一種改進的無模型自適應控制優化方法

劉 康 陳 娟

(北京化工大學 信息科學與技術學院, 北京 100029)

引 言

現代工業過程的大型化、規?；图苫沟脤嶋H工業現場環境也變得更為復雜[1],對象的非線性、系統的干擾和不確定性使得系統建模困難,傳統的基于模型的控制方法 (model based control,MBC)難以應用。 在此背景下,基于數據驅動的控制理論和方法得到了國內外學者的廣泛關注[2]。

與MBC 方法不同的是,數據驅動控制方法(data driven control, DDC)僅利用被控系統的輸入輸出數據來設計控制器,其中典型的基于數據驅動理論的方法有神經網絡控制(neural network control,NNC)、迭代學習控制(iterative learning control,ILC)、無模型自適應控制(model-free adaptive control,MFAC)。 這些基于系統輸入輸出數據設計的控制方法也是對傳統MBC 方法的重要補充。 神經網絡控制因其能夠利用神經網絡算法充分逼近任意復雜的非線性映射關系,從而在一些復雜的工業過程中得到了廣泛應用[3]。 但是神經網絡在模擬非線性時容易發生過擬合現象,需要憑借經驗去設計合理的神經網絡結構,使得系統的穩定性和收斂性難以保證。 迭代學習控制是一種基于具有重復特性工業過程的控制算法,其本質思想是通過上一批次的誤差信息進行學習,進而降低控制算法對模型的依賴,因結構較為簡單、控制效果顯著而被大量學者研究[4-6]。 然而在實際的工程應用中, 對于迭代學習控制如何選取滿足系統收斂條件的學習增益,是一個值得進一步研究的問題。 無模型自適應控制能夠充分利用被控系統的輸入輸出數據,將原系統轉換成一個等價的動態線性化數據模型[7]。 相比于上述兩類控制方法,MFAC 方法有著更強的魯棒性和自適應能力。

目前,無模型自適應控制已得到廣泛研究。 王文佳等[8]針對自動泊車問題提出了一種基于無模型自適應控制的泊車方案,該方案的優點在于僅利用泊車過程中的輸入輸出數據,對于其他車型也有很好的自適應性。 姚文龍等[9]針對環衛車輛軌跡跟蹤問題,提出一種基于動態線性化的無模型自適應迭代學習控制方案,與傳統迭代學習控制算法相比,其引入的無模型自適應控制器使得系統具有更好的魯棒性。 Ma 等[10]針對多智能系統的協同控制問題,提出一種分布式無模型自適應控制算法(distributed model free adaptive control, DMFAC),通過緊格式動態線性化的數據模型和攻擊補償機制實現了多智能體的分布式協同控制。 Wu 等[11]針對風電系統中的不確定性問題,提出一種基于靜止同步補償機制的無模型自適應控制方法,該方法利用動態線性化建模降低了實際風電系統中由實際環境的不確定性所導致的誤差,使得電力系統能夠適應不同的工作條件。 然而傳統MFAC 方法的控制效果十分依賴于其控制器參數的設置[12],在整定參數過程中容易使系統的動態性能變差。

鑒于傳統MFAC 方法對一類復雜非線性系統的控制性能不理想以及參數整定問題,本文提出一種改進的無模型自適應控制方法(IMFAC),該方法在傳統MFAC 方法的基礎上引入了輸出變化量因子來改善系統的動態性能,并分析了該方法的穩定性和收斂性。 然后對IMFAC 方法的控制器進行優化,采用灰狼優化(grey wolf optimization,GWO)算法對IMFAC 的控制器參數進行尋優,進而得到了參數尋優后的IMFAC 方法(G-IMFAC)。 通過仿真對比了MFAC 方法、IMFAC 方法及G-IMFAC方法的性能,結果表明G-IMFAC 方法可以有效改善系統的控制性能。

1 傳統的無模型自適應控制方法

在本文中考慮的是基于緊格式動態線性化的無模型自適應控制方法。 一般的單輸入單輸出離散時間非線性系統如下。

式中,u(k)、y(k)分別是系統在k時刻的輸入和輸出,k=0,1,2,…,nu、ny分別是非線性系統的輸入階數和輸出階數,f(·)是未知的非線性系統。 現對該非線性系統做出如下假設。

假設1 除有限時刻點外,非線性系統(1)對于第(ny+2)個變量存在連續的偏導數。

假設2 非線性系統(1)滿足廣義Lipschitz 條件,即對任意時刻的采樣點k1≠k2、k1,k2≥0 和u(k1)≠u(k2),有

式中,c＞0 是一個常數。

由文獻[7]可知在滿足假設1、2 的情況下一定存在一個被稱為偽偏導數的時變參數?c(k)∈R,使得非線性系統(1)可以轉化成如下緊格式動態線性化模型。

式中,yd是給定的參考信號,^?c(k)是?c(k)的估計值。 由式(4)和式(5),通過最優化方法可以得到基于緊格式動態線性化的MFAC 方法如下[5]。

式中,λ＞0、μ＞0 是權重系數,ρ∈(0,1]、η∈(0,1]是步長因子,^?c(1)是^?c(k)的初始值,ε＞0 是一個充分小的正數。 式(7)的PPD 重置算法可以使^?c(k)對時變參數有著更強的跟蹤能力。

2 改進的無模型自適應控制方法

2.1 方法描述

由上述傳統的MFAC 方法可知,其控制性能準則函數J1僅考慮了誤差e(k)和控制器輸出變化量Δu(k)。本文對控制性能準則函數J1加入系統輸出變化量Δy(k+1),使其具有更好的動態性能。 在式(4)的基礎上,考慮如下改進的控制性能準則函數

式中,ω＞0 是輸出變化量權重因子。 引入的(y(k+1) -y(k))2項可以衡量系統的動態性能。對式(8)關于Δu(k)求偏導有

與傳統的MFAC 方法相比,IMFAC 方法可以通過調節ω來進一步改善系統的動態性能,當ω為0時,IMFAC 即為MFAC。 由式(7)和式(11)可知IMFAC方法的5 個控制器參數(η、ρ、λ、μ、ω)之間相互耦合。 為了選取最優的IMFAC 控制器參數,本文將采用灰狼優化算法對IMFAC 方法的控制器參數進行尋優。

2.2 穩定性分析

在假設1 和假設2 的基礎上繼續作出如下假設。

假設3 非線性系統(1)的偽偏導數?c(k)符號恒定,不失一般性,假設?c(k)恒大于0。

在非線性系統(1)滿足假設1、2、3 的情況下,對于給定的常值參考信號yd有如下定理。

故系統的輸出跟蹤誤差是收斂的,定理1 得證。

定理2 證明 通過分析可得,由給定期望信號yd是一個常數,又由式(16)中的e(k)有界,可以得到系統輸出序列{y(k)}是有界的,故只需證明系統控制輸入序列{u(k)}有界,證明過程如下。

由式(11)對Δu(k)取絕對值得

顯然|u(k)|也是有界的。 綜上所述,系統的控制輸入序列{u(k)}和輸出序列{y(k)}都是有界的,系統也是BIBO 穩定的,定理2 得證。

3 基于灰狼優化算法的參數尋優

3.1 灰狼優化算法

灰狼優化算法是一種新興的群智能優化算法[13],因算法結構簡單、調整的參數少,具有較強的收斂能力,所以本文采用該算法對IMFAC 的控制器進行優化。

在灰狼群體的社會等級中,遵守著如圖1 所示的社會支配等級關系,其中α是領頭狼,β是副領頭狼,δ是普通狼,γ是底層狼。 灰狼群體的捕獵活動主要在領頭狼α的決策和領導下展開。 在灰狼優化算法設計中,α為最優解,β為次優解,δ為第三優解,γ為其余解。

圖1 灰狼社會支配等級Fig.1 Social domination levels of the grey wolf

3.2 適應度函數設計

灰狼優化算法適應度函數的設計直接關系到尋優結果。 一般來說,評價一個控制系統性能要綜合考慮系統的動態性能和穩態性能。 傳統時間乘誤差絕對值積分(integral of timed absoluted error,ITAE)指標雖然能使系統獲得較好的響應時間,但其超調量較大,因此本文在傳統ITAE 指標的基礎上加入對超調量σ和調節時間ts的權重控制,并以如下綜合指標作為灰狼優化算法的適應度函數。

設由NSGA-II 算法得到3 個指標的Pareto 前沿構成的評價矩陣為X=(xmn)M×3,其中m=1,2,…,M是Pareto 最優解,n=1,2,3 是對應的優化指標。利用熵權法[15]對3 個指標計算權重的步驟如下。

步驟1 首先對3 個指標的數據進行標準化

其中權重wn體現了各指標的信息熵含量,熵權值越大表示該指標對綜合指標的作用越大。 利用熵權法確定了適應度函數的表達式后,基于灰狼優化算法的IMFAC 參數尋優流程如圖2 所示。

圖2 參數尋優流程Fig.2 Flow chart of parameter optimization

4 仿真分析

設有非線性系統如下。

該非線性系統的初始條件為u(1) =u(2) =0,y(1) = -1,y(2) =1,?c(1) =2,ε=0.000 01,給定常值參考軌跡信號為yd=5,傳統MFAC 方法的參數選為η=1,ρ=0.8,λ=1,μ=1。

(1)IMFAC 方法

為了分析IMFAC 方法的有效性,在保持η、ρ、λ、μ的選取與傳統MFAC 方法一致的情況下,IMFAC 方法中分別選取w=0.1、w=0.5、w=1 和w=4,兩種方法的仿真結果及控制器的輸出如圖3、4所示。

圖3 系統輸出Fig.3 System output

由圖3 不難發現,IMFAC 方法中w選取得越大,系統的超調量越小,但是當w選取過大時,也會使系統的響應變慢,但整體的控制性能都較MFAC方法優越,顯然w需要結合實際工藝需求進行選取。 由圖4 可知,IMFAC 方法的控制器輸出也更穩定。

圖4 控制器輸出Fig.4 Controller output

(2)G-IMFAC 方法

G-IMFAC 方法采用灰狼優化算法對其控制器參數尋優,并針對灰狼優化算法適應度函數中3 個優化指標權重分配的問題,通過計算各個優化指標的信息熵來確定其權重。 該方法首先采用NSGAII 算法計算得到ITAE 指標、超調量σ和調節時間ts的Pareto 前沿(圖5),再根據式(24) ～(26)計算這3 個優化指標的權重,結果如圖6 所示。

圖5 3 個優化指標的Pareto 前沿Fig.5 Pareto frontier of three optimization indicators

圖6 3 個指標的權重Fig.6 Weights of the three indicators

由圖6 可以得到灰狼優化算法適應度函數各指標的權重[w1,w2,w3] =[0.3,0.61,0.09],再采用灰狼優化算法對IMFAC 方法的5 個控制器參數進行尋優,適應度函數的收斂過程和參數尋優過程如圖7、8 所示。

圖7 優化算法適應度函數Fig.7 Optimization algorithm fitness function

圖8 參數尋優過程Fig.8 Parameter optimization process

由圖7、8 可知,采用灰狼優化算法得到的GIMFAC 方法中 的5 個參數值[η,μ,ρ,λ,w] =[0.65,0.37,0.41,0.54,0.50]。

為了驗證G-IMFAC 方法的有效性,在k＞50時對系統加入一個單位階躍干擾信號,此時傳統MFAC 方法、IMFAC 方法(w=0.5)、G-IMFAC 方法的系統輸出和控制器輸出變化如圖9、10 所示。

圖9 系統輸出Fig.9 System output

由圖9 和圖10 可知,在系統未加入擾動時,GIMFAC 方法有著更小的超調量和更短的調節時間;當加入單位階躍干擾時,G-IMFAC、IMFAC、MFAC 3種方法恢復至穩定的時間(穩態值±5%內)分別為56 s、60 s、65 s,顯然G-IMFAC 方法能更快克服單位階躍干擾的影響。

圖10 控制器輸出Fig.10 Controller output

為了進一步比較3 種方法的控制性能,計算得到加入單位階躍干擾后3 種方法的ITAE 如表1 所示,顯然G-IMFAC 方法的ITAE 最小,表明其擁有更好的控制性能。

表1 3 種方法的ITAE 比較Table 1 ITAE comparison of the three methods

5 結論

本文針對一類復雜非線性系統提出了一種改進的MFAC 方法,該方法針對傳統MFAC 控制律引入輸出量變化因子,并分析了IMFAC 方法的穩定性和收斂性。 然后對控制器進行優化,采用灰狼優化算法對其參數尋優,并針對灰狼優化算法適應度函數中3 個優化指標權重分配的問題,通過計算各個優化指標的信息熵來確定其權重。 仿真結果表明,相比傳統的MFAC 方法,本文提出的G-IMFAC 方法具有更小的超調量、更快的調節時間以及更低的ITAE 指標,控制系統的控制性能得到了顯著提升。