軟鐵磁矩形薄板非線性運動的擴展伽遼金法近似分析

王 奧, 陳 東, 曹立染

安徽建筑大學 土木工程學院, 安徽 合肥 230601

隨著現代高新技術的推進與發展,以磁、電等材料作為結構的裝置的使用愈加頻繁。矩形薄板廣泛應用于道路及橋梁建設、機械產業、船舶工程、航空航天等領域,當系統受到外界干擾時,板會產生非線性運動行為。近幾十年,許多學者對板的振動問題進行了大量的研究,得到了很多有意義的結論。CHEN等[1-2]討論了四面體磁芯諧波激發板在熱載荷影響下的穩定性和非線性響應。MOON等[3]利用動力分岔分支理論對磁彈性非線性運動方程進行了研究。LU等[4]分析了磁性梁式板在周期時變磁場和軸向周期激勵共同作用下的動力分岔問題。PAO和YEH[5]引入麥克斯韋應力張量,建立了磁彈性力學模型。胡宇達等[6-7]推導了橫向磁場中磁彈性矩形薄板的非線性運動微分方程。李晶等[8]針對橫向磁場中的條形板和矩形板,分析系統在內共振非線性動力學問題。SH等[9]基于一階剪切變形(FSDT)理論、馮·卡曼的非線性應變-位移關系以及修正的定律,研究了多孔功能梯度磁電彈性(PFG-MEE)板的幾何非線性自由振動和瞬態響應。

伽遼金(Galerkin)方法是彈性構件和結構固有頻率近似計算的常用方法,尤其是在沒有解析解或振動方程難以修改和求解的情況下[10-13]。經大量研究表明,伽遼金方法的使用通?？蓪栴}轉變為涉及從平衡方程或運動方程計算問題物理域上的函數加權積分,并可將其與一些新技術結合使用,以便更好地解決工程振動中的非線性問題,同時它也是當今應用廣泛的有限元方法的基礎。關于伽遼金方法的應用有很多,但其本質是通過減小解域上誤差的加權積分,將近似解的誤差最小化[14-15]。

本文研究考慮在磁化及渦電流條件下產生磁場的激勵,通過采用擴展伽遼金方法對軟鐵磁矩形薄板進行近似分析,得到其非線性運動頻率的近似解。

1 擴展的伽遼金方法

對于非線性微分方程

(1)

在不失一般性的情況下,設近似解為

q=∑Ancosnωt。

(2)

將時間視為自變量,在一個運動周期內使用伽遼金方法[14-16]:

(3)

這意味著振動期間位移振幅的最佳近似值。伽遼金方法的優勢在于合理選擇位移函數,但應注意隨著時間的推移積分的增加,因為加權積分的推廣考慮了周期性。特別指出,式(3)是在一個振動周期中添加時間變量的伽遼金方法,是一種擴展的伽遼金方法。式(1)中解的變化為

δq=∑δAncosnωt,

該式為式(2)的變分形式。

δAn通過已知的伽遼金方法,強制加權積分消失,式(3)進一步轉化為

(4)

式(4)為關于振幅An和振動頻率ω的耦合非線性代數方程組。

2 軟鐵磁矩形薄板非線性運動方程

考慮磁場環境下,四邊簡支的軟鐵磁矩形薄板的長、寬、厚分別為a、b、h,滿足厚度遠遠小于長與寬兩者中的最小值。以板的中面作為XY面,建立如圖1所示的坐標系。

圖1 軟鐵磁矩形薄板模型

方程的推導基于4個基本假設:

1)計入質量的位移慣性力,不考慮轉動慣性力矩;

2)材料在力學性質上可看作彈性、均勻、各向同性材料;

3)材料中無自由電荷、電流存在;

4)中面位移,考慮幾何非線性影響。

在矩形薄板中表面建立笛卡爾坐標系。假設中表面上一點的位移分別由X、Y、Z方向上的u、v、w表示。

根據電磁本構關系,對于線性磁化材料:

根據彈性變形理論,薄板運動時,其內部距中面(XOY平面)為u的位移可作如下表示:

(5)

式中i、j、k為單位向量。

將式(5)帶入洛侖茲電磁力的表達式,可以得到

式中,f為橫向磁場中,單位體積所受的洛侖茲電磁力。

考慮渦電流存在,采用磁偶極子模型[16],并主要考慮薄板Z軸方向的非線性振動,因而此處忽略面內慣性力,可得[17]:

(6)

(7)

式中,ρ為矩形薄板的密度,DM為恒磁場下板的抗彎剛度,DN為恒磁場下板的拉伸剛度,B1z為磁場分布,4為二重Laplace算子,σ為電導率。

由矩形薄板的四邊簡支條件,采用分離變量法,令Z軸方向位移為

w=∑φi,j(x,y)qi,j(t),

(8)

利用振型疊加法,將滿足條件的振型方程的解φ(x,y)設為

(9)

式中,φi,j(x,y)為振型,qi,j(t)為廣義坐標,此處僅考慮一階模態,i、j均取1。

將式(7)—(9)代入式(6),并利用伽遼金積分方法,得到常微分方程:

(10)

式中的參數s1、s2、s3、s4、s5分別為

3 擴展伽遼金法的應用

(11)

擴展伽遼金法的使用是針對弱非線性系統,引進小參數ε,式(11)可進一步寫為

(12)

方程的漸近解表示為

(13)

其中n和A2j+1是一個整數和振幅。將式(13)代入式(12)得出

根據式(3),可得到加權積分:

即:

通過運算,可以得到:

(14)

(15)

假設初始條件為

(16)

則

A1+A3=A。

(17)

將式(17)代入式(14),

(18)

將式(17)、(18)代入式(15),

通過刪除ε的高階項進行必要的簡化,進一步可得到

(19)

將式(19)代入式(18),近似頻率解為

為驗證其正確性,采用L-P法,設

(20)

將式(20)代入式(12)得出ε不同階次方程:

(21)

設式(21)通解為

q0=Acos(ωt+β),

令共振項的系數為0,可得

近似頻率解為

雖然ε2項有所差別,但精度相同,驗證了近似頻率解的正確性。

4 結論

1)考慮幾何非線性,以及因磁化和渦電流引起的磁場力作用,推導出軟鐵磁矩形薄板的非線性運動偏微分方程;利用分離變量法及伽遼金法,將系統運動偏微分方程轉化為Duffing方程的一般式;基于流行的伽遼金方法,運用了一種求解非線性振動的方法,該方法能很好地逼近固有頻率和漸近變形。這些是通過用諧波級數表示變形來實現的,非線性方程在振動的基本周期內通過加權函數和諧波項隨時間的積分來近似求解。

2)通過求解非線性方程,可以近似漸近地獲得固有頻率和振型。該過程實際上是伽遼金方法的擴展,通過在基本振型的一個周期上添加加權函數與時間的積分。同樣的程序也可以應用于線性振動方程,以從伽遼金方法中獲得相同的結果。伽遼金方法本身和振動周期不僅確保了其有效性,還確保了與微分方程中原始問題的弱形式具有良好的近似性。

3)積分運算的簡單性、優雅性、有效性和準確性,特別是使用符號數學工具,為非線性振動分析提供了一種有利且強大的方法,并為更一般的非線性微分方程提供了近似解。