在問題解決中促進模型觀念的形成與發展*
——以一道二次函數題的教學研究為例

杜育林 顧祥芳 劉光建

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，學生核心素養主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界三個方面，并且明確了初中階段核心素養的九大主要表現。

案例：種植花草問題

某學校門前有一個邊長為4m 的正方形花壇，花壇內部要種植紅、黃、紫三種顏色的花草（如下頁圖1），圖中AE=MN。計劃在陰影部分的四個全等三角形內種植紅色花草，在白色部分的四個全等三角形內種植黃色花草，在小正方形MNPQ內種植紫色花草。每種花草的價格如下表：

品種___價格（元/m2）紅色花草60黃色花草80紫色花草_120____

（圖1）

設AE的長為xm，正方形EFGH的面積為Sm2，買花草的費用為W元。

解答下列問題：

（1）S與x之間的函數表達式為S=_______；

（2）求W與x之間的函數表達式，并求出所需的最低費用是多少元？

（3）當買花草所需費用最低時，求EM的長。

教師在針對現階段初中生進行音樂教學的過程中，應全面利用音樂產生情感共鳴的特性對學生進行相關的引導教育，確保學生在接受音樂知識的基礎上保證學生綜合素質的建設。

一、設計意圖

新課標在“課程目標”中提出了三條義務教育階段的“總目標”，其中第二條是讓學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊涵的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”［1］11。為達此目標，在數學教學中，教師應結合具體課程內容，精心設計案例，引導學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，在這個過程中讓學生獲得“四基”“四能”，不斷提高學生通過建立數學模型解決實際問題的能力。

二次函數就是一個典型的數學模型，許多數學問題（含實際問題）都可以通過建立二次函數模型加以解決。新課標在“課程內容”中針對“二次函數”提出了四條具體要求，其中之一是“會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題”［1］57。

在學生學習了二次函數的概念、探究得到二次函數的性質之后，為了在二次函數的應用課中加強對學生應用意識的培養，促進模型觀念的形成和發展，我們設計了上面的案例。

二、教學目標

1.引導學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，獲得利用二次函數解決實際問題的經驗，感受模型思想和數學的應用價值，進一步促進學生模型觀念的形成。

2.能分析和表示實際背景下變量之間的二次函數關系，并解決簡單問題中與二次函數有關的部分。

3.在建立模型解決問題的過程中，培養并提高學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，增強應用意識。

三、解答過程

本案例以“種植花草”為背景，設有三個問題。解答問題（1）只需要利用勾股定理求出正方形EFGH的邊長即可。解答問題（2）應分三步：一是求出種植各種花的面積，認真觀察圖1，正確用含x的代數式表示三種花草的種植面積是關鍵；二是根據種植三種花草的面積和價格，正確列出所需費用W與x的關系式，并進一步整理得到函數關系式W=80x2-160x+1280（數學模型）是解決本小題的關鍵一步；三是利用二次函數的性質求出函數W=80x2-160x+1280 的最小值，并根據實際問題的意義確定出最終答案。解答問題（3）的關鍵是在Rt△EMH中，利用勾股定理建立方程模型a2+（a+1）2=10。具體解答過程如下。

（1）根據勾股定理易求出正方形EFGH的邊長，所 以S與x之間的函數表達式為S=x2+（4-x）2。

（2）W=60×4S△AEH+80×（S正方形EFGH-S正方形MNPQ）+120×S正方形MNPQ=60×4×（4-x）+80×［x2+（4-x）2-x2］+120x2=80x2-160x+1280=80（x-1）2+1200（0＜x＜4）。

當x=1時，W有最小值1200。

由實際問題的意義可知，函數W=80x2-160x+1280的最小值就是實際問題的最小值。

（3）當買花草所需的費用W最低時，x=1，即AE=1m，所以AH=3m、EH2=AE2+AH2=10m2。

設EM=am，又MN=AE=1m，所以MH=（a+1）m，在Rt△EMH中，a2+（a+1）2=10，解得a=。因為a＞0，所以，因此EM的長為。

四、教學價值分析

從數學教育教學的角度看，本題的核心立意于“模型觀念”的形成與發展。事實上，本題不僅僅有助于模型觀念的培養，對于其他核心素養表現也具有積極的教育教學價值。

1.培養學生的運算能力

數學離不開運算。數學運算能力是新課標提出的核心素養之一，是指“根據法則和運算律進行正確運算的能力”。運算能力是在運用數學知識進行計算、推理以及解決問題的過程中逐漸形成并得到不斷提高的。

本案例有三問，每一問都考查了學生的運算能力：第（1）問，為了寫出S與x之間的函數表達式，需要先根據勾股定理求出正方形EFGH的邊長；第（2）問，為了求“所需費用的最小值”，需要先根據二次函數的性質求出二次函數的最小值，這里對函數表達式進行變形整理變成了關鍵的一步，需要學生具備相應的運算能力；第（3）問，根據勾股定理建立起一元二次方程后，解方程的過程比較復雜，也要求學生具有較強的運算能力?？梢?，本案例對于培養學生的運算能力有積極的教學價值，是一道培養學生數學運算能力的好題目。

2.在數學建模過程中感悟模型思想、提升模型觀念

“模型觀念”是新課標提出的重要概念，是初中九大核心素養之一。為了分析本案例對學生模型觀念的形成與發展的作用，我們有必要澄清“數學模型”“數學建?！薄澳Ｐ退枷搿薄澳Ｐ陀^念”等概念的意義。

“數學模型”就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。用字母、數字及其他符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，各種圖表、圖形等都是數學模型。［2］用通過計算得到的數學模型的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，這個建立數學模型并應用的全過程就稱為數學建模。

“模型思想”是指能夠有意識地用數學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現實世界中一類問題的那種思想。［3］史寧中教授認為，數學基本思想有三種，模型思想便是其中之一?！澳Ｐ陀^念”主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識［1］10，是通過建立數學模型去認識問題、解決問題的自覺意識和思維方式。

本案例屬于典型的建立二次函數模型解答實際問題的案例（從解答過程看，還需要建立一元二次方程模型）。學生通過解答本案例，完整地經歷了“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個“建立模型—解決問題”的過程可用下頁圖2 表示。學生每經歷一次圖2 所示的數學建模過程，其模型觀念都將得到一次增強和發展的機會。［4］

（圖2）

3.有利于學生形成良好的情感價值觀

新課標對于“總目標”提出的第三條要求是“對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”［1］11。我們可以把這一條簡稱為“情感價值觀”，這條目標是在落實前兩條目標的過程中實現的，即它是“伴隨”在學生獲取“四基”、形成“四能”以及“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程中逐漸形成的。

學生在解答本題的過程中，不僅提高了分析問題、解決問題的能力，并且還培養了細致、嚴謹的學習品質。學生面對三個問題的計算過程都要細心、不可馬虎，在對二次函數通過配方得到W=80（x-1）2+1200 的過程，以及最后解方程更要精心運算，一不小心就容易出錯，這些運算過程都有助于學生養成良好的學習習慣。

本題的真實情境背景有助于學生理解“數學來源于生活，數學服務于生活”的含義，在這個過程中，學生能進一步形成模型觀念，提高分析問題解決問題的能力，不斷增強應用意識。

五、教學啟示

我們常說某人有沒有“數學頭腦”，實際上就是指他能否運用數學方法來解難答疑，歸根結底是指模型觀念的有、無、強、弱的問題。學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力主要是在數學學習以及運用數學知識解決問題的過程中得到提升的，新課標中強調的應用意識和模型觀念素養都是在“建立模型—解決問題”的過程中逐步形成的。

模型觀念是在經歷“過程”中逐步形成與發展起來的，數學中建立模型內容的“載體”處處皆是。在引導學生學習這些“載體”內容（如方程、不等式、函數等）時，有兩個環節對于學生模型觀念的形成與發展具有積極的促進作用：一是概念的建立過程；二是建立模型解決實際問題的過程。

這就決定了在數學概念的教學中，教師一方面應認真研讀教材，充分理解編寫意圖，并閱讀與本概念有關的教學論文（著）；另一方面要清楚數學概念常用的定義方式，確定給出本概念究竟要采用的哪一種定義方式。在此基礎上，教師要對教材內容進行二次加工處理，設計出問題系列，以此引導學生經歷“知識背景—知識形成—揭示聯系”的過程，在這個過程中不斷提高學生的數學抽象能力、推理能力以及分析問題和解決問題的能力，進一步感悟模型思想，增強模型觀念。