基于靜力修正的鋼管混凝土拱橋Pushover法

謝開仲 ，梁棟，祝通華，覃悅

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，廣西 南寧 530004；2.廣西大學 防災減災與工程安全重點實驗室，廣西 南寧 530004)

近年來，鋼管混凝土(Concrete-filled Steel Tube,CFST)拱橋[1]發展迅速，目前，最大跨徑已達575 m(平南三橋)，ZHENG 等[1-3]認為建造700 m 級的鋼管混凝土拱橋已不存在技術門檻，使鋼管混凝土拱橋成為500～1 000 m 跨徑的優勢橋型，前景廣闊?？鐝降脑龃笫沟娩摴芑炷凉皹驅拐鹦阅芤蟾?，而目前其在抗震方面的研究仍有不足[1]。當前主要抗震計算方法有靜力非線性分析方法(Nonlinear Static Procedure)，即Pushover 分析方法、非線性時程方法和反應譜方法。其中反應譜方法僅適用于彈性分析，非線性時程方法難以快速評估，而Pushover 方法可以給出強震下結構的目標位移[4-5]，實現結構抗震性能的快速評估，因此得到廣泛應用。該方法可研究結構單一、多向以及多向耦合地震作用的抗震性能[6-11]，如樊健生等[9-11]的研究表明多向以及多向耦合地震下Pushover方法運用的可行性。其次，Pushover方法可分析單一振型[12-15]以及多階振型[16-19]影響的地震效應，其中，ROOSHENAS 等[16-17]基于能量原理、郝潤霞等[18]基于擬力法、QU 等[19]基于振型剛度考慮高階振型的影響，使Pushover 方法得到完善和發展。另一方面，在橋梁領域Pushover 方法多集中研究橋墩的抗震性能[20-22]，對于拱橋的抗震性能研究相對較少，且石拱橋[23-24]、鋼拱橋[25-27]居多。由于大跨度鋼管混凝土拱橋振型數量龐大，少數振型計算的精度得不到保證。對于Pushover 方法在鋼管混凝土拱橋的適用性研究，申現龍等[28]針對下承式鋼管混凝土拱橋采用模態Pushover 方法、上界Pushover方法與非線性時程分析方法對比分析，但其研究的重點僅限于橋墩的彈塑性性能；曾森等[29]采用模態Pushover 方法研究了鋼管混凝土拱橋，表明考慮多階振型模態Pushover 方法能得到更合理的結構最大響應結果。謝開仲等[30]研究了傳統Pushover 方法在大跨度勁性骨架拱橋中的適用性，指出對于拱橋的不利截面可采用Pushover 方法進行抗震評估。文獻[23-30]針對拱橋的Pushover 分析，多采用傳統Pushover 方法進行，該方法一般假設結構的地震反應受第1階振型控制，無法明確側向荷載分布形式，考慮高階振型時控制點選取困難、評估效率不足，當結構振型數量龐大時，如大跨度鋼管混凝土拱橋，計算精度難以保證。因此，亟需一種計算精度較高且計算簡單的拱橋Pushover方法?；诖?，本文提出基于整體位移的能力譜模型，根據動力貢獻系數提出高階振型遴選方法，并結合靜力修正方法提出了鋼管混凝土拱橋Pushover法，解決傳統Pushover方法無法明確側向荷載分布形式、高階振型選控制點困難等問題，同時通過靜力修正提高求解的精度。采用該方法與現有文獻結果對比驗證其準確性，再對某鋼管混凝土拱橋進行抗震評估。

1 鋼管混凝土拱橋Pushover方法

1.1 基于整體位移的能力譜模型

采用黏滯阻尼的多自由度體系運動方程的一般形式為

式中：M，C和K分別表示結構的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，均為N×N階矩陣；N為結構自由度數目；I為單位矩陣；為地震加速度。

將式(1)轉化為單自由度的形式，令u=?nqn，并左乘，整理后可以得到

采用Pushover 方法求結構的能力譜曲線，其水平荷載分布模式應能反映結構在地震作用下真實的位移響應，從而更好地反映結構的地震破壞機理。工程中應用較多的有均勻分布、倒三角分布、拋物線分布、1 階振型分布、等效基本振型分布和振型組合分布等分布荷載模式[30]。能力譜曲線按式(3)計算：

式中：表示第n振型的參與質量；Гn表示第n振型的參與系數；表示第n振型控制點i的位移；ui表示控制點i的位移增量；V表示基底剪力增量。

式(3)為傳統求解能力譜模型的方法，分析時需要確定一個控制節點反映結構的位移響應。對于大跨度拱橋，不同振型選擇控制節點較為復雜，較高階振型由于多為空間彎扭變形，選取控制節點時會存在不合適[19]或者在加載初期和加載后期的變形方向不同而導致節點往復，得不到正確的能力譜。另一方面，傳統Pushover 方法采用不同的分布荷載模式求解時，計算結果也不同[30]，如圖1所示。采用不同的分布荷載模式得到的能力譜模型不同，可以迭代求解出不同的性能點，但何種分布荷載模式較為合適難以統一。因此，需要構建新的能力譜求解模型，解決傳統Pushover 方法在鋼管混凝土拱橋中運用的不足。

圖1 傳統方法的求解過程Fig.1 Solution process of traditional method

假設為地震荷載，取u=?nqn(t)=?nГnDn(t)，式(1)可以整理為

假設荷載形式為

式中：λ為荷載因子。

可以根據式(4)～(5)建立能力曲線?？紤]到加載形式與振型相關，結構的節點位移也與振型相關，將u=?nГnDn左乘，采用矩陣形式求解能力譜曲線。其中An和Dn可以按式(6)進行計算：

式(6)采用矩陣求解，考慮了結構整體的位移，避免了高階振型選控制點的困難，替代傳統方法以單一控制點反映結構位移的能力曲線。有明確的加載模式F=λM?n，避免了盲目選擇側向荷載形式帶來的誤差。根據式(6)得到能力曲線后，可以根據反應譜求性能點或采用時程分析求解式(4)得到譜位移，進而求得結構位移。

1.2 位移矩陣的靜力修正方法

根據等效單自由度體系模型求得振型的廣義坐標，經轉化成幾何體系坐標，各階振型組合即得結構總動力響應。然而大跨度拱橋的振型數量是龐大的，對每一階振型求解較為困難，可以用靜力修正方法[31-33]對振型數量進行縮減。根據靜力修正方法，結構的位移矩陣可以表示為：

其中，u表示結構的位移矩陣；m表示結構受動力放大效應影響較大的振型數量；?n為振型向量；q為振型的廣義坐標，為便于區分將qnd表示動力求解值、qns表示靜力求解值；K，M和I分別為結構的剛度矩陣、質量矩陣和單位矩陣。

在荷載頻率一定時，隨著考慮振型的頻率提高，頻率比趨向于0，結構的抗力趨近于純靜力而慣性力貢獻幾乎為0。采用式(7)可以提高計算精度，高階振型通過靜力修正，避免對高階振型向量求解。借助所建立的能力曲線，根據式(2)不考慮慣性力和阻尼力得到

式(8)中，將替換為Dn/An即可得到非線性階段的靜力解qns：

在式(10)中，第1 項根據建立的等效單自由度體系，建立相應的恢復力模型得到qnd(t)；第2 項對結構靜力分析得到-K-1(t)，求解過程應考慮結構的非線性；第3 項可以根據振型參與系數Гn，譜位移Dn，譜加速度An和地震加速度(t)直接計算得到；最后疊加得到結構的位移響應。

由于實際上更關心地震反應的峰值，振型的正交性可采用平方和開方法(SRSS)獲取最不利值。由于拱橋與框架結構的不同，其抗震評估僅依據位移是不全面的，還需根據內力評估結構的屈服狀態以及穩定性。而結構的位移響應是對各階振型疊加后得到，對于結構的內力響應仍無法獲得，因此需要建立結構內力求解模型，根據結構的剛度矩陣與恢復力的關系按式(11)計算

式中：F為外荷載矩陣。

式(11)中高階振型的計算通過靜力修正得到，降低了高階振型的截斷誤差影響，保證計算的精度。為方便，把以荷載F=λM?n對結構進行推覆分析，得到結構位移響應的過程稱為1 階段Pushover 分析；把以式(11)進行加載求解結構內力的過程稱為2階段Pushover分析。

1.3 鋼管混凝土拱的評估指標

2 階段Pushover 分析可以得到結構內力，為進行抗震評估需建立鋼管混凝土拱評估指標，其主要受力如圖2 所示。CFST 拱肋的受力較為復雜，應綜合考慮鋼管混凝土的套箍效應，引入軸力和彎矩組合系數λxg，表示拱肋的強度評估指標系數。其中λxg=0表示單元無損傷；λxg=1表示單元已破壞，計算如式(12)：

圖2 鋼管混凝土拱的主要構件受力簡圖Fig.2 Stress diagram of main components of CFST arch

1.3.2 鋼管桿件

在地震作用下腹桿主要為拉壓破壞，可根據其受力特點建立強度和穩定性指標：

式中：λy為強度指標系數；λcr為穩定性指標系數；σ和σs分別為鋼管的應力和屈服應力；N和Ncr分別為鋼管的軸力和臨界軸力，，E為彈性模量；I為截面慣性矩；l為桿件的長度。

1.3.3 吊桿和橋面梁

吊桿屬于拉壓破壞，主要為強度破壞，評估系數定義為

式中：λyd為吊桿的強度指標系數；N和Nu分別為吊桿的軸力和極限軸力。

對測量模型信效度的檢驗發現：(1)各個潛變量具有較好的內部一致性，其內部一致性系數均在0.7以上，說明測量模型信度達到檢驗標準的要求；(2)所有顯變量的因子載荷都大于0.5，這表明顯變量和潛變量之間的從屬關系在統計學上達到顯著；(3)職業希望自我、心理彈性和主觀幸福感三個潛變量的組合信度(CR)為0.7～0.84，全部大于0.7，平均方差提取值(AVE)也均大于0.4，說明測量模型的收斂效度通過檢驗。兩個模型的擬合指標如表2所示。

橋面梁主要為彎曲破壞，評估系數定義為

式中：λyl為橋面梁的強度指標系數；M和Mu分別為梁的彎矩和極限彎矩。

1.4 基于動力貢獻系數的振型遴選方法

不同振型對結構反應的貢獻是不同的，可以根據振型貢獻進一步縮減振型數量，提高計算效率。振型貢獻指標有振型參與系數和動力放大系數，對于軸力型構件如拱結構[34]，振型參與系數指標會產生較大誤差，振型恢復力響應得不到有效的評估。由于靜力修正方法是基于振型的動力放大系數考慮的，故對振型遴選可以根據動力放大效應進行。根據式(2)，結構動力貢獻部分為

則動力參與功為

振型的動力貢獻系數

式中：δdn為第n振型的動力貢獻系數；Гn為振型參與系數。

式(18)可以看出，動力貢獻系數反應了結構動力響應的慣性力貢獻，考慮所有的振型時，動力貢獻系數等于質量參與系數，可以表示振型的動力放大效應，與靜力修正方法的原理相對應。采用動力貢獻系數進行振型的遴選，閾值按式(19)計算確定

式中：δdn(j=i)表示遴選的第i振型的動力貢獻系數；δ為振型遴選的動力貢獻系數閾值。

式(19)可以確定振型的閾值，遴選出動力貢獻較大的振型，在遴選振型總數較少的情況下可以考慮更高階振型，如前50 階振型的累積動力貢獻系數達到了90%，傳統反應譜方法只考慮了前50階，但是第55 階振型比第40 階振型的動力貢獻系數大，而本文方法卻可以考慮到，且振型的總數遠少于50。再結合靜力修正方法，使計算的振型數量大為減少，其累積動力貢獻系數達到90%，保證了計算結果的可靠。

1.5 求解步驟

基于靜力修正的鋼管混凝土拱橋Pushover 法應用的一般程序為：

1) 根據結構的特點和材料屬性，計算鋼管混凝土拱構件的強度Nu，Ncr和Mu。

2) 建立空間有限元模型，進行模態分析獲取模態數據，包括頻率，振型參與系數Гn，振型向量?n和動力貢獻系數δdn。

3) 根據式(19)確定振型貢獻的閾值δ，遴選出需要疊加計算的振型。

4) 以荷載F=λM?n對結構進行1 階段Pushover分析，提取每一荷載步中荷載因子增量Δλ和各節點的位移增量Δu，然后按式(6)計算A和D，繪制能力譜曲線，建立等效單自由度體系模型。

5) 根據建立的等效單自由度體系模型求解式(4)，得到廣義坐標qnd(t)，按式(9)計算靜力解qns(t)，同時獲取結構的靜力解，再根據式(10)求原結構的位移響應。

6) 按式(11)加載進行2 階段Pushover 分析，得到結構內力響應，根據式(12)～(15)對結構的屈服狀態以及穩定性進行抗震評估。

本方法首先通過結構的剛度和質量分布，得到模態數據，采用與振型疊加法類似的求解方式，對結構進行單一振型的Pushover 分析和多振型疊加的方式求解結構的地震響應。相比振型疊加法采用的振型數量較少，相比于傳統的Pushover 方法可以考慮高階振型的影響，且具有統一的分布荷載模式，結合靜力修正方法可以獲得較高的計算精度，同時2 階段Pushover分析得到結構的內力分布，可以對結構的屈服狀態和穩定性進行評估。此外，本文理論推導時并未涉及結構類型，因此可運用于多種結構類型的抗震評估中。

2 算例驗證

鋼管混凝土拱橋Pushover 方法具體運用之前，先對其計算結果的準確性進行驗證，由于推導并未涉及到結構類型，因此采用文獻[19]單層柱面網殼算例進行驗證。由于非線性時程分析方法采用逐步積分的形式，可以考慮結構的幾何、材料等非線性行為，是動力分析中相對精確的計算方法，因此參考文獻[19]，將本文所提方法與文獻[19]的方法、時程方法進行對比驗證。

某單層柱面網殼長度為30 m，跨度為15 m，矢高為5 m，其橫桿、縱桿、斜桿分別為Φ245×7，Φ140×5，Φ180×6，鋼材為Q235，彈性模量為206 GPa，屈服強度235 MPa，切線模量為0.8 GPa，作用重力代表值為1.5 kN/m2的均布荷載并轉化為節點質量，具體參數參考文獻[19]，如圖3 所示，采用有限元軟件ANSYS 求解，材料采用雙線性隨動強化模型模擬。采用Beam189 和Mass21 模擬結構構件和節點集中質量，兩縱邊為固定鉸接約束。

以橫向激勵為例進行計算，并與文獻[19]的模型方法進行對比分析，首先根據式(18)確定振型遴選的閾值為0.018，遴選出動力貢獻較大的振型7個，如表1 所示，其中第1 階振型的動力貢獻系數達到了0.688，其余振型相對較小，均在0.01～0.1之間。各振型如圖4 所示。選用EI Centro 地震波，主方向經過調幅后達到1.3g，取前10 s 進行計算，采用Rayleigh 阻尼，阻尼比為0.02。以荷載F=λM?n對結構進行1 階段Pushover 分析，并按式(6)計算各階振型的能力曲線，這里僅列出第1階和第131 階振型的能力曲線，如圖6 所示，其中第1 階振型的能力曲線與文獻[19]吻合。由此，可以得到各階振型的等效單自由度體系模型。

表1 振型遴選Table 1 Selection table of vibration modes

圖4 結構振型圖Fig.4 Structural modes diagram

圖5 第1和第131階振型能力曲線Fig.5 Capacity spectrum model for the 1st and 131th order vibrations

圖6 節點位移和單元應力對比圖Fig.6 Comparison diagram of node displacement and element stress

根據建立的等效單自由度體系模型，可按式(4)和式(9)計算得到動力解和靜力解，再按式(10)計算得到結構的位移，將各節點的位移與時程方法和文獻[19]的方法進行對比，如圖6 所示。文獻[19]的模型由于只考慮第1 階振型，對于時程分析的位移最大值會被高估，如圖6(a)所示，而本文方法保證了動力貢獻系數達到90%，使計算的精度提高20%。由F=w2Mu可知，高階振型的頻率較高，其內力貢獻相對較大，文獻[19]的方法內力結果又會被低估，見圖6(b)，而經過靜力修正后其內力結果會改善10%，在高應力和低應力區均較時程方法更吻合，其中部分單元進入了屈服階段。

3 工程實例

3.1 工程概況

廣西平南三橋是一座中承式CFST 無鉸拱橋，主跨為575 m，計算跨徑560 m，矢跨比1/4.0，拱軸系數為1.50，肋寬為4.2 m，橋梁整體布置見圖7。弦桿采用Q420qD 鋼材，拱肋共分為11 段，上弦桿鋼管為Φ1 400×26 mm，下弦鋼管厚度變化，第1～4 段為Φ1 400×34 mm，5～7 段采用Φ1 400×30 mm，8～11 段為Φ1 400×26 mm，管內填充C70混凝土。腹桿和橫向聯系均采用Q345鋼材，分別為Φ700×14 mm 鋼管、Φ850×18 mm 鋼管。吊桿采用37Φ15.2 mm鋼絞線，其極限抗拉強度為1 960 MPa。橋面縱梁和吊桿橫梁采用Q420鋼材。

3.2 計算結果與分析

采用ANSYS 建立空間有限元模型。拱肋弦桿、腹桿、橫向聯系和橋面縱橫梁采用Beam188單元模擬，其中弦桿采用雙單元模擬鋼管和混凝土；吊桿采用空間桿單元模擬；臨時鉸接處加強鋼板和橋面系使用板單元Shell 63 模擬。吊桿與拱肋、吊桿橫梁共節點，拱腳處固定約束，橋面兩端采用簡支約束?？臻g有限元模型見圖8(a)，模型共有4 437 個節點和11 688 個單元，計算同時考慮幾何非線性和材料非線性，其中，核心混凝土本構參考文獻[35]，采用多線性隨動強化模型模擬，鋼管視為理想彈塑性材料，采用雙線性隨動強化模型模擬。

首先基于有限元模型，進行模態分析，根據式(19)確定閾值δ為0.019，進行計算振型的遴選。以荷載形式F=λM?n對結構進行1 階段Pushover 分析，采用ANSYS 的APDL 語言編寫相應程序，進行加載求解，提取每一荷載步中各節點的位移以及荷載因子，計算每一荷載步的A和D，繪制A-D曲線，建立各振型的等效單自由度體系模型。根據建立的單自由度體系模型，采用ANSYS 建立單自由度非線性彈簧，彈簧單元采用Combin39，質量單元采用Mass21，進行逐步法求解單自由度動力方程。

選用EI Centro 地震波，經過調幅后達到0.4g，取前10 s進行計算，采用Rayleigh阻尼，阻尼比取0.05，取振型參與系數最大的1 階、4 階頻率進行計算比例系數，得到α=0.064，β=0.030。得到各等效單自由度體系的動力反應之后，根據本文方法，按式(10)可以得到結構的位移響應。其次，按式(11)進行2 階段Pushover 分析，獲取結構的內力響應，并根據式(12)～(15)建立的鋼管混凝土拱的評估指標系數，計算各構件的指標，如圖8(b)所示。在0.4g橫向地震作用下，吊桿的指標系數在0.125～0.25之間，處于較安全狀態；弦桿的強度指標系數均小于0.125，較安全；橋面梁指標系數在0～0.25之間，偏于安全；腹桿的強度和穩定系數有部分達到了1.0，這部分桿件已經進入屈服階段，且出現失穩，但是橋梁結構整體并沒有失穩破壞。

4 結論

1) 提出的鋼管混凝土拱橋Pushover 法，能適應具有大量振型的復雜結構，且對本文算例結果位移計算精度整體提高20%，內力結果會改善10%，能對鋼管混凝土拱橋進行抗震評估。

2) 提出的基于整體位移的能力譜模型，避免傳統方法選取控制節點的困難問題，同時具有明確統一的分布荷載模式，可以提高Pushover 方法對鋼管混凝土拱橋的適用性。

3) 所提振型遴選方法，基于振型動力貢獻系數確定閾值的大小，降低振型的截斷誤差，可以將振型數量縮減，提高一定的計算精度。

4) 本文方法通過求解能力譜模型，結合靜力修正方法可以獲得較高的計算精度，但求解多階振型時較為繁瑣，此外，本文理論推導時并未涉及結構類型，因此可運用于多種結構類型的抗震評估中。