律。首先，針對末端目標機動能力較大的情況，使得我方攔截彈的可達區域之和完全覆蓋目標的機動逃逸區域，同時解算出中末交班的陣位約束。其次，為了保證末制導良好的交班陣位，研究基于預測命中點的協同中制導律，降低中段導彈過載，保證中末交班。最后，設計三維仿真實驗，驗證協同中末制導律的有效性。

1 三維協同制導建模

在導彈和目標的運動空間內，其多彈協同三維非線性運動模型如圖1所示。其中Mi代表第i枚導彈，T代表目標；VM和VT分別為導彈速度和目標速度，假設每枚導彈的速度大小都是一樣的，即均為同構導彈；ri為導彈與目標之間的距離；θM，i和φM，i分別為導彈的彈道偏角和彈道傾角；θT和φT分別為目標的彈道偏角及彈道傾角。

圖1 多彈協同三維非線性運動模型Fig.1 Multi-projectile cooperative three-dimensional nonlinear motion model

假設導彈和目標的速度方向都近似在導彈和目標的連線附近。那么，在縱向平面上的彈目相對運動方程可以寫為

(1)

其中，aM，lon，i為導彈i的縱向加速度，aT，lon，i為目標相對于導彈i的縱向加速度；ηM，i和ηT，i分別為導彈i和目標在縱向平面上的速度前置角；VM，lon，i和VT，lon，i分別為導彈i和目標在縱向平面上的速度分量，即

(2)

其中，σM，i和σT，i分別為導彈i和目標在側向平面的速度前置角。

同理，在側向平面上的彈目相對運動方程可以表示為

(3)

其中，aM，lat，i為導彈i的側向加速度，aT，lat，i為目標相對于導彈i的側向加速度；VM，lat，i和VT，lat，i分別為導彈i和目標在側向平面上的速度分量，rlat，i為導彈i與目標之間的距離在側向平面上的投影，即

(4)

2 末制導協同制導律設計

2.1 末制導協同打擊策略

在多導彈協同打擊目標的過程中，在導彈自身存在過載約束的情況下，每枚導彈都存在一個可攻擊區域，記為AF。此外，對于機動目標來說也存在一個最大逃逸區域，這里定義為當目標以不同的加速度方向，始終按照最大加速度大小飛行時可到達的區域，可記為AE。將三維的目標最大逃逸區域及導彈可攻擊區域用上一節所定義的側向加速度與縱向加速度在二維坐標系下表示，如圖2所示。

圖2 覆蓋策略描述示意圖Fig.2 Overlay policy description diagram

(a)π/arcsinμ為整數

(b)π/arcsinμ為小數圖3 情況1下的協同覆蓋策略示意圖Fig.3 Cooperative coverage diagram in case 1

若π/arcsinμ為小數，則覆蓋不均勻，那么所需小圓數量應為向上取整后的結果，即n=[π/arcsinμ]，如圖3(b)所示。

圖4 情況2下的協同覆蓋示意圖Fig.4 Cooperative coverage diagram in case 2

單個小圓所覆蓋的大圓弧長為

(5)

情況 3：當小圓半徑為0.5時，用情況 1 和情況 2 中的方法都不能實現對大圓的完全覆蓋，此時需要在大圓圓心處增加一個小圓，然后讓其余小圓覆蓋大圓圓周以及中心小圓圓周，如圖5所示。

圖5 情況3下的協同覆蓋策略示意圖Fig.5 Cooperative coverage diagram in case 3

因為大圓中心必有一個小圓，在外圈的小圓除了要覆蓋大圓圓周外，還應該保證內圈小圓的圓周被完全覆蓋，才能保證整個大圓被完全覆蓋。由幾何關系可得

(6)

此時，

∠DOMnF=π-

(7)

(8)

則外圈小圓的圓心位置為

(9)

2.2 協同末制導律設計

三維協同制導律在三維協同制導模型的基礎上，為了滿足上述標準彈道的特點，分別設計了第i枚導彈在縱向平面上的縱向加速度aM，lon，i和側向平面上的側向加速度aM，lat，i。其制導律的形式如下所示

(10)

其中，N為比例導引律中的導航比，Blat，i和Blon，i分別為導彈在側向平面和縱向平面上的協同偏置項。

將上式中的aM，lon，i和aM，lat，i代入式(1)和式(3)可得

(11)

在命中點處(t=tf)，ri，tf=0，從而ri，lat，tf=0，因此式在命中點處時，兩個等式的左邊為零，這就要求等式右邊也為零，即

(12)

通過最小化初始時刻和命中點的過載，從而降低整個打擊過程中的過載。即

(13)

式中0表示初始時刻t=t0，f表示命中時刻t=tf。當導彈i以標準彈道攔截過載為aT，i，s的機動目標時，同樣根據三維建?？蓪⒛繕诉^載aT，i，s分解到水平面上的過載aT，i，s，lat和垂直平面上的過載aT，i，s，lon，再結合式(10)～(13)可得制導律中的偏置項為

(14)

導彈i在初始時刻應滿足

{(VT,lon,i,0cosηT,i,0-VM,lon,i,0cosηM,i,0)(VM,lon,i,0sinηM,i,0-VT,lon,i,0sinηT,i,0)+Blon,iri,0=0
(VT,lat,i,0cosσT,i,0-VM,lat,i,0cosσM,i,0)(VM,lat,i,0sinσM,i,0-VT,lat,i,0sinσT,i,0)+Blat,irlat,i,0=0

(15)

導彈在命中點處應滿足

(16)

導彈i的剩余飛行時間可近似為

(17)

再對式(1)的第一個方程求導，并結合式(1)第五個方程可得

(18)

對式(3)的第一個方程求導，并結合式(3)第六個方程可得

(19)

結合式(10)和式(18)得

(20)

(21)

對上式進行積分，可得

(22)

同理，水平面上初始時刻和命中時刻的前置角關系可表示為

(23)

綜上，根據導彈和目標在初始時刻和命中點的前置角關系以及制導律設計項，整理為方程組

(24)

3 中制導協同制導律設計

3.1 預測命中點求解

預測命中點的求解[17]可以采用以下步驟進行。

步驟一：確定初始制導彈與目標的初始位置(xm，ym，zm)，(xt0，yt0，zt0)，經過Δt時間后，目標的位置變為(xt1，yt1，zt1)，假設該點即預測命中點，預測命中點的顯式求解

(25)

步驟二：將上一步驟中求得的(xt1，yt1，zt1)作為攔截彈的目標點，采取經典的比例導引律飛向目標，可以大致估計攔截彈需要的剩余飛行時間tgo，則攔截彈的飛行時間為tm=t0+tgo，目標的飛行時間tt=t0+Δt。

步驟三：令ΔT=tt-tm，若|ΔT0|<Δt(Δt為所取的時間步長)，則(xt1，yt1，zt1)就可以認為是預測命中點；若|ΔT0|>Δt，則重復步驟一和步驟二的內容，計算下一時刻點tt+1=tt+Δt時刻目標的位置(xt2，yt2，zt2)，并將該點看作預測命中點。重復計算攔截彈導引至這一時刻虛擬目標點所需要的剩余飛行時間tgo。

步驟四：繼續判斷目標與攔截彈的飛行時間差ΔT的絕對值是否大于時間步長Δt，若大于，則重復上述步驟。直到上述關系式變成小于就得到了預測命中點。

3.2 協同中制導律設計

基于預測命中點的修正比例導引律可設計為

(26)

其中，θ為攔截彈航向角，qp為期望的視線角，v為導彈速度。

預測命中點比例導引修正項的具體形式

Δac=k1(θ-qp)

(27)

時間協同偏置項[18]可以表示為

aξ,i=Kiriξi

(28)

其中，

帶有攻擊角限制的末制導律[19]設計如下

(29)

其中，αi=θi-Nqi+(N-1)θd，i，θd，i為導彈i期望的角度約束，N≥3，Kζ，i≥1。

綜上，基于預測命中點設計和中末交班陣位設計時間角度協同中制導律

(30)

4 仿真結果及結果分析

4.1 仿真結果

以多彈齊射的作戰方式為例來對上述的研究成果進行數字仿真與驗證，采用4枚攔截彈攔截，導彈最大過載38g(g為重力加速度)，目標最大過載15g，末制導開機距離為15km，導航比為3。目標在4～5s縱向以最大過載15g機動，5～6s側向以過載15g機動，10～11s縱向以過載15g機動。4枚導彈的覆蓋策略示意圖如圖6所示，*為解算出的導彈在末制導初始時刻的陣位。

圖6 覆蓋策略示意圖Fig.6 Cooperative coverage diagram

中末制導彈道如圖7所示。

(a)中末制導彈道圖

(b)末制導彈道圖圖7 中末制導彈道圖Fig.7 Mid-terminal guidance trajectory diagram

縱向、側向平面角度誤差如圖8所示。

(a)縱向平面誤差圖

(b)側向平面誤差圖圖8 縱向側向平面角度誤差圖Fig.8 Longitudinal - lateral plane angle error diagram

導彈過載如圖9所示。

圖9 導彈過載圖Fig.9 Missile overload diagram

4.2 結果分析

由圖6～圖9所示，基于圓域覆蓋算法的協同末制導實現了對目標逃逸域的有效覆蓋，協同中制導在中制導段實現了時間和角度協同，同時，導彈的中末制導需要過載均小于目標機動過載，小于導彈可用過載。在中制導結束時，導彈以設計的交班角度到達，平均角度誤差為0.8606°，時間一致性誤差為0.1291s，交班位置誤差為2.69%，在末制導階段，協同打擊策略分配了4枚攔截彈的攔截陣位，導彈的最小脫靶量為0.3693，在命中點附近最大過載為9.32g，小于機動目標的最大過載15g，通過協同中末制導實現了有效攔截。

5 結 論

本文研究了攔截空中大機動目標的協同中末一體化制導問題。在所提出的基于圓域覆蓋算法的協同打擊策略的基礎上定義了導彈的標準彈道，即代表導彈的小圓圓心所在的位置即為該陣位下導彈按標準彈道飛行時目標的機動大小。然后給出了基于改進比例導引律的協同制導律形式，推導了在滿足該協同打擊策略下的末制導初始陣位要求，以及該協同制導律各導彈所需要的偏置量大小。根據末制導對交班陣位的要求，為了實現精準中末交接班，采用預測命中點的方法，將導彈導引向交班陣位，設計時間角度協同中制導律，最終實現有效攔截。但是本文未考慮目標在中制導段的機動情況，因此后續將研究中制導段目標機動后基于預測命中點修正的制導律設計問題。