突發傳染病疫情背景下民生物資應急保障服務網絡優化研究

秦進，徐玖龍，吳志君，鄒浩，穆巴拉

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

近年來，在全球范圍內各類突發公共衛生事件時有發生，不僅造成了慘痛的人員傷亡，還伴隨著巨大的經濟財產損失和社會發展滯緩，甚至引起長時間的區域性乃至全球性的群眾恐慌狀態。例如，2020 年初開始爆發的新冠疫情，目前已成為近百年來在全世界范圍內發生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發公共衛生事件。實踐證明，在涉及傳染性疾病的重大突發公共衛生事件發生時，實施必要的區域隔離或封閉等應急管理措施，可以為有效控制病毒風險傳播奠定堅實基礎。但是同時，為隔離區域內的廣大人民群眾提供高效、及時和充足的民生物資保障，就成為確保受災區域社會穩定和穩步推動防疫工作的重中之重。物資保障問題，也稱為物資調度問題，在國內外已經得到了廣泛關注和深入研究。HAGHANI 等[1]建立了多商品、多模式和帶時間窗約束下的應急物資調度線性規劃模型，為應急物資調度的深入研究奠定了理論基礎。FIEDRICH 等[2]針對震后初期搜救階段可用資源分配問題，構建了應急調度動態優化模型及求解方法。GUTJAHR 等[3]分析了人道主義緊急救援中的公平和剝奪成本的內涵和構成，將經濟學中的基尼系數應用于剝奪成本函數。LI等[4]研究了疫情發生前醫療用品的儲存和疫情發生后醫療用品的動態應急分配的協同問題。程碧榮等[5]考慮在事故關鍵救援期內應急資源供應不足的特點，研究合理規劃救援車輛配送路徑等問題。秦進等[6]研究了災后交通網絡節點修復與物資配送路徑的協同優化模型，并基于蟻群算法進行求解和分析。呂偉等[7]同時考慮應急物資運輸的軟硬時間窗的約束，以最大化時間滿意度和需求滿意度為目標，建立了公平調配模型。劉長石等[8]考慮到震后災民存在非理性攀比心理，構建物資分配與運輸的雙層協同調度優化模型。超網絡是由多個網絡交織而成的復雜網絡，因其與供應鏈特性相符，常被用于解釋和描述供應鏈問題。NAGURNEY 等[9]將超網絡理論應用于物流供應鏈領域，首次提出了供應鏈超網絡均衡模型。NAGURNEY[10]提出了橫向并購供應鏈網絡整合理論框架模型，并定量化驗證了整合策略的效益。MASOUMI等[11]考慮到血液的易腐性、采集風險、活動頻率和需求不確定性，分別提出了血庫超網絡整合前后的模型。NAGURNEY[12]關注到新冠大流行帶來的勞動力短缺，考慮了多種情景下的勞動力約束，揭示了勞動力短缺對企業利潤的影響。朱莉等[13]在構建物資配送超網絡框架的基礎上，將災害風險程度視為網絡流，在此基礎上討論受災情形下的應急物資調配問題。彭永濤等[14]以網絡供給能力和需求的最大化匹配為目標，研究超網絡節點通過能力的重新設計與改造升級優化。蘇鑫等[15]針對大規模海上溢油事故，建立了考慮了路段脆弱性的多種應急物資跨區域調度的超網絡模型。宋英華等[16]考慮到災后網絡中各類人員會表現出不同心理效應，進行了心理狀態對物資調配方案影響的定量化分析。綜上所述，目前關于應急物資保障和調度的研究，多集中在各類自然災害發生后路段受損的情況下如何快速實施應急響應和恢復，而與突發公共衛生事件相關的研究成果并不多見，尤其是未考慮區域內物資運轉過程中傳染病毒的潛在風險，也較少分析初期供應物資不足的可能。鑒此，本文基于超級網絡理論，在區域突發公共衛生事件的背景下，同時考慮物資需求滿足風險、疫情傳播風險、主體關聯程度和工作人員數量限制等，以應急總成本和物資供應風險損失最小化為目標，構建民生物資保障服務超網絡設計優化模型，在此基礎上將原數學優化模型變換成了相應的變分不等式形式，并選取修正投影算法進行問題求解和計算分析。

1 問題分析

突發新冠疫情等重大公共衛生事件，對于一定區域內的民生需求，需要提供高效、及時的物資保障服務。根據應急民生物資保障服務內涵和特征，構建一個由服務組織O、I個生產企業、J個存儲企業、K個需求點及其物流活動構成的民生物資保障服務網絡構架，如圖1所示。

圖1 民生物資保障服務網絡拓撲結構Fig.1 People’s livelihood material supply service network topology

頂層組織者從生產點采購物資，送至存儲設施進行保存、分揀和包裝后，分別配送至各需求點，全過程中涉及到的采購成本、運輸成本、存儲成本和配送成本等，均使用弧上費用進行表示。其中，存儲環節是在同一個存儲企業內部進行，為了統一費用描述與建立模型，在圖中以虛線形式表示。

圖1 所示保障服務網絡具有突出的主體多級、網絡多層、流量多維等特征，符合超網絡的基本內涵[2]，因此可以視為一個典型的超網絡優化設計問題。

為了便于描述問題，定義變量符號如表1所示。

表1 符號說明Table 1 Notation

另外定義決策變量如下：

為了便于建立模型，做出如下假設：

1) 各個需求點對每種民生物資的需求是隨機的，且相互獨立。

2) 每個供應點都能供應所有類型的民生物資，中間物流節點不產生任何需求。

3) 相應的成本函數均為凸函數。

2 模型構建

基于所構建的民生物資保障服務超網絡結構，可構建民生物資保障服務的數學優化模型。模型的優化目標是最小化服務組織內的總成本和需求滿足風險，同時考慮流量守恒、勞動力限制等約束條件。

1) 運營成本

服務網絡中的物流活動會產生相應的運營成本，在網絡運營的不同階段具體表現為采購成本、運輸成本、存儲成本和配送成本等弧上費用。路段a上的運營成本ca(·)，一般由通過其上的物資量確定。同時，考慮相鄰層級間的2個節點在自然地理、社會經濟等方面的聯系，日常聯系越方便，2 個節點間的弧上運營費用越低。根據參考文獻[17]，引入參數主體關聯度ra，以反映網絡中2 個節點之間的聯系便利程度。由此確定超網絡中的弧上運營成本函數，可以表述為ca(·)=。因此網絡中總的運營成本C1為：

其中，θ1表示對應的系數。

2) 疫情防控成本

不同于地震等自然災害，突發傳染病疫情具有傳播速度快、感染范圍廣、防控難度大的特征，因此還考慮了民生物資保障服務過程中疫情傳播的風險。從事物資配送與存儲等工作的人員因不可避免地經過風險較大的公共區域，存在在物流活動中感染病毒的可能。

疫情防控環境下，人工參與相關工作會增加額外的運營成本，例如消毒設施、防護服和口罩等防疫必需品的使用成本。參考文獻[18]，在定義疫情風險度ea的基礎上，針對不同的疫情傳播風險程度，設定相應需要投入的人均疫情風險控制成本為σa(ea)，由此可計算得到網絡中總的疫情風險控制成本為C2：

其中，θ2和θ3表示ea對應的系數。

3) 隨機風險成本

突發傳染病疫情后，受災區域內各個需求點(如生活小區、醫院等)的實際需求存在一定的不確定性，這就導致在實際保障工作中，可能會同時存在部分需求不能滿足、但同時部分需求點卻供應過量的風險。對此可在模型的目標函數中，增加使用罰函數對供應不足或過量的情形進行評價。

根據表1 的變量定義，對任意需求點k的物資m的需求，可能存在的供應不足量和供應超出量，可以分別表示為：

根據上述供應不足和過量的期望值(7)和(8)，即可計算網絡中總的期望風險損失C3為：

4) 模型構建

末端需求點上的民生物資需求只能由連接該點的所有路徑上的該物資流量進行滿足，需滿足以下流量守恒約束：

任意弧段上的物資流量等于所有包含此路段的路徑上的該物資流量之和，需滿足以下流量守恒約束：

假設通過網絡中任意弧段上的物資流量，與需要在該弧段上投入勞動的工作人員數量之間是線性函數關系。根據定義，αa為工作人員的平均勞動生產率，因此有：

由于疫情的影響，網絡中的工作人員存在需要保持一定的社交距離、需要隔離甚至被感染等情況，網絡中各弧段上的工作人員數量不能超過該弧段上具有勞動能力的工作人員數量：

由此，可以建立民生物資保障服務網絡設計問題的優化模型如下：

式(14)表示以最小化服務組織內的運營成本、疫情風險控制成本和需求滿足風險為優化目標；式(15)表示末端需求點處的流量守恒約束；式(16)表示弧段流量和路徑流量的關系式；式(17)表示弧段流量和工作人員數量的線性關系式；式(18)表示任意弧段上的可用工作人員數量限制；式(19)表示任意路徑上的物資流量非負；式(20)表示任意弧段上的物資流量非負；式(21)表示決策變量的取值約束。

3 求解算法

變分不等式作為一種重要方法被廣泛應用于超級網絡理論的研究，利用變分不等式可使用成熟的求解方法進行模型求解。本文建立的民生物資保障服務網絡設計優化模型，是一個典型的凸規劃問題。參考文獻[19]中的定義1 與引理1，可將上述凸優化問題等價轉化為變分不等式問題。

定義1 有限維的變分不等式問題VI(F,D)，是為了確定一個向量X*?D使得

其中，D是給定的閉合凸集；F是給定的從D到Rn的連續函數；·,· 是n維歐氏空間的內部乘積。

引理1 假設存在一點X*?D滿足minf(X)，則X*同樣是變分不等式(23)的解

其中，?F(X)是F對X的梯度。

定理1 式(14)～(21)的最優化問題可以轉化為變分不等式

其中，f表示所有弧段上的物資流量集合；v表示所有需求點的實際到達量集合；D=滿足約束(15)～(21),β≥0}；β為引進的Lagrange乘子；(f*,v*,β*)為式(24)的唯一解。

證明式(14)～(21)的最優化問題是典型的凸規劃問題，根據定義1 以及引理1，能夠把本文所建立的凸規劃模型變化成為標準變分不等式(22)的形式。其中，F(X)對f的梯度函數F1(X)，對v的梯度函數F2(X)以及對β的梯度函數F3(X)，分別可以表示為：

其中，F1(X)，F2(X)和F3(X)都是單調函數且二階偏導數有界。

通過微分中值定理能夠推知變分不等式(24)是Lipschitz連續的，又因為單調的且Lipschitz連續的變分不等式的解唯一，因此可得變分不等式(24)存在唯一解。

變分不等式問題的求解算法，一般包括對角化算法、投影算法、交替方向法和分解算法等。其中投影算法具有迭代過程計算量小的優點，而參考文獻[12,14-16]中在投影算法的基礎上提出的修正投影算法，也稱為改進梯度投影算法、外梯度算法，是將原投影算法需要投影算子嚴格單調的要求放寬至單調，從而能滿足更多實際問題的需要，因此也被廣泛應用于超網絡模型的求解。本文也采用修正投影算法對所提出的變分不等式(24)進行求解，算法的具體步驟如下[12]。

步驟1 初始化

設初始解(f0,v0,β0) ?D，令迭代次數t=1，選擇一個正數ρ滿足0<ρ<1/L，其中L是Lipschitz常數。

步驟2 迭代計算

步驟3 修正

通過求解下列變分不等式子問題(30)，計算得到(ft,vt,βt) ?D：

步驟4 收斂性檢驗

4 算例分析

4.1 算例仿真

在涉及傳染性疾病的重大突發公共衛生事件的情景下設計如下算例實驗，運用修正投影算法對所建模型進行數值模擬和計算分析，并通過敏感性分析研究關鍵參數對民生物資保障和調度決策的影響。設計一個多層級多商品民生物資保障服務網絡，使其包含1 個頂層服務組織，2 個生產企業，2 個存儲企業和2 個需求點，網絡結構如圖2 所示，共有12 條服務弧段，8 條服務路徑。需要說明的是，本算例中生產企業、存儲企業、需求點、物資種類的數量可以拓展至更大規模，即本文構建的模型適用于現實大規模民生物資應急保障服務場景。

圖2 民生物資保障服務網絡例圖Fig.2 Example diagram of people’s livelihood material supply service network

算例中部分參數設置見表2。假設每個需求點各需要2 種不同民生物資，需求點R1對2 種物資需求數量分別服從區間為[40,50]和[30,40]的均勻分布，需求點R2對2種物資需求數量分別服從區間為[25,40]和[15,30]的均勻分布。當需求點物資需求得不到滿足時，單位需求未被滿足的損失成本λ-=3 000，單位物資供應過量造成的損失λ+=50。疫情風險度ea的取值范圍為[0,1]，根據路段上游節點設施所在區域的疫情發展情況確定，其值越大說明病毒在服務網絡中傳播的可能性越大。主體關聯度ra的取值區間為[0,1]，根據相鄰兩主體間在自然、經濟、社會等方面的聯系情況綜合確定，其值越大說明相鄰層級間節點的聯系越密切，考慮到存儲弧兩端是同一個存儲企業，將其主體關聯度設置為1。

表2 主要算例參數設置Table 2 Main example parameter setting

運用修正投影算法在Python 中進行編程計算，ρ取為0.01，ε取為10-5。計算得出最優目標函數值為132 442，其中運營成本為54 438，疫情風險控制成本為63 633，需求風險損失為14 371，最優目標函數值下每條服務路段上的物資流量如表3所示。

表3 民生物資調度方案Table 3 People’s livelihood material scheduling scheme

4.2 參數敏感性分析

1) 疫情風險度ea變化影響

選取e1，e3，e7和e9作為疫情風險度的研究對象，分析改變疫情風險度ea對應急民生物資調配方案的影響。圖3是目標函數值隨疫情風險度ea變化的情況，由圖3可得，疫情風險度ea越大，目標函數值越大，通過疫情風險度增大弧段的物資流量減小，流量向同一層級間的其他弧段轉移，說明當疫情風險度升高時，服務組織需要付出更大的代價才能完成民生物資保障服務。隨著e3和e9的提高，目標函數值最終趨于穩定，這是因為弧段上疫情風險過大，無法繼續完成物資調配任務，物資完全轉移到其他低風險弧段。此外，在同一疫情風險度下，采購弧和存儲弧的應急成本較大，說明其受疫情風險的影響較大。因此，服務組織者在民生物資保障服務過程中要注意選擇受疫情影響程度小、安全性較高的生產以及存儲企業。

圖3 目標函數值受ea影響的變化趨勢Fig.3 Variation trend of objective function value affected by ea

2) 主體關聯度ra變化影響

選取r1，r3和r9作為主體關聯度的研究對象，分析改變主體關聯度ra對物資調配方案的影響。圖4 是目標函數值隨主體關聯度ra變化的情況，由圖4 可得，主體關聯度ra越大，目標函數值越小，通過主體關聯度增大弧段的物資流量增大，說明當主體關聯度提高時，民生物資保障服務應急效果增加明顯。此外，采購弧隨主體關聯度變化的幅度最大，說明提升服務組織和生產企業的關聯程度效果最明顯、性價比最高。因此，服務組織者在物資發放過程中要盡可能選擇與需求點關系密切的存儲企業，特別是要注意通過簽訂合同、補貼代儲等手段，加強服務組織自身與生產企業之間的聯系，提升備災救災能力。

圖4 目標函數值受ra影響的變化趨勢Fig.4 Variation trend of objective function value affected by ra

3) 可用工作人員數lˉa變化影響

選取lˉ1，lˉ3，lˉ7和lˉ9作為最大可用工作人員數的研究對象，分析改變可用工作人員數lˉa對應急民生物資調配方案的影響。圖5是目標函數值隨可用工作人員數lˉa變化的情況，由圖5 可得，可用工作人員數lˉa越大，目標函數值越小，這是因為弧段上可用的工作人員數越多，其能夠運輸和存儲的物資總量越高，即路網的通行能力越強，隨機需求滿足風險減小。目標函數值最終會逐漸趨于一個固定值，說明網絡中各弧段都有其最優的工作人員數量配置，超過這個最優人數配置，效益就不會跟隨人員數量上限的增大而有所提升。另外，采購弧和存儲弧上工作人員數量的下降會導致應急成本倍增，這說明核心弧段對于需求點物資保供具有重要支撐作用，應優先調配人員提升核心弧段通行能力。因此，在突發傳染病疫情導致物流人員總量受限的現實情況下，服務組織者應合理配置各弧段上工作人員數量，避免因運力不足而無法有效滿足疫區需求。

圖5 目標函數值受lˉa影響的變化趨勢Fig.5 Variation trend of objective function value affected by lˉa

5 結論

1) 研究了突發傳染病疫情后為受災封閉區域內的群眾提供生活物資保障問題。充分考慮了疫情下民生物資保障組織特征、疫情傳播風險、需求不確定性等主要特征，構建了以應急成本與風險損失最小為目標的疫情環境下民生物資保障服務網絡設計優化模型，并將其等價轉化為變分不等式后，選擇高效的修正投影算法進行求解和計算分析。

2) 算例計算分析結果表明：疫情傳播風險程度、應急主體間關聯程度以及可用工作人員數量上限等關鍵參數影響應急物資調配方案的優化結果。為更好地完成民生物資保障服務，服務組織者應采取選擇疫情風險較小的生產和存儲企業，加強自身與生產企業間的聯系，合理配置有限的工作人員數等措施。

3) 該方法可以為服務組織者在突發傳染病疫情后開展民生物資應急保障服務提供決策依據，為建立可持續的人道主義物資保障系統提供理論基礎。