突擴管中高分子聚合物溶液湍流減阻的數值模擬

石若冉，張浩，2，*，張志，李茂林

（1.山東建筑大學熱能工程學院，山東 濟南 250101；2.山東省綠色建筑協同創新中心，山東 濟南 250101）

0 引言

供暖和制冷的實現建立在流體運輸的基礎上，流動帶來的阻力不僅會增加能耗，而且會使管道壁面受到磨損，因而減少管道輸運的阻力以達到節能性、經濟性的目的一直是重要的研究方向。添加劑減阻指的是在管道流體中加入高分子聚合物或者表面活性劑來降低管道阻力的技術。早在1948 年，TOMS［1］就發現高分子聚合物可使湍流流動阻力大幅減小，該現象后被稱為“TOMS”效應。自此學者們便開始了針對添加劑減阻方向的研究，為降低能耗和提高經濟效益做出貢獻。在實際工程應用方面，1979年聚合物減阻在美國阿拉斯加的石油輸運行業中實現商業應用，在管道中添加減阻劑取得了良好的減阻效果［2］。為實現減阻節能，焦利芳等［3］開展減阻劑實際應用研究，在青島某小區供熱系統中加入表面活性劑十六烷基三甲基氯化銨／水楊酸鈉（CTAC／NaSal），其效果理想［3］。這些應用實驗充分證明了添加劑減阻技術實際應用方面的可行性，對其進行深入研究勢必將在節能領域產生顯著的經濟效益。

針對添加劑減阻方式，學者們從流動特性、減阻機理等方面開展了研究，且隨著計算機科學的發展，數值模擬也逐漸成為有力的工具。張紅霞［4］分別利用純黏性剪切稀化Carreau-Bird 模型與Giesekus黏彈性非牛頓流體本構方程模擬了CTAC 水溶液，探究其流動與減阻作用。李昌烽等［5］利用Cross模型模擬了聚丙烯酰胺（Polyacrylamide，PAM）溶液在二維軸對稱圓管中的流場和溫度場，分析了其減阻效果、傳熱性能。朱涵［6］采用Cross 模型分別模擬了減阻劑溶液的水下彈體與魚形繞流減阻流動，分析了其減阻效果。李恩田［7］利用Carreau-Bird模型與冪律模型對CTAC減阻溶液、利用Cross流變模型對PAM溶液分別進行數值模擬，并結合壁面微溝槽探究了聯合減阻。這些研究闡述了表面活性劑的減阻機理和規律，也充分證明了利用數值模擬研究減阻的可行性。

目前，關于添加劑減阻研究多數集中在直管，而實際管道系統中存在著很多種類的非直管管件，突擴管作為其中之一，其減阻研究在理論認識或實際工程應用都具有很高的價值。PAK 等［8］分析了聚丙烯酰胺AP-273水溶液在不同突擴比的突擴管中的局部阻力損失特性。POOLE 等［9］利用實驗研究了不同濃度的聚丙烯酸（Polyacrylic Acid，PAA）溶液在面積比1∶4 突擴管中的湍流流動，探究了其流動的不對稱性和再附著長度的變化。國內學者利用實驗方法較多，且多數采用表面活性劑作為添加劑。焦利芳等［10］實驗研究了CTAC／NaSal 減阻溶液在不同種類不規則管道（包括90°彎頭、三通以及變徑管）內的流動和減阻特性，發現其減阻效果比起直管段有著減弱現象。段傳偉［11］利用實驗法得到不同管徑比的突擴管、突縮管中不同濃度的十六烷基三甲基溴化銨（Cetyltrimethylammonium Bromide，CTAB）溶液的流動，研究了壓力分布、阻力發展長度、減阻效果等。蔡書鵬等［12-13］研究了管徑比為1∶1.52及截面積比為1∶4 的突擴管中兩種不同質量分數的CTAB水溶液的流動減阻行為，探究了局部阻力系數的改變及下游壓力恢復長度等問題。王侃宏等［14］在管徑比為1∶1.49 的突擴管中使用了3 種不同濃度CTAB水溶液，研究了上下游管道的沿程阻力系數以及突擴處的局部阻力系數的變化與減阻規律。

高分子聚合物和表面活性劑的主要不同之處在于，高分子聚合物起減阻作用的柔性長鏈結構相較于表面活性劑的膠束結構，前者在強剪切應力作用下會被破壞，且無法自我修復，而后者需達到一定濃度才可實現減阻，并且表面活性劑的添加會對管壁造成不利影響［15］。文章選擇高分子聚合物PAM溶液作為研究對象，利用Cross模型描述其黏度變化，與純水工況作對比，在管徑比1∶1.5 的三維突擴圓管模型中分析其流場分布和不同雷諾數下直管段及突擴部分的減阻效果、回流區的變化。

1 數值模擬方法

1.1 幾何模型

建立的突擴管模型如圖1所示，設置上、下游管管徑（d1、d2）分別為10、15 mm。為使得管內流體充分發展，兩段管長分別設為20 倍自身管徑長度，即上、下游管長（l1、l2）分別為200、300 mm。

圖1 突擴管幾何模型

1.2 數學模型

文章的流體流動研究不考慮傳熱，所需控制方程張量形式，即連續性方程和N-S 方程分別由式（1）和（2）［7］表示為

式中μ為流體動力黏度，Pa·s；p為壓強，Pa；fi為流體質點的單位質量力，m／s2；ρ為流體密度，kg／m3。

湍流模型中的RNGk-ε模型適用于渦流的描述，對壁面的處理更準確?？紤]到突擴管流動的特點，選其作為計算模型。RNGk-ε模型中湍動能（k）方程和湍動能耗散（ε）方程分別由式（3）和（4）［15-16］表示為

高分子聚合物減阻溶液屬于非牛頓流體，相較于純水而言，其溶液具有剪切稀化特性［7］，即黏度隨著剪切速率的增加而減小，因此需要建立本構方程描述黏度。Cross 模型是其中一種用于描述非牛頓流體剪切稀化特征的流變模型，可由式（5）［18］表示為

式中λ為松弛時間，s；n為冪指數常數；μ0為零剪切黏度，Pa·s；為剪切速率，s-1。參考文獻［7］和［18］的研究，為描述質量濃度為15 mg／L 聚丙烯酰胺溶液的動力黏度，參數μ0＝3.835 mPa·s、λ＝2.746 s、n＝0.7。

1.3 模擬設置

利用數值模擬法模擬突擴管中純水和高分子聚合物PAM溶液的流動，二者物性參數設置如下：當模型工況為純水時，動力黏度為0.001 kg／（m·s），密度為1 000 kg／m3；當模型工況為PAM溶液時，黏度描述采用Cross模型，而密度設置同純水。

模擬采用三維穩態的方式，忽略重力影響；湍流模型選擇RNGk-ε；邊界條件中入口采用velocityinlet，通過設置入口平均速度大小實現不同雷諾數的湍流工況，出口采用pressure-outlet，壁面為無滑移條件。

2 網格無關性驗證與可行性分析

2.1 網格無關性驗證

突擴管幾何模型的網格劃分，因其結構較簡單，采用適用圓柱體的o-block 結構化網格劃分的方式。設置了網格數分別為42 萬、96 萬、121 萬的3種網格，在雷諾數為10 000 的純水工況下，對比突擴管中軸線上的靜壓分布，從而驗證網格無關性。不同網格數目對應的靜壓分布如圖2 所示，靜壓分布趨勢一致，上游管在0 ～0.2 m 范圍內下降至最小值，經突擴部分壓力先上升后又呈下降趨勢。在上游管段內，96 萬與121 萬網格的靜壓分布高度重合，壓力恢復最大值也極為接近，可知42 萬網格計算所得結果并不精準，網格數至96萬再增加網格數量壓力分布基本不再變化，因此選取96萬網格進行計算，網格模型如圖3所示。

圖2 不同網格數目靜壓分布

圖3 突擴管網格模型

2.2 模擬合理性驗證

為了驗證模擬計算的正確性，在純水工況下選取雷諾數在104～105范圍計算上游管沿程阻力系數，并與布拉休斯經驗公式所得結果進行對比。設置不同的入口速度調整雷諾數Re，其計算公式由式（6）［19］表示為

式中μs為純水動力黏度，Pa·s；v1為上游管道平均流速，m／s。

文章相關分析皆以純水工況上游直管雷諾數為依據。沿程阻力系數f由伯努利方程推導得出，由式（7）［13］表示為

式中Δp為兩斷面靜壓差，Pa；l為兩斷面距離，m。為保證管流充分發展且不受突擴處影響，選取距上游管入口處10d1、15d1兩處的測壓斷面。

布拉休斯經驗公式是計算牛頓流體沿程阻力系數的常用公式之一，適用于紊流光滑區、4 000＜Re＜100 000范圍內，由式（8）［19］表示為

數值模擬結果與布拉休斯經驗值對比如圖4所示，兩種沿程阻力系數的計算結果趨勢一致，相對誤差最大為5.6%，由此可得該模擬方法合理。

圖4 沿程阻力系數對比

2.3 Cross模型準確性驗證

流動介質為PAM溶液時，采用Cross模型描述其動力黏度。為驗證Cross 模型準確性，建立60 mm×100 mm×1 000 mm 的槽道幾何模型，參考文獻［7］和［18］研究的結果，設置各參數取值λ＝5.491 s、n＝0.7、μ0＝9.835 mPa·s，描述質量濃度為60 mg／L的PAM胺溶液黏度，模擬計算的設置同1.3 節，得到范寧系數模擬值，與實驗所得范寧系數［7］進行對比。范寧系數Cf由式（9）和（10）［4］表示為

式中τw為壁面平均切應力，Pa；H為槽道截面高度，取值為60 mm；W為寬度，取值為100 mm；Δpc為槽道充分發展流段所取兩截面的靜壓差，Pa；L為兩截面的間距，取值為200 mm；U為管段平均流速，m／s。

模擬中設置入口流速為0.553 6 m／s，通過模擬結果計算得到Cf＝0.002 99，與實驗中相同流速下的范寧系數計算結果0.002 95 對比［7］，相對誤差約為1.4%，證明Cross模型具有一定的準確性。

3 結果分析

3.1 突擴管流場分析

3.1.1 速度分布

純水與PAM溶液在Re＝10 000 工況下的速度分布如圖5所示。在模擬采用的突擴圓管模型中，兩者的速度分布皆呈軸對稱。由于流體與管壁之間產生的摩擦，上游直管段的速度呈現從中軸線位置沿徑向向壁面減小的規律，并且上游整體流動幾乎不受突擴的影響。經過突擴面，流速整體減小，在臺階處形成速度死區［20］，隨著流動的發展，中軸線處速度下降至穩定，且速度死區逐漸消失，再次形成充分發展流；與上游管相比，下游管速度更小，這是由于管徑增大導致的。速度死區的出現是因為在流體流動過程中，截面突然擴大，使得一部分流體從主流當中分離出去，產生回流現象，并且速度死區通常存在著渦旋［21］，為了消除渦旋，主流要提供能量，經突擴面后其流速就會降低。比較二者速度云圖可以明顯看出，當流動介質為PAM 溶液時，與純水相比下游管近壁處的速度出現略微增大，表明PAM使得摩擦阻力減小，因而速度有所提高。

圖5 Re＝10 000速度云圖

3.1.2 壓力分布

取管道中軸線上的靜壓值，無量綱化為壓力系數Cp，其分布如圖6所示。無量綱壓力用中軸線各點靜壓與突擴面處的靜壓差與上游管動壓之比由式（11）表示為

圖6 不同工況下管道中軸線壓力分布

式中pm、p0分別為中軸線各點、突擴面處的靜壓，Pa。

根據Borda-Canot 預測值計算式［9］，即2β2（1-β2），其中β為上下游管徑比，得到壓力恢復最大值約為0.494。純水工況下，Re分別為40 000和60 000時，模擬所得壓力恢復最大值分別為0.484、0.487，可見Re的變化對此值影響不大，與理論值相比誤差最大約為2.0%，可知模擬較為準確。圖6 中，上游管在0～20內的分布線斜率表示沿程阻力系數，下游管從壓力恢復最大值處至40 的分布線斜率表示沿程阻力系數與管徑比四次方的乘積，因管徑比為定值，通過對比斜率可比較沿程阻力系數。

比較兩種雷諾數的純水工況可以看出，無論上游直管還是下游直管，Re＝40 000 時沿程阻力系數更大；Re＝60 000 時的壓力恢復最大值出現的位置更靠后，說明回流區長度增加。比較相同雷諾數下純水與PAM溶液的壓力分布線，可以明顯觀察到加入PAM后直管中沿程阻力系數的減小，證明減阻效果的產生；同時PAM 溶液壓力恢復最大值更大，且此值越大，說明回流區的渦旋損失減?。?3］，因此可得PAM溶液中突擴處的局部阻力也表現出減阻效果，而相較于純水工況，其壓力恢復最大值的增加并不顯著，可以推斷局部阻力的減小幅度較小。另外，相同雷諾數下PAM溶液壓力恢復最大值所處位置比純水更靠后，說明減阻劑的加入使得回流區長度增加。

3.2 直管沿程阻力減阻分析

高分子聚合物溶液可實現管道湍流減阻，其直管中的減阻率可高達70%［7］。減阻率RD的計算公式由式（12）［12］表示為

式中fs、f′分別為純水、高分子聚合物PAM 溶液的沿程阻力系數。

利用式（7）得到雷諾數分別為5 000、10 000、20 000、40 000、60 000、80 000、100 000 工況下的PAM溶液上游直管的沿程阻力系數，通過式（12）得到不同雷諾數下的上游直管減阻率，結果如圖7所示。

圖7 上游直管減阻率與雷諾數的關系圖

隨著雷諾數的增加上游直管段的減阻率呈現先增大后減小的趨勢，其減阻率最大值約為26.2%，臨界雷諾數約為20 000。出現這種減阻趨勢的原因是，高分子聚合物的柔性鏈受剪切力的拉伸作用，使得其與湍流結構相互作用，降低湍流強度，對湍流渦旋產生抑制，產生了減阻效果，并在一定雷諾數范圍內，拉伸作用加強而減阻效果增強，但是隨著雷諾數繼續增大，剪切力進一步的增強使得高分子聚合物結構無法承受其強度，主鏈和側鏈開始斷裂，其減阻率下降［7］。

最大減阻率數值較小的原因在于減阻效果與濃度有關［22］。此次模擬所參考的PAM溶液濃度未達到或已超出最佳濃度；另外，減阻流體的流變特性包括剪切稀化特性和黏彈性［4］，數值模擬中黏彈性的描述通過相關的黏彈性本構方程來實現，而模擬所使用到的Cross 模型用以描述其剪切稀化特性，未描述黏彈性，因此導致模擬得到的減阻率較小，同時也說明了使用Cross模型描述減阻溶液的局限性。

3.3 突擴局部阻力減阻分析

純水中突擴管的局部阻力系數理論值ξ由式（13）［19］表示為

式中A1、A2分別為上、下游管的斷面面積，m2。計算可得純水工況局部阻力系數理論值ξ＝0.309。

計算純水與PAM 溶液工況局部阻力系數模擬值時，采用伯努利方程［19］推導，得到式（14）和（15）

式中v2為下游管的平均流速，m／s；f1、f2分別為上、下游管的沿程阻力系數，計算時上游管兩斷面取距入口10d1與15d1處，下游管兩斷面取距突擴面10d2與15d2處；p1、p2分別為上、下游充分發展段中所取兩斷面1、2的靜壓，Pa；l10、l02分別為斷面1 至突擴面的長度和突擴面至斷面2的長度，m。

為綜合分析突擴部分對管內上、下游整體減阻效果的影響，選定兩組不同距離的斷面，對比PAM溶液局部阻力系數。方案一的兩處斷面選定于突擴面前5d1和突擴面后10d2的位置；方案二的斷面選定在突擴面前10d1和突擴面后20d2的位置。在Re為5 000至100 000的湍流流動范圍內，局部阻力系數的結果如圖8 所示。當流動介質為純水時，局部阻力系數模擬值隨著雷諾數的增大先減小后逐漸趨于穩定，其值在0.315 ～0.288間變化。PAM 溶液工況下，兩種方案所得局部阻力系數的數值整體非常接近，相差最大不超過1.0%，可知即使上、下游斷面距離不同，但整體減阻效果基本一致。局部阻力系數模擬值變化整體趨勢表現為隨著雷諾數的增大而增加，且未超出純水工況的值，此與PAK 等［8］實驗趨勢一致，但增加幅度略小。雷諾數為100 000工況與純水工況下的局部阻力系數已極為接近，PAM 溶液幾乎失去減阻作用。在此次模擬的雷諾數范圍內，突擴局部的減阻率最大約為10.8%，與直管中減阻率最大值（26.2%）相比，突擴局部的減阻效果不甚明顯，分析其原因在于流體經突擴部分產生了渦旋，形成了回流區，剪切力隨之增大，高分子聚合物的柔性鏈抵抗不住剪切而發生斷裂，并且隨著雷諾數增加，剪切力影響越發明顯，局部阻力系數逐漸增大，導致減阻效果變差。

圖8 局部阻力系數與雷諾數的關系圖

3.4 回流區流動變化

回流區渦旋作為影響局部阻力的因素，其流動、能量變化的分析對了解減阻機理、實現突擴管減阻有著重要意義。將純水、PAM溶液工況下所得回流區長度模擬結果通過Xr／h進行無量綱化表示，其中，Xr表示回流區長度，h＝（d2-d1）／2，所得結果見表1。無論是純水還是PAM減阻溶液，回流區長度都是隨著雷諾數的增加而增加；而在相同雷諾數下，PAM溶液的回流區比純水中更長。減阻溶液中回流區長度增加，而依然表現出減阻效果。

表1 不同雷諾數下兩種流體的回流區長度

湍動能云圖如圖9 所示。Re＝10 000 時，PAM溶液經突擴面后，臺階處的湍動能等值線密度較純水明顯變得稀疏，其最大等值線面積也明顯變小，說明回流區內的湍動能有所減小，體現出了減阻效果。而從等值線形狀可看出，湍動能最大處在回流區末端，對比相同數值的等值線，其在PAM 溶液中比純水中在軸向上的位置靠后，說明此處湍動能軸向的減小變緩，PAM 使得湍動能沿軸向增加，因此導致回流區長度有所增長。

圖9 不同雷諾數下的湍動能云圖

由圖9可知，雷諾數增大，流體的湍動能也隨之增大，因而使得回流區長度增大。比較相同雷諾數下不同流體，可以觀察到PAM 溶液相較于純水，最大湍動能等值線面積皆有所減小，上游直管的壁面處湍動能也有著較為明顯的下降，說明PAM對湍動能起到了抑制作用，且通過前面的分析已知兩種雷諾數工況下都有減阻效果，可以推斷這種抑制作用是實現減阻的原因。Re＝100 000 的工況下，PAM溶液與純水的局部阻力系數最為接近。二者的湍動能云圖分別如圖9（c）與（d）所示，雖然最大湍動能值仍有減小，但臺階后的回流區處的等值線密度變化卻并不明顯，因此表現出局部阻力減阻效果的下降。

4 結論

文章利用Cross 模型描述高分子聚合物PAM溶液的黏度，模擬其在管徑比為1∶1.5 的突擴管中不同雷諾數下的湍流流動，并于相同條件下的純水工況做對比，分析了流場、減阻效果與回流區流動變化，得出結論如下：

（1）突擴管中的流動無論介質為純水還是PAM溶液，經突擴面后都產生了速度死區；PAM 溶液壓力恢復最大值大于純水的，且出現位置靠后，說明渦旋損失有所減小且回流區長度增加。

（2）上游直管中隨著雷諾數的增大，減阻率先增大后減小，其最大減阻率約為26.2%，臨界雷諾數約為20 000。

（3）隨著雷諾數的增加，純水工況下的局部阻力系數先減小后趨于穩定，PAM溶液的局部阻力系數呈現增長的趨勢，在模擬所設雷諾數范圍內，后者數值未超過前者，PAM 溶液表現出減阻效果，但最大減阻率約為10.8%，較直管段減阻有較大幅度的下降。

（4）純水與PAM 溶液的回流區皆隨雷諾數的增加而伸長，相同雷諾數下PAM溶液中回流區長度更大，原因在于其末端處湍動能的軸向增加；相對于純水，PAM溶液中湍動能最大值區域減小，PAM 對湍動能產生了抑制作用，表現出減阻效果。