用于多載波信號峰均功率比抑制的準互補序列集構造方法研究

李玉博，王美悅，劉濤，陳曉玉

（1.燕山大學信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；2.河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室，河北 秦皇島 066004）

0 引言

相互正交的互補碼集（MOCCS,mutually orthogonal complementary code set）由于具有良好的相關特性被廣泛用于信道估計[1]和多載波碼分多址（MC-CDMA,multicarrier code-division multipleaccess）系統中的干擾消除[2-3]等。然而由理論界限可知，MOCCS 的集合大小不大于每條互補序列中的子序列數目，當集合大小等于子序列數目時，MOCCS 為完全互補碼（CCC,complete complementary code），這使互補碼在MC-CDMA 系統中海量用戶接入[4]的應用受到極大限制。為此，Liu 等[5]提出了準互補序列集（QCSS,quasi-complementary sequence set）的概念，包括低相關區互補序列集（LCZ-CSS,low correlation zone complementary sequence set）和低相關互補序列集（LC-CSS,low correlation complementary sequence set）。LCZ-CSS的相關函數旁瓣幅值在零偏移附近的相關區內很低，當相關區長度等于子序列長度時，LCZ-CSS 被稱為LC-CSS。關于序列的相關下界由Welch[6]自1974 年給出后，Liu 等[7-9]在一系列工作中推導出了非周期QCSS 在特殊條件下更加緊密的相關下界，并稱達到此下界的QCSS 最優。

到目前為止，針對各種參數的最優QCSS 的構造還不完善。文獻[5]利用Singer 差集構造了兩類最優和漸進最優的周期QCSSs。通過將文獻[5]中的Singer 差集替換為幾乎差集，文獻[10]提出了一類漸進最優的周期QCSS。文獻[11-12]基于有限域上的加法與乘法特征給出了最優和漸進最優的周期QCSSs 的構造方法。然而，前述文獻只涉及周期相關特性，文獻[13]指出非周期相關特性的QCSS 在實際應用中的重要作用，因此，該文首先提出了漸進最優非周期QCSS，并給出了非周期LC-CSS 的3 種構造，然而，其構造的序列集中互補序列的數目不多且子序列長度受限于素數，尤其是對于二元QCSS，其互補序列數目甚少，不利于其在多用戶接入場景下的應用。文獻[14]提出了一種具有漸進最優參數非周期二元LCZ-CSS 的構造，具有漸進最優參數非周期二元LC-CSS 可從所提的構造中導出，該文構造的序列集的互補序列數目較多且為二進制序列，因此在實際系統中更容易實現。眾所周知，多載波通信系統存在信號峰均功率比（PAPR,peak-to-average power ratio）過高的問題，高PAPR值可能使發射機前端電路飽和，導致發射信號非線性失真，進而降低系統性能。結合互補碼集與MC-CDMA 系統的特點，文獻[15]通過分析時域擴頻MC-CDMA 信號結構，得出時域擴頻MC-CDMA系統信號PAPR由用戶擴頻的CCC所組成二維矩陣的列向量所決定的結論。為解決該問題，文獻[15]基于廣義布爾函數構造了具有低列向量PAPR 的CCC 集。近年來，文獻[16]進一步基于多變量函數構造了具有低列向量PAPR 的CCC 集。相比傳統CCC，QCSS 具有序列數目眾多的優勢，因此在大規模多址接入場景中有巨大的應用潛力。然而目前QCSS 的構造方法并不多，而且已有的構造方法都沒有考慮到時域擴頻MC-CDMA 信號PAPR 抑制[17-19]的問題，因此在最差情況下系統信號PAPR 達到了最大值，即與子序列數目相等，這在子載波數比較多的系統當中是難以接受的。構造具有低列向量PAPR 的QCSS 一方面可以解決海量用戶接入的問題，另一方面可以解決時域擴頻多載波系統信號PAPR 過高的問題，這是本文的主要研究動機。

在實際應用中，二元序列直接對應二進制相移鍵控（BPSK,binary phase shift keying）調制，具有方便實現的優點，因此相比于其他單位圓上的多相復數根序列，二元序列是更加理想的擴頻序列。本文基于正交Golay 序列（OGS,orthogonal golay sequence）集，提出了一類漸進最優非周期二元QCSS 的構造。相較于文獻[14]，本文提出的構造不僅具有更多數目的準互補序列，且有至多為2 的列向量PAPR。最后，將構造得到的LC-CSS 在準異步QCSS-MC-CDMA 系統中進行誤碼率（BER,bit error rate）仿真，可以看出，其與文獻[14]具有相似的BER 性能，但由于其列向量PAPR 遠小于后者，可解決時域多載波信號PAPR 過高的問題。

1 基本概念和定義

定義1令a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)是兩條長度為N的二元序列，其非周期互相關函數定義為

當a=b時，,b(τ)為非周期自相關函數，記為(τ)。

定義2定義C={C0,C1,…,CK-1}包含K條互補序列，每條互補序列Ck由M條長度為N的子序列組成，即

最大非周期自相關函數幅值δa和最大非周期互相關函數幅值δc分別為

定義3對于集合C={C0,C1,…,CK-1}，如果其滿足式(4)條件，則稱序列集C為LCZ-CSS。

其中，0≤k1≠k2≤K-1且0≤τ≤Z-1，或0≤k1=k2≤K-1且0〈τ≤Z-1，0 〈δmax?MN。序列集C參數表示為(K,M,N,Z,δmax)-LCZ-CSS，其中，K為互補序列數目，M為每條互補序列的子序列數目，N為子序列長度，δmax是長度為Z的低相關區內的最大非周期相關函數幅值。特別地，如果Z=N，則稱序列集C為LC-CSS。

為評估QCSS 相關性能的優劣，Liu 等[20]給出了QCSS參數需滿足的理論界限，如引理1 所示。

引理1[20]對于(K,M,N,Z,δmax)-LCZ-CSS，δmax滿足

Liu等[8]提出了對于非周期LC-CSS更加緊密的相關下界，如引理2 所示。

引理2[8]當K≥3M，M≥2及N≥2時，對于非周期 (K,M,N,δmax)-LC-CSS，δmax滿足

為便于分析相關性能，定義最優因子ρ分別為

顯然，ρ≥1。當QCSS 的最優因子ρ=1時，稱其為最優的；當1〈ρ≤2時，稱其為漸進最優的。

定義4記a=(a0,a1,…,aN-1)為一條長度為N的二元序列，將序列a擴展到具有N個子載波的多載波通信系統中，假設基頻為0，相鄰子載波間的頻率間隔為1，則時域多載波信號可以被寫為

Liu 等[15]指出，MC-CDMA 系統中的PAPR 控制問題是由互補矩陣的列向量PAPR 決定的，因此，多載波系統中的峰均功率控制問題是降低所有互補碼的列向量的最大PAPR。例如，給出一條含有8 個長度為7 的子序列的二元互補序列，并將其寫成矩陣的形式

圖1 給出了該互補序列中4 條列向量的IAPR曲線。在多載波通信系統中，由式(9)可知，由于多個子載波在某個時刻以同一個方向進行累加時，會產生較大峰值，在最差情況下，所有子載波同時達到最大值，此時PAPR 為子載波數目，如圖1 中d0的IAPR 最大值為子序列數目8。當信號峰值進入功率放大器的非線性區域時，會使信號產生畸變，從而產生載波間干擾和帶外功率輻射，降低系統性能。因此，對于多載波信號PAPR 抑制的QCSS 構造方法的研究是很有必要的。

圖1 4 條列向量的IAPR 曲線

因此，本文工作的目標是構造低列向量PAPR 的QCSS，這將有2 個方面的好處：一方面，系統的PAPR得到抑制；另一方面，互補序列的數目得到擴展。這2 個方面的優勢使所構造的QCSS 在海量用戶接入的MC-CDMA 系統具有較大的應用潛力。

2 QCSS 的構造

步驟1有限域 F2n，其本原元為α且n≥3 。取一正整數Z使Z≤2n-1。

互補序列C(u,k,v)中的每個元素定義為

定理1經由上述方法構造得到的互補序列集C具有如下性質。

2) 每個互補矩陣的列向量PAPR 上界都為2。

證明詳見附錄1。

由于LC-CSS 是LCZ-CSS的一個特例，因此可從定理1 直接得出以下推論。

推論1在定理1 的序列集C的構造中設置Z=2n-1，那么由此構造的序列集C是非周期二元(2nU,2n,2n-1,2n)-LC-CSS 。

在上述構造中，顯然，映射集π的構造是一個關鍵因素。文獻[14]利用有限域上的本原元構造了一個包含有2n條映射序列的映射集

其中，0≤t≤2n-2，α是GF(2n)的本原元，?是從 F2n到Z2n的一對一映射函數，取 F2n中元素的十進制形式。本文給出一種新的映射集π的構造方法，具體如引理3 所示。

引理3記有限域GF(pn)，p為素數，n為正整數。在GF(p) 上選擇一個n次本原多項式f(x)，以f(x) 為m序列的生成多項式，各寄存器的非零狀態序列記為G={β0,β1,…,，對G的各項依次加上一個固定狀態，并用十進制表示，則可得到pn條長度為pn-1的從的一對一映射序列πu，具體定義式為

證明詳見附錄2。

引理3 構造了不同于文獻[14]的映射集。事實上，映射集π所滿足的性質與非重復一次碰撞跳頻序列的性質相似，因此可以通過尋求這樣的跳頻序列來進一步構造許多滿足定理 1 的QCSS。

證明詳見附錄3。

推論3利用引理3 的映射集，根據定理1 構造的 (22n,2n,2n-1,2n)-LC-CSS 可知，引理3 構造的準互補序列集是漸進最優的。

證明詳見附錄4。

表1 列出了本文和文獻[14]在Z=4和3≤n≤10時的二元LCZ-CSS 的參數比較。從表1可以看出，本文相較于文獻[14]擴展了互補序列的數目。

本節給出了低列向量PAPR 的漸進最優非周期二元QCSS 的構造方法。首先給出了列向量PAPR上界為2 的QCSS 的一般構造框架，其次將引理3構造的映射集代入構造框架中，進而可以構造漸進最優的QCSS，經此構造得到的QCSS 不僅互補序列數目多且其列向量PAPR 上界為2。文獻[21]利用布爾函數構造了過載率最大為4 的二元OGS 集，通過更換不同的OGS 集，進而可以構造QCSS。例如當n=5 時，可以構造4 個滿足定理1 的QCSS，大大增加了系統中可容納的用戶數目。文獻[21-22]已經構造出大量的OGS 集，本文提出的構造方法的優勢是基于多個二元OGS 集可得到多個漸進最優的非周期二元QCSS，其內的每個互補序列都有低列向量PAPR，且其上界為2。

3 QCSS-MC-CDMA 系統中的性能分析

考慮具有子載波為M、碼片持續時間為N的上行鏈路QCSS-MC-CDMA 系統，假設有K個用戶，其中第0 個用戶為期望用戶，即它是在多個用戶存在的情況下檢測信號的預期用戶。系統的收發端結構如圖2 所示，其中bk(n) 代表第k個用戶的BPSK的信號，假設該系統為準異步系統，考慮均值為0的高斯白噪聲信道。

圖2 準異步QCSS-MC-CDMA 系統的收發端結構

首先利用為每個用戶分配的互補序列對調制信號進行擴頻，將得到的擴頻矩陣按列進行快速傅里葉逆變換（IFFT,inverse fast Fourier transform）以獲得時域樣本，然后加入循環前綴以抑制符號間串擾和子載波間干擾，接著經過并串變換得到用戶要發送的信號。接收端的接收信號可表示為

其中，N0表示噪聲向量。類似地，其他用戶的接收信號可以通過在接收端處改變解擴碼來獲得。

取n=5，Z=31，基于引理3 和文獻[21]的OGS 集可構造4 個QCSS，每個序列集的參數為(1024,32,31,32)-LC-CSS，從所構造的QCSS 中選取K=8 個用戶進行仿真實驗，蒙特卡羅仿真次數為 104。圖3 為本文和文獻[14]所構造互補序列進行多載波調制后的列向量IAPR 的比較，圖4 給出了兩者所有列向量PAPR 分布的比較。從圖3 和圖4可以明顯看出，本文互補矩陣的列向量PAPR 最大為2，而文獻[14]中互補矩陣的列向量PAPR 最大為子序列的個數32，即本文所構造的序列應用到MCCDMA 系統中信號的IAPR 得到了有效的抑制。圖5為本文和文獻[14]構造的 QCSS 在準異步QCSS-MC-CDMA 系統中的BER 性能的比較。從圖5可以看出，兩者具有相似的BER 性能，但是本文所構造的QCSS 具有更低的列向量PAPR 且有更多的互補序列數目。

圖3 本文和文獻[14]所構造互補序列進行多載波調制后的列向量IAPR 的比較

圖4 本文和文獻[14]所構造互補序列進行多載波調制后的所有列向量PAPR 分布的比較

圖5 本文和文獻[14]構造的QCSS 在準異步QCSS-MC-CDMA 系統中的BER 性能的比較

以上仿真結果很好地驗證了前述理論分析的正確性，相較于文獻[14]，本文構造的QCSS 不僅抑制了系統PAPR，而且大大擴展了互補序列數目，然而，值得注意的是，本文利用OGS 集作為初始序列集構造QCSS 屬于間接構造法，最后得到的序列集的參數依賴于初始序列集的參數，這是本文方法的一個不足之處，研究序列的直接構造法是筆者下一步的研究方向。

4 結束語

本文基于OGS 集提出了一類漸進最優非周期二元QCSS 的構造，并在QCSS-MC-CDMA 系統中進行仿真。相較文獻[14]，本文構造的QCSS 有相似的BER 性能，但有至多為2 的列向量PAPR，且互補序列數目大大增加，這在支持海量用戶場景下的MC-CDMA 系統中可靠傳輸具有較大應用潛力。

附錄1 定理1 證明

接下來證明定理1 的第二部分。根據式(14)，任意一條序列集C的列向量可表示為

其中，0≤t≤2n-2。記l=πu(t+vZ)，可以看出序列集C的每一列是集合S的任一行點乘上一個取值為 ±1 的元素，由于S的每一行是一條Golay 序列，因此經由式(14)所得到的互補序列集C的每一列也都是Golay 序列，由文獻[21]可知，Golay 序列的PAPR 以2 為上界。

證畢。

附錄2 引理3 證明

附錄3 推論2 證明

根據引理1，最優因子為

附錄4 推論3 證明

根據引理2，最優因子為