變時滯反饋控制的混合中立型隨機延遲微分方程的指數穩定性

劉 琪 蘭光強

(北京化工大學 數理學院, 北京 100029)

引 言

帶有變時滯反饋控制的混合中立型隨機延遲微分方程(HNSDDEs)常被用于系統未來的建模,目前已經被廣泛應用于種群生態、神經網絡以及激光器動力學等領域。

對于隨機系統突然性的結構變化,常采用連續時間馬氏鏈來描述,帶有馬氏鏈的隨機延遲微分方程即為混合隨機延遲微分方程。 文獻[1]具體研究了混合隨機延遲微分方程,文獻[2 -4]則進一步考慮了其穩定性及有界性,文獻[5 -7]又擴展到了帶中立項的混合隨機延遲微分方程的穩定性研究。

然而并非所有系統都是穩定的,因此設計一個合適的反饋控制使不穩定的系統變得穩定很有意義。 相應地,文獻[8 -11]研究了系統穩定化問題。其中文獻[8]研究了常時滯反饋控制的高階非線性混合隨機時滯微分方程的指數穩定性,文獻[9]是在文獻[10]的基礎上進一步研究了變時滯反饋控制的HNSDDEs 的Lp漸進穩定性和H∞穩定性。

本文采用Lyapunov 函數方法,進一步研究了變時滯反饋控制下的HNSDDEs 的指數穩定性。 文獻[8]研究了常時滯反饋控制下的混合隨機微分延遲方程的指數穩定性,其所涉及的時滯均為常量,本文進一步將常時滯推廣到了函數時滯,并且將受控方程推廣到了帶有中立項的混合隨機延遲微分方程,其難點在于找到時滯δ(t)的上界和利用引理2 處理中立項。 文獻[9]研究了變時滯反饋控制的具有時變延遲的高度非線性HNSDDEs 的Lp漸近穩定性和H∞穩定性,但缺少指數穩定性,本文則是通過進一步找到更合適的反饋函數確定了方程的收斂速度,即指數穩定性。

1 基本假設與模型描述

設(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個帶有σ流(滿足通常條件)的完備概率空間,{B(t)}t≥0是定義在其上的m維布朗運動,{r(t)}t≥0是右連馬氏鏈且獨立于{B(t)}t≥0,S= {1,2,…,N}是其狀態空間,Γ=(γij)N×N是其生成算子。

考慮變時滯反饋控制HNSDDE

其中^x(t) =x(t) -N(x(t-τ(t)),t,r(t)),且初值滿足

2 主要結論與證明

定義片段過程

需要注意的是,關于控制函數u的選取,考慮如下特殊情況

其中a＞0,b＞c＞0。 由于|x|2,|y|2的系數均為正數,因此只能得到原方程的矩有界性,而得不到穩定性。 此時可選取u(x,t,i) =Ax,其中矩陣A為實對稱正定矩陣,且滿足λmax(A) ＜-2a,從而

故加上控制項之后的系統指數穩定。

假設7 存在U∈C2,1(Rn×R+×S;R+),H∈C(Rn;R+),及常數0 ＜α＜1,0 ＜β＜λ,0 ＜λ1,λ2,λ3,ρ1,ρ2,使得對任意的x,y∈Rn,i∈S,t∈R+有

3 例子

考慮一維HNSDDE

由文獻[10]可知系統(30)不穩定,以下將通過引入一個反饋控制函數使系統穩定。

增加控制函數u(x,t,1) = -x,u(x,t,2) =-2x,增加控制函數后系統(3)的具體形式為

4 結論

本文采用函數方法,受文獻[5]的啟發在多項式增長的條件下討論了變時滯反饋控制下的HNSDDEs 的指數穩定性。 最后,用一個例子證明了結論的有效性。