基于審美教育的高中數學課堂教學實踐研究

孫青

【摘要】著名的美育理論家蔡元培認為：美育，歸根到底，是一種感情教育，它所要得到的，是一種使人格變高尚的內在情感.隨著素質教育和課程改革的普及，“數學美學教育”逐步納入教育范疇，以審美能力、審美情趣為目標的數學美育旨在對數學知識和數學內涵進行提煉與深化，厚植學生內心，讓數學教育更加靈動、立體、深刻.基于此，文章以“三角函數的圖像與性質”為例，對高中數學美育內涵、本質、規律及表現形式進行深入解讀，領略數學美學精髓，提升數學美育水平.

【關鍵詞】高中數學；審美教育；課堂教學；實踐研究

引 言

高中數學的內容具有一定的抽象性，教師在教學過程中要通過美育的方式循循善誘，激發學生的學習興趣，使學生在學習概念或定理時，可以體會到數學的嚴謹美、邏輯美、簡潔美和奇異美.數學不只是一門學科，同時是一門生活藝術.教師在培養學生思維能力的同時，應注重對數學中潛在美學價值的拓展.

三角函數是高中階段數學學科的重點之一，是學生進一步學習相關知識和高等數學的基礎，在數學高考乃至生活中應用廣泛，其中三角函數圖像靈活多變，富含豐富的美學元素，能夠有效滲透美育價值.

一、揭示函數之美的內涵

高中數學的教學過程不僅僅是學生理解數學理論、提升數學意識和認識發展規律的過程，更是在教師的指導下形成獨特的數學審美和數學靈感的過程.數學之美體現在簡潔美、規律美、波動美、邏輯美、嚴謹美等方面，這些審美元素與數學知識、公式、符號、解題過程等相互融合，滲透在數學教學的每個環節中.

其中數學簡潔美體現在使用簡單的數學符號、公式和理論揭示隱藏在表征符號中復雜而深刻的變化規律.教師要將深層次的數學本質和規律利用教學過程和教學內容向學生進行揭示，使學生意識到數學的內在是美的、奇妙的.例如，在教學“三角函數”相關知識中，“sin”符號始創于1753年瑞士數學家歐拉的筆下，正弦函數y=sinx將變量x和y通過簡單關系的表達，凸顯三角函數的簡單美和符號美；函數y=sinx的圖像由一段反復重現的曲線組成，波瀾起伏，因此也被稱為“正弦波”，正弦波的最高點被稱為“波峰”，最低點稱為“波谷”，宛若高山大川，簡單的圖像繪制出自然界高山大川的極致之美，也如雄鷹扇動的翅膀曲線，當雄鷹在空中不斷地振翅勻速直線飛行時，上下翻飛的連綿軌跡展示了動態美和規律美.包含y=sinx在內的y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等函數，對稱軸或經過圖像的“峰頂點”，或經過“谷低點”，并且平行于y軸的任何一條直線，反映出了圖像的對稱美.在高中數學“三角函數的圖像和性質”教學中教師要充分挖掘美學內涵與本質，將美與教育相互融合，從課堂教學、思維品質和能力培養中滲透美學意識，提高學生對數學之美的感知能力，在數學學習中認識數學之美，體驗創造之美，增加數學吸引力，培養學生數學學科情懷.

二、探索函數之美的規律

高中階段學生已經具備相對完善的數學意識和學科素養，課堂教學不僅要著眼于對學生進行學科理論知識和實踐能力的培養，更應關注學生學科素養和思維品質的提升.在課堂教學中，教師應有意識地學習進修，增強美學內涵，在教學中追求藝術和教育的有效結合，發現美學規律，回歸數學本質.特別強調在教學手段中的創新和應用，讓抽象的、高深的數學知識在具體的、形象的表現方式中發揮出特有的學科趣味，讓學生更愿意接近數學、接納數學、熱愛數學.

“三角函數”是高中數學教學的重點和難點，按照傳統的教學方式，在圖像的繪制中通常是通過列表、描點、連線展示出函數軌跡，囿于課堂時間的約束，教師在講解和繪制的過程中稍顯局促和匆忙，通過利用多樣化教學資源，如硬件設施多媒體、信息技術等，以及軟件設施微課、先進的教學理念和多角度教育方向，將三角函數化繁為簡、化靜為動，讓函數值跟隨自變量的變化而變化，步步相隨的動態運動幫助學生更快地理解函數內涵，感受同一函數中不同參數與圖像特征之間的聯系，進一步掌握函數的性質.數學之美、函數之美的規律需要學生自主去發掘和發現，當學生在觀看函數y=sinx的圖像動態演示后，自主發現三角函數中平移、壓縮、拉伸和對稱變換特點，結合想象探索其中的運動規律，將“被動學習”轉化為“主動探究”，實現以“感受數學之美”為中心的“五育并舉”數學課堂教學目標.

函數y=sinx圖像與正弦曲線之間動靜相宜，相互統一，在動靜之間蘊含豐富的靜態美和動態美，充分展示數學的藝術價值和美學規律.在以“美育”為補充的數學課堂中，要求教學結構有組織、教學環節有章法、教學內容有側重，詳略得當，重點突出，實現義務教育階段“立德樹人”教育目標和學生能力品質的提升.為上好一堂課，開好大局觀，立足教材，結合實際，更具學生基本學情和認知特點，通過講解、剖析、演示使三角函數知識動起來、活起來，賦予數學學科美的內涵和美的形式，調動學生多重感官，增強教學之美和品質之美.

三、解讀函數之美的典型

（一）自然美

高中階段數學知識多數是抽象的，教師在教學過程中培養學生的審美意識，凸顯美育價值，必須結合數學知識，將抽象化具象，讓數學內涵具體地、形象地展示在學生面前，讓學生在直觀的體驗和感受中深化數學知識，理解函數應用.數學是反映自然規律、刻畫生活現象的學科，當學生不能完全領悟數學的奧秘時，往往認為數學是枯燥的、乏味的，這也是造成學生在數學學科兩極分化嚴重的內在原因.教師要改變學生的認知，糾正學生的誤區，在教學過程中引導學生發現數學的自然之美，將函數在生活中的應用滲透到教學的各個環節，讓學生對數學的認知從“實際的”到“有用的”再到“奇妙的”心理轉變，感悟數學，運用數學，解決生活難題，激活數學興趣.

（二）簡潔美

數學學科相較于其他學科，較少應用“中文”和“漢字”，數學以其獨有的“學科符號”構筑了龐大的數學世界，在這個世界里有豐富的、無窮無盡的知識，高中數學僅僅是站在了這個世界的門口，但已經成為學生打開另一番天地的鑰匙.高中數學知識承上啟下，是高等數學的基礎，學生記憶和應用起來十分困難，利用審美教育另辟蹊徑，讓學生在相對容易的“審美”過程中領悟數學內涵，增強對數學知識的記憶和應用能力.現行數學教材中呈現最多的是數學符號、公式和定理，在一定程度上體現了數學語言的簡潔之美，解讀一個個數學符號背后的文化和應用方式，充滿推理和解謎快感.簡潔之美具有高度的統一性，在表現形式上留有大量的空白，每一個公式都是對具有相同特點的事物的一種歸納，其背后隱藏著另一番天地，教師要幫助學生一探究竟，從簡潔之美切入“尋寶探寶”，充分利用簡單、有效的信息推理解決復雜的數學問題，聚焦思維的無限可能性，讓函數學習具有自由、開放的特點.

（三）統一美

高中階段數學題目充分考驗學生的邏輯思維能力，尤其是在三角函數中，數學不會推翻原有的數學理論，它總是包容原先的理論，在繼承和發展原有的理論基礎上再加以延伸.在對學生美育教育時，教師應有意識地發散學生思維，充分體會數學學科的統一之美，從三角函數的整體及部分、整體與整體、部分和部分的關系中達到和諧統一，使學生具備將函數知識融會貫通的能力.數學結論具有唯一性，這準確地概括了函數問題的本質，雖道路征程不同，但目標只有一個，運動軌跡萬千，對應公式僅此一行，這種極限對應完全展示了數學統一之美，對端正學生求知態度，樹立學習目標，落實“立德樹人”具有現實意義.

（四）跳躍美

無論是正弦函數還是余弦函數，抑或是正切、余切函數，都具有規律性，它們以π為特征周期進行代數式表達，因此π是函數的核心常數，隨著周期性的函數值出現，函數圖像展示出規律的跳躍性特征，從圖形之美中深切感悟函數的研究之美.由于函數自變量在以π為規律表達式，取值在正無窮到負無窮上，也就是說自變量在實數集上不受限制的情況下，函數值反而在-1到+1上來回變動，所以，這個規律在復雜的數據研究和復雜的表達式中就可以用三角函數作為修飾參數對代數表達式進行修飾，這也是研究復雜函數領域的一個很好的修飾參數，也是體現三角函數跳躍之美的關鍵所在.任意大小的自變量可以限制在-1到+1之間，從而給更復雜的表達式提供限制，傅里葉級數三角函數表達式充分體現了這一函數之美.

四、探究函數之美的本質

三角函數是溝通初等數學和高等數學的橋梁，也是數形結合的典范.作為描述周期現象的數學模型，三角函數是高中階段數學知識體系中的最后一個初等函數，也是打開高等數學大門的基礎.在新一輪的科技革命中，數學知識是解決生產和生活的重要工具，在教學過程中三角函數的學習探究和應用必須響應教育需求和學生需要，形成從下而上或從上而下的垂直研究，其中從下而上的研究是從三角函數的定義、值域、奇偶性等性質出發，研究三角函數圖像的表現手法和規律，從上而下的研究則是先根據條件作出三角函數圖像，結合圖像通過邏輯推理得出三角函數性質.按照人教版教材的內容編排，從“函數定義—圖像繪制—性質探究—模型應用”有序展開，屬于從下而上的研究，符合科學規律和學生認知，在數學思維的構建和完善中，力求達到知識與教學的相互統一.三角函數的美育教育通過深度解讀學科內置、瞄定函數教育目標，借助精心策劃的教學方案，引發學生在“最近發展區”的認知提升，關注學生學習主動性和自覺性的生成，在情感激發、問題解決、思維重構中感受數學之美，培養發現美的“智慧之眼”，探究數學美的本質.

（一）對稱的“波浪”

正、余弦函數圖像都具有對稱之美，從觀察圖像的左邊軌跡和形態，能夠清晰地、直觀地感受到對稱圖像的規則之美，那么如何從這對稱之美中感知三角函數的性質呢？我們設計“對稱的‘波浪’”課題研究，從直觀觀察切入抽象理解，由淺入深，由表及里循序感悟.

以問題情境導入新課，設置五層問題：

問題1：觀察圖像對稱的三角函數，辨析其正弦、余弦函數的哪個性質能夠體現對稱之美？

問題2：圍繞“對稱”，從兩個角度解讀正弦函數和余弦函數的奇偶性.

問題3：通過大膽假設和小心求證，驗證奇偶性.

問題4：已知函數y=sinx（x∈R）的對稱中心是O（0，0），是否還有其他的對稱中心？

問題5：正弦函數、余弦函數的對稱軸和對稱中心如何表達？

通過五個假設問題的層層深入，借助幾何畫板展示函數圖像，使學生從觀察和分析中體會三角函數的性質和對稱之美間的關系.教師利用問題1引導學生了解函數的奇偶性，啟發學生對對稱之美和函數性質的意識，引出“能否通過驗證函數的奇偶性體現對稱之美？”的思考，提高學生探究和推理的能力；問題2和問題3的提出則是對學生提出疑問的認可，肯定學生思考的方向，一方面鼓勵學生大膽假設，感知思考的重要性和必要性，從多維度啟發學生橫向到邊、縱向到底的思考，激活學生已有的知識基礎，從現有經驗中獲取打開新大門的鑰匙；另一方面借助主觀能動性，強化學生主觀意識，將學生從“被動學習”中解脫出來，實現主觀層面的“主動吸收”，幫助學生構建適合自身的思維體系，實現對三角函數性質的深層理解；在接下來的問題4和問題5中，引導學生從三角函數的奇偶性中挖掘美學元素，歸納圖像對稱之美的衍生根本，歸納三角函數的基本規律.

這一系列活動將三角函數的對稱之美與函數的奇偶性聯系起來，讓學生在問題的驅動下，加深對數學知識的理解，提升數學學科核心素養，培養抽象思維能力，同時通過認識函數的對稱之美增強數學趣味和美感，讓數學教學充滿藝術性.

（二）起伏的規律

在學生掌握正、余弦函數的圖像規律和奇偶性基礎上，從函數圖像的最高點和最低點進行切入，思考函數軌跡起伏的規律，精準把控函數周期性、對稱性、單調性、最大值、最小值的深層理解，促使思維由表及里進行滲透，強化數學美學的“意識”和“感悟”.

同樣設置探究問題：

問題1：根據正、余弦函數圖像的起伏規律，能夠看出是函數哪個性質的表象？

問題2：探究正弦函數對稱軸的根源和本質，思考這一本質與函數哪種性質有關？

問題3：正、余弦函數的最值和對稱軸之間存在什么關聯？

這些問題主要聚焦三角函數的軌跡，通過觀察函數圖像的起伏規律和起伏過程，有意識地標注函數圖像的“起”“伏”點位，在點線之間研究正弦函數的規律和單調性.其中問題1驅動學生辨別函數圖像的單調增區間和單調減區間，找到“增減交替”的規律；問題2將學生的“視角”從“對稱”向“周期”轉換，圍繞“周期性”對函數圖像進行進一步研究，明確函數的劃分方式，促使學生掌握多樣化劃分手法；問題3則是鼓勵學生主動實踐，標注函數最值，將具體的數據標注在圖像上，感知數據和圖像之間的關系，讓數學知識和表現融會貫通.

這一系列活動聚焦“起伏規律”，提高學生的思維轉換能力，讓學生在感悟起伏之美、規律之美的過程中理解函數的周期性、最值等問題，層層深入之下實現數學知識和概念的融合，同時進一步拓展思維，強化美學意識.

（三）傳遞的魅力

在設計“三角函數的圖像和性質”練習題時，圍繞“對稱”設計“圖像”轉“方程”的相關練習.

練習1：繪制y=sinx，x∈[-2π，2π]或y=cosx，x∈[-2π，2π]的函數圖像，展示函數的軸對稱或中心對稱樣態.

練習2：通過觀察對稱函數，聯想生活中的軸對稱圖形和中心對稱圖形.

練習3：舉例說明數學式的對稱和不對稱.

教師以題目練習為載體，引導學生從教材中走出來，向實際生活走進去，從直觀思維轉化為抽象思維.其中練習1讓學生在自主繪制函數圖像的過程中，掌握“五點法”，通過繪制和展示，瞄定“對稱”將數學之美貫徹到底；練習2與練習3則是開拓學生思維，一方面使學生認識到“對稱”的特質并非僅存在于圖形之中，讓學生從圖像思維轉化為數學式思維，另一方面加強學生對知識的掌握和理解，引導學生從“教材”中看生活，發展德智體美勞的多邊互動.

結 語

綜上所述，“立德樹人”視域下，美育思維滲透高中數學“三角函數的圖像和性質”教學中，是對學生理解數學知識的一種強化途徑，也是實現培養學生練就一雙發現數學之美、體會數學之美“眼睛”的途徑，更是為學生提供認識美、感受美、創造美的平臺，將數學知識貫穿于審美的全過程，感悟美的真諦，形成數學思維.

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