深度學習視域下實例式教學實施路徑
——以“最小二乘估計”為例

何俊蓉 金晶

黃岡師范學院數學與統計學院 （湖北省黃岡市 438000）

1 引言

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱“新課標”）對“統計”章節的要求是：通過數據收集、整理和分析，感悟數據統計在實際生活中的進行科學決策的必要性，體會統計思維，積累數據分析的經驗，提升數據分析素養[1]。高中數學課堂核心素養的落實需要深度學習，深度學習理論強調學生在已有認知水平和活動經驗的基礎上建構新知以獲得高質量學習結果。實例式教學又稱拋錨式教學和基于問題的教學，提倡在實際的情境中教師引導學生發現、探究并解決問題，學生在此過程中結合自身已有知識技能進行新知建構，提升解決問題的能力。從這個意義上來講，實例式教學為深度學習提供了合適的切入點，深度學習理論與實例式教學不謀而合。喬連全等人比較了中美基于問題的拋錨式教學案例，詳細闡述了基于問題的拋錨式教學設計、內容、特征以及實用情況[2]；李少云等人借助拋錨式教學模式研究了導數概念設計[3]；虞秀云等人聚焦真實問題，對拋錨式教學下的課例設計進行解析[4]。依托特定的數學學科知識，提出具體的實例式教學實施步驟的研究相對較少。

“最小二乘估計”是人教A 版高中數學選擇性必修第三冊“統計”章節的內容，其教學往往由于過程枯燥、知識抽象難以與現實生活聯系，使得教學效果不盡如人意。本文以“最小二乘估計”的教學為例，采用問題驅動的方式，構建實例式教學的實施過程，引導學生感受數學模型思想，培養數學建模和數據分析素養，促進學生深度學習。

2 教學模式和理論概述

2.1 深度學習理論

黎加厚教授指出，深度學習（Deep Learning）是在理解的基礎上，學生批判地接受新知，并將其納入原有認知結構與自身已有經驗建立聯系，將所學遷移到真實情境中以解決問題[5]。深度學習提倡主動的、批判性的有意義學習，要求學習者在真實的情境中注重對信息的深度加工，批判性的反思學習，深度掌握數學核心概念和原理，主動建構知識網絡并應用到情境中解決數學問題，最終促成學習目標的完成和核心素養的提升[6]。

2.2 實例式教學

實例式教學模式倡導以學生為主體，教師通過創設實際教學情境以激發學生認知沖突[7]。該模式一般由創設情境、確定問題、自主學習、合作學習、效果評價五個環節組成，強調圍繞特定的教學目標，根據教學任務創設真實的問題情境，通過課堂中師與生、生與生的交互式學習，讓學生在盡可能真實、完整的情境中產生學習的需要與興趣，親身體驗和感受、主動識別、探索并解決問題。實例式教學提倡學生在數學活動中自主觀察和探究，對學生創新意識、實踐能力和思維能力的培養以及實現知識的概括化遷移、“四能”的發展具有重要作用。

圖1 實例式教學架構

3 “最小二乘估計”實例式教學的實施探討

3.1 創設情境,提出問題

問題來源于情境，在數學情境中提出數學問題的過程是學生“數學化”學習過程的基礎環節，而數學化又是數學建?；顒拥慕裹c。面臨新的情境，深度學習提倡將已有經驗進行加工、重整，使其在新的問題情境中圓滿解決問題，實例式教學尤其重視數學情境的真實性，必須有利于學生對所學內容的意義建構。在此基礎上，從學生的興趣點著手，向學生展示視頻《泰城古國槐，記得住鄉愁》：歷史的積累和沉淀造就了泰安市車道上一棵棵挺拔的國槐樹，如今已成為城市一道靚麗的風景線。正所謂“十年樹木，百年樹人”，通過視頻對學生進行文化上的熏陶。賈某想知道家附近道路上一棵古槐樹有多高，通過測量得知樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m 處的直徑）約為60cm，你能想辦法幫他估計出樹高嗎？

實例式教學又稱基于問題的教學，顧名思義，“問題”是其核心所在。好的提問能增加師生間的有效交流，獲得信息增量，促進問題解決。觀看完視頻之后，教師提問學生：通過樹的胸徑為60cm，能預測出樹高嗎？

3.2 確定問題，建立模型

實例式教學采取“支架式”策略和“淡出”策略[8]。支架即搭建的腳手架，在教師的引導下，學生回顧“建立兩個變量之間的關系需要搜集相關數據”，通過測量校園里國槐樹的胸徑和樹高搜集到部分數據，得到樣本數據和散點圖。

表1 樹的胸徑與樹高對應關系

圖2 散點圖

表1 中，胸徑為18.1cm、20.1cm 時，樹高分別為18.8m、19.2m；胸徑為29.6cm、32.4cm 時，對應樹高為22.4m、22.6m；可見樹的胸徑和樹高之間并不是函數關系，因此不能用函數模型刻畫。觀察圖2，發現散點大致分布在從左下角到右上角的直線附近，表名胸徑和樹高呈線性相關。聯想到用一次函數來刻畫這種關系，設即胸徑和樹高的關系模型，模型中參數a、b 刻畫了變量y 與變量x 的線性關系。根據成對樣本數據估計這兩個參數，換言之，能否找到一條直線，使得所有的散點盡可能地接近這條直線呢？如果可以，又怎樣刻畫散點與直線的接近程度呢？

學生可能的想法：第一，測量法，即先找出一條直線，測量出各點與它的距離，然后移動直線，到達一個使距離的和最小的位置，測量出此時的斜率和截距，可以得到一條直線；第二，畫圖法，在圖中畫出一條直線，使得分布在該直線兩側的散點的數量基本相等，即為所求直線；第三，平均值法，在圖中多取幾對點，確定出幾條直線，分別計算出幾條直線的斜率和截距，然后將將它們斜率和截距的平均值作為所求直線的斜率和截距。

圖3 學生成果展示

問題推動教學，教師通過問題串帶領學生深入分析，從嘗試表示樣本數據點與直線的接近程度，到成功建立起數學模型，學生經歷將現實問題抽象成數學問題的“數學化”過程，深深體會數學來源于生活也應用于生活，從而強化學習的內部驅動力。

3.3 自主學習，解析模型

學生經歷了由特殊到一般、最小二乘法思想，明白模型建立的核心是最小二乘法，過程中也滲透了二次函數最小值的思想。借助數學概念和原理分析數學問題，通過教師提供的相關線索，學生親身經歷知識的生成過程，根據提示完成任務。而學生通過上網查閱相關書籍、搜集資料等，是一個自主探索的過程。當遇到困惑（用什么方法求的最小值）時，教師根據本節課的核心給予適當提示——轉化成二次函數求最值問題，學生攻克難題的同時，掌握了用最小二乘法求、的方法。

3.4 合作學習，解決問題

依據模型找到刻畫胸徑與樹高關系的函數關系式，再回歸到具體問題，通過合作學習，在學習共同體中各成員的討論交流、補充修正之后，對模型進一步完善，最終解決問題。

圖4 胸徑、樹高經驗回歸直線

3.5 反思評價，提升素養

實例式教學解決的是學生面臨的真實問題，學生學習的過程就是問題解決的過程，即該過程能夠直接反映出學生的學習效果，學生的接受和內化程度也就決定著教學實施效果?；诖?，教師帶領學生反思：根據建立模型得到的預測結果是準確值嗎？倘若我們在教師再搜集一組數據進行預測，得到的預測值還會一樣嗎？如果不一樣，造成誤差的原因有哪些？你能總結出用最小二乘估計的一般步驟嗎？

學生回顧數學模型建立過程：發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型；數學模型搭建了數學世界與實際問題的橋梁。學生反思學習過程，教師反思教學過程，正是效果評價環節的意義所在。

實例式教學為學生進行深度學習搭建了平臺，真實的情境降低了學生將現實問題抽象成數學問題的思維難度。從發現問題到提出問題，鍛煉了學生的數學抽象思維；建立模型和自主學習環節也使學生數學建模和數據分析素養得到提升。教學的五個環節由淺入深、環環相扣，讓學生體會統計思想、積累數學活動經驗，實現深度學習。

4 實例式教學啟示

4.1 情境創設需遵循量力性原則

維果茨基的“最近發展區”理論指出教學要走在發展的前面。實例式教學的特色在于通過創設逼近現實的問題情境，激發學生自主探索、與同伴交互式學習，解決真實問題。因此，開展教學的前提就是創設一個良好的數學情境，情境的創設就要遵循“最近發展區”理論，使數學活動涉及到的學科知識在學生的認知范圍內，才能實現知識的建構，促成有效學習。此外，學生自主探究的問題也要適度、適量，注意問題梯度的設置，層層遞進、循序漸進地啟發學生向目標靠近。

4.2 主題教學促進核心素養的提升

以“最小二乘估計”為例的實例式教學主要以兩條線索展開：一條是用最小二乘法預測數值，另一條是搜集、整理、分析數據的過程。在開放性的問題背景下，教師以“輔助者”的角色引導學生參與問題生成與解決的全過程，深入學習，不僅可以提升學生的數據分析素養，也鍛煉了學生的數學思維。學生從多元化視角思考問題，親身體驗用最小二乘法原理構建模型，有利于數學建模能力的培養和素養的提升，達到鞏固“四基”、提升“四能”的教學目標。