多基準站相對定位算法及先驗基線向量偏差影響分析

伍劭實,范 波,鐘季龍,侯振偉,張 良

(1. 軍事科學院 國防科技創新研究院, 北京 100071; 2. 空軍工程大學 信息與導航學院, 陜西 西安 710077)

基于全球導航衛星系統(global navigation satellite system,GNSS)載波相位測量的相對定位技術能夠提供厘米級甚至毫米級的定位精度[1-2],在飛機全自動著陸、著艦,飛機精密編隊飛行,實時動態測量等應用中發揮著重要作用?？焖?、可靠的整周模糊度解算是高精度相對定位的關鍵[3-5]。在短基線條件下,當可視衛星數較多時,基于單基準站的相對定位能夠獲得較高的模糊度解算成功率;當可視衛星數較少、觀測環境較差時,模糊度解算成功率可能出現明顯下降,使得相對定位結果不可靠[6-7]。

為了提高定位解算的可靠性,可將單天線替換為多天線,利用幾何構型已知的天線陣列輔助參數,這一思想稱為天線陣列輔助,其首次在文獻[8]中提出,用以提升精密單點定位的效果,隨后被擴展到多種應用中;文獻[9]利用安裝在運載體上的天線陣約束,顯著提高了姿態測量中模糊度解算的成功率;文獻[10]研究了天線陣對連續運行參考站之間模糊度求解的影響,仿真結果表明,該方法能顯著提高整體和部分模糊度的解算成功率;文獻[11]將天線陣列輔助的思想進一步擴展到衛星相位偏差估計,提升了參數估計的效果。

為提高單頻單歷元短基線相對定位解算的可靠性,本文借鑒天線陣列輔助的思想,利用基準站之間可提前精確測量的基線信息,提升相對定位中模糊度的估計效果,在此基礎上推導模糊度精度因子(ambiguity dilution of precision,ADOP)的解析表達式,揭示基準站數量與模糊度浮點解精度的關系,然后進一步分析先驗基線信息中可能包含的偏差對模糊度解算的影響,最后通過仿真和實測數據進行試驗驗證。

1 多基準站相對定位模型

假設移動站m和n個基準站ri(i=1, 2, …,n)在f個頻點上同時觀測s+1顆衛星,那么短基線情況下的多基準站單歷元相對定位函數模型可表示為

(1)

zi1=round[Λ-1(φi1-Gbi1)]

(2)

(3)

建立合理的隨機模型是GNSS精密測量與定位的先決條件[12]。假設各接收機測量誤差服從相同的高斯分布,則多基準站相對定位隨機模型可表示為

(4)

vec(Φ)=[DA?(If?DS)]vec(Φud)

D[vec(Φ)]=[DA?(If?DS)]D[vec(Φud)]·

[DA?(If?DS)]Τ

由于Z0和B0可先驗準確求得,可以認為:

D(YΦ)=D[vec(Φ)]

D(YP)=D[vec(P)]

□

由函數模型式(3)和隨機模型式(4)可得待求基線b1和模糊度z1的最小二乘浮點解[13]為

(5)

得到模糊度的浮點解及協方差陣后,可采用最小二乘模糊度降相關平差[4](least-squares ambiguity decorrelation adjustment,LAMBDA)算法進行模糊度的搜索,一旦模糊度固定至真值,即可精確解算出基線向量。

2 ADOP分析

ADOP的概念最先在文獻[15]中提出,其定義為

(6)

(7)

證明:根據式(5)、矩陣求逆公式(A-DB-1·C)-1=A-1+A-1D(B-CA-1D)CA-1,以及行列式性質|A-DB-1C|B=|A|B-CA-1D,可得

(8)

(9)

則

□

式(7)表明,ADOP值不僅與衛星數s、頻率數f、加權矩陣W、測量精度σφ和σp相關,還受到基準站數量n的影響。因此,可視衛星數越多、所用頻點數越多、測量精度越高、基準站數量越多,ADOP值將越小,表明模糊度浮點解的平均精度得到提升,這將有利于提高模糊度解算的成功率,從而增強高精度定位的可靠性。

3 基準站間先驗基線信息偏差影響分析

前文分析已經表明,增加基準站數量能夠提高模糊度浮點解的精度,其前提是基準站之間的基線向量通過先驗測量得到精確標定。假若這一先驗信息中包含偏差,則可能對模糊度的解算產生影響。本節將對這一問題進行分析。

Z0,b=round{Λ-1[Φ0-G(B0+ΔB0)]}

(10)

證明:包含參考基線偏差的偽距和相位觀測量為

YP,b=vec[P-G(B0+ΔB0)]=YP-(In?G)YΔB0

YΦ,b=vec[Φ-ΛZ0,b-G(B0+ΔB0)]

=YΦ+(In?Λ)(YZ0-YZ0,b)-(In?G)YΔB0

那么式(5)中的基線浮點解變為

(11)

對于式(11)中的第一個等式有

(12)

對于式(11)中第二個等式有

(13)

(In?G)YΔB0

=0

(14)

因此有

□

因此當|Δbi1,x+|Δbi1,y+|Δbi1,z<0.05 m時,可以認為此時對模糊度解算無影響。

(15)

由式(15)可知,模糊度解算成功率等于模糊度浮點解的概率密度函數在歸整域(積分區域)內的積分,由于基線偏差僅改變模糊度浮點解的期望,而對其概率密度函數的形狀沒有影響,因此只要概率密度函數的中心軸z1+Δz仍在歸整域內,模糊度解算成功率就不會發生明顯變化;一旦中心軸z1+Δz接近甚至跨過積分邊界,模糊度解算成功率將可能迅速下降。這一現象將會在后文的試驗分析中得到驗證。

4 試驗結果分析

為了驗證多基準站相對定位的性能,本節采用仿真數據和實測數據,計算和比較不同衛星數、不同先驗基線偏差情況下的單基準站和多基準站單頻單歷元模糊度解算成功率。模糊度解算成功率通過解算正確的模糊度歷元數除以總歷元數計算得到。

4.1 仿真試驗

試驗選取2018年4月13日西安某一時刻的BDS衛星真實星座構型,通過蒙特卡洛仿真生成105個觀測數據,仿真試驗的設置如表1所示。分別采用單基準站和本文多基準站(基準站數量為3)相對定位模型對數據進行處理,不同衛星數情況下的位置精度因子(position dilution of precision,PDOP)和平均ADOP值如圖1所示;利用LAMBDA算法固定模糊度,統計不同可視衛星數情況下模糊度固定正確的樣本數,計算模糊度解算成功率,結果如表2所示。然后在參考基線各分量中加入不同偏差,計算3基準站情況下的模糊度解算成功率,結果如表3所示。最后,為了分析3基準站對模糊度解算收斂速度的影響,統計了不同可視衛星數情況下的模糊度平均首次固定時間(time-to-first-fix,TTFF),結果如表4所示。試驗中的平均TTFF通過下述方法計算得到:從第一個樣本數據開始進行模糊度遞推解算,當模糊度固定并通過Ratio檢驗(文中設定ratio=3)時,記錄本次模糊度固定所用樣本數,然后從第二個樣本開始,再次統計模糊度固定并通過Ratio檢驗所用樣本數,如此往復,最終計算模糊度固定平均所用樣本數,即為平均TTFF。

圖1 PDOP與平均ADOP值Fig.1 The PDOP and average ADOP values

表2 不同衛星數情況下的模糊度解算成功率

表3 不同偏差情況下3基準站情況模糊度解算成功率

表4 ratio=3時的平均TTFF值

4.2 實測試驗

為進一步驗證算法對實測數據的適用性,選取2018年4月17日一段長度為4 553歷元的實測靜態數據進行試驗,數據采樣間隔為1 s,衛星截止角設為15°,試驗場地為空軍工程大學信息與導航學院科研樓樓頂,共放置4對NovAtel接收機和天線,接收機/天線型號分別為OEM628/GPS702、OEM638/GPS703、OEM719/GPS702、OEM729/GPS703,天線之間距離若干米,天線間基線向量已提前精確標定。試驗時段內共視GPS衛星數與PDOP的變化情況如圖2所示。

圖2 GPS衛星數與PDOP變化情況Fig.2 Variation of number of GPS satellites and PDOP values

首先分別計算單基準站和3基準站情況下的單頻單歷元模糊度和ADOP值,ADOP的變化情況如圖3所示。然后統計模糊度固定正確的樣本數,計算模糊度解算成功率,結果顯示,單基準站、3基準站的模糊度解算成功率分別為86.65%、94.71%。在此基礎上,在參考基線各分量中分別添加不同偏差,計算3基準站情況的模糊度解算成功率,結果如表5所示。

圖3 單基準站與3基準站解算時的ADOP值比較Fig.3 Comparison between the ADOP values of the solutions with single-reference-station and 3-reference-station

表5 添加不同偏差時3基準站情況模糊度解算成功率

圖3表明,3基準站相對定位的ADOP值始終小于單基準站的情況。由表5和表6可知,多基準站設置有助于模糊度解算成功率的提高,這與仿真數據結果基本一致,并且對先驗基線中的小偏差(3 cm以內,此時|Δbi1,x+|Δbi1,y+|Δbi1,z≤0.09 m)具有較好的抑制效果;當偏差為4 cm時,模糊度解算成功率開始降低,但仍達到了92%以上;當偏差超過5 cm時,模糊度解算成功率發生明顯下降。

5 結論

本文從理論分析和試驗驗證兩方面對多基準站相對定位算法進行了研究,其核心是利用基準站之間可提前測量的先驗基線信息提升相對定位模糊度解算的效果。理論分析方面,在給出多基準站相對定位模型的基礎上,推導了ADOP的解析表達式,揭示了基準站數量的增加對模糊度浮點解精度的提升作用;然后進一步分析了先驗基線向量中可能包含的偏差對模糊度解算的影響,分析表明,當偏差小于若干個厘米時,可以認為模糊度解算不受影響。試驗驗證方面,仿真和實測數據結果表明,相比于傳統單基準站情況,多基準站的設置能夠有效提升模糊度解算的可靠性和收斂速度,并且當先驗基線信息中包含較小偏差時,仍能保持較高的模糊度解算成功率。多基準站相對定位所具有的抗偏差特性可為特殊場景下(如戰時臨時機場快速搭建)基準站間的快速非精確標定提供理論依據。