基于均值-方差理論的多階段公交走廊設計

夏 亮 ，江欣國 ，范英飛

（1.西南交通大學交通運輸與物流學院，四川 成都 611756；2.西南交通大學綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031；3.太原科技大學交通與物流學院，山西 太原 030024；4.長沙市望城區交通運輸局，湖南 長沙 410203）

隨著城市范圍的急劇擴張以及城市經濟的快速發展，城市出行需求快速增長，隨之而來的城市交通擁堵問題也開始加劇.為緩解急速增長的出行需求與緩慢擴張的路網通行能力之間的矛盾，城市管理者在增加公交線網覆蓋率的同時，也在努力提高公共交通服務水平，促使使用低乘坐率小汽車出行的居民改用高乘客率的公共交通出行.

在公交服務的優化中，許多研究已將一些實質性的現實世界細節明確地納入其模型，例如不同的車隊構成（如電動車和內燃車）、多種運營方案（如全停和躍站?？浚┮约罢军c位置的地理限制[1-4].然而，現有的大多數模型都建立在固定的公交線路上.現實中有些公交系統（例如地鐵）由于其高昂的建設成本，在規劃階段就需要考慮到遠期需求的變化[5-6].因此，傳統的優化方法（公交線一次性建設完全線并投入使用）無法適用于這種需要兼顧遠期需求變化的公交線設計.

多階段設計在軌道交通建設中比較常見，例如成都地鐵、上海軌道交通和深圳地鐵的線路，都至少分兩期完成全線建設，時間跨度在十年左右.多階段設計方法包括向兩端延伸線路和線路內增設站點2 種方式，本文主要研究第1 種方式.針對公交系統多階段設計，已有研究者作了相關研究.Matisziw等[7]提出在已有軌道路線不滿足需求時如何延伸線路的方法；Cheng 等[8]提出一個將預定軌道交通線最佳細分為多個部分以進行分期建設的模型；Sun等[9]通過雙層規劃方法提出一個軌道交通線多階段設計的模型.雖然上述模型都被應用到預定的軌道交通線路中，即給出一些預設車站的位置，并著重于解決何時延伸以及被延長公交線路分期實施問題，然而，忽略此時的公交站點選址優化問題.因此，Xia 等[10]提出解決上述問題的一種方法，但其仍假設出行需求是固定變化的，忽略了出行需求的隨機特性.

隨機優化和魯棒性優化是2 種研究隨機需求對公交系統影響的方法.前者旨在獲得公交系統或乘客的最低期望成本[11-14]，后者是最小化與不滿足系統服務情況相關的成本[15-16].大多數研究人員傾向于使用隨機優化方法[12,14,17]，而忽略隨機因素影響下方案的魯棒性問題.Amiripour 等[18]根據不同季節需求的波動，為魯棒性網絡設計提出一種基于期望系統成本的模型；An 等[15]研究了隨機需求下固定線路和“撥號叫車”的多方式服務優化問題，并構建一個基于糟糕情況下的成本最小化非線性模型；Hassannayebi 等[11]通過引入過載情況下的懲罰成本，提出隨機需求下列車時刻表優化模型；魏長欽等[19]以最大服務率和最小動態行程為目標，提出定制公交的站點及路徑優化方法.這些研究通常著重于追求目標函數（如系統成本）期望值的最優化，而忽略目標值的波動問題.

系統成本的方差是衡量系統魯棒性能的重要屬性，因此，同時考慮系統成本的均值和方差的優化方法更有利于決策者得到隨機需求影響下的理想方案.均值-方差（MV）理論在公交系統設計的應用方面，Yan 等[20]提出一個魯棒性的優化模型，用于固定公交路線的時間表設計，旨在最小化隨機時刻表偏差的期望值及其波動的加權總和；Huang 等[14]通過將乘客的出行時間、運營成本的期望值以及運營成本的方差線性加權成目標函數，并將其降至最低來優化發車時刻表.上述相關研究雖然使用MV 理論保障了方案在隨機需求下的穩定性，但仍存在一些局限性：其求解過程由于利用離散模型而復雜；大多數研究都集中在發車頻率或時刻表的優化上，而忽略了站點位置優化問題.

本文基于文獻[10]，利用MV 理論構建隨機增長需求下的多階段公交走廊設計決策方法.主要貢獻如下：1）構建多種風險態度下的決策模型，以表達不同投資者在隨機增長需求下的不同決策態度；2）提出適用于隨機需求下的多階段公交系統優化模型，以優化不同時期的站點布局和發車間隔；3）使用連續近似方法將離散問題連續化，可將求解結果表達為解析解，簡化求解過程.最后，本文使用不同的設計策略（公交線路全覆蓋、單階段、多階段設計）和分析決策態度分析模型效果.

1 公交走廊布局

本文假設公交走廊布局如圖1 所示.為提供日常通勤服務，公交車輛往返于CBD 與公交線路的邊界，lt≤Lt（lt、Lt分別為t時段的公交線路邊界、居民分布邊界），t為年度.公交車輛在每個車站停下來接送乘客.在t=0,1,···,T,t∈T 期間，住戶人口沿著CBD 和邊界Lt的走廊連續分布，其中 T 是計劃周期時間段的集合.假設出行需求是由住戶的通勤行為決定的，住戶往返于其住所和預定的就業地點（即本文中的CBD）.在規劃期間，假設走廊的總住戶數Nt以每年gt的速度增長，gt為隨機變量，服從特定概率分布.假設公交線路的長度可隨住戶向外擴張而延伸，考慮到需求的增加和走廊的延伸，公交運營商會尋求優化公交系統的設計，以更好地滿足出行需求.

圖1 單中心公交走廊Fig.1 Layout of monocentric corridor

2 模型構建

2.1 目標函數

為融入方差對決策結果的影響，使用MV 函數（式（1））作為目標函數，隨機需求下多階段公交走廊設計模型可表示為式（1）～（5）.

式中：ρ(x) 為站點分布密度（公交站點位置可由站點密度函數積分得到[4,21,22]）；ht為發車間隔；E(Z)、D(Z) 分別為 Z 的期望、方差，Z 為所有標準化系統成本Z的集合；τe為線路延伸范圍內的最小公交站點數（本文中取1）；是t時段處于中心的總乘客數的期望值；CV為車輛的載客量（乘客/車）；κ為高峰小時期間每小時出行需求占全天的比例.

式（2）為公交線路長度約束，防止公交線縮短；式（3）為線路延伸長度最短約束，避免公交線路延伸范圍內無公交站點；式（4）為車容量約束；式（5）為非負約束.

2.2 風險態度決策方法

根據風險態度定義3 種決策者：中立風險、規避風險和尋求風險.眾所周知，具有不同風險態度的決策者會對同一問題做出不同的決策.針對不同風險態度的公交系統設計問題，可以采用效用理論方法或MV 方法.本文中的“風險態度”是指在MV 框架下對風險的態度.因此，中立風險的決策者漠視收益的波動，規避風險的決策者將嘗試使收益的方差最小化，而尋求風險的決策者將嘗試使收益的方差最大化.如果通過成本期望值量化收益，并通過成本方差量化收益的不確定性水平，則可以通過MV 函數來表達決策者的風險態度，具體描述如下：

1）中立風險決策

該類決策者對收益不確定性“中立”且漠不關心，其滿意度只取決于預期的系統成本.因此，其MV 函數為

2）規避風險決策

該類決策者保守且不享有任何系統成本不確定性的決策者，其滿意度隨著系統成本和其不確定性的增加而降低，其MV 函數表示為

式中：ξ 為方差的影響因子.

3）尋求風險決策

這類決策者是賭徒，享受系統成本不確定性帶來的興奮.隨著系統成本的增加，其滿意度會降低，而隨著系統成本的不確定性的增加，其滿意度則會增加.這類風險決策態度的MV 函數為

上述對風險決策的描述方法源自文獻[23].綜合3 種風險決策態度，MV 函數可表示為

式中：ζ 為決策分析態度；ζ=0，表示中立風險決策；ζ=1，表示規避風險決策；ζ=-1，表示尋求風險決策.

2.3 公交系統成本

系統成本Z是乘客在規劃范圍內各階段t的通勤成本 Γt和公交運營商的成本 Λt的總和，并將其標準化為每戶的日均時間成本，即

式中：μ 為時間價值；Tw為每年工作時間.

1）用戶成本

在時間段t中的任何一天，通勤者都從其居住地x乘公交出行，其旅行時間用 φt(x) 表示.φt(x) 由三部分組成：乘客前往最近公交站點的走行時間At(x)、在公交站的等待時間Wt(x) 和從站點到目的地的在車時間It(x)，如式（11）所示.

為建立簡約模型，應用連續近似法求解.

步驟1假設到站點的走行時間At(x) 是走行距離d(x) 除以步行速度vw，即d(x)/vw.如果乘客住在公交線所覆蓋的范圍內（即x≤lt），則其走行距離近似定義為2 個連續站點之間距離的1/4[4,10,24]，即1/(4ρ(x)) ；否則，需要增加從其居住位置x到公交線路邊界的距離，即x-lt+1/(4ρ(lt)) .

步驟2乘客在車站的等候時間Wt(x) 近似為發車間隔時間的一半[20-21].

因此，時間段t的年度通勤總成本 Γt與年度通勤次數和單次通勤成本有關，表示為

式中：λt(x) 為日出行需求密度，是住戶密度nt(x)（具體見2.4 節）和每戶日均出行量 η（假設為給定的）的乘積，即 λt(x)=ηnt(x) .

2）運營商成本

公交運營商的成本取決于4 個指標[26]：公交線的長度 Λ1(t)、公交站點數量 Λ2(t)、每輛車行駛的距離 Λ3(t)、公交車輛的行駛時間 Λ4(t) .

式中：Tr為公交每天運營時長.

式（13）中的“2”表示2 個運行方向；式（14）表示公交2 個運行方向共享一個站點；式（15）中，Λ1(t)/ht表示1 h 內出發的所有車輛的行駛里程；式（16）車輛行駛時間由巡航速度行駛的時間和由于停車而延遲時間所構成.

因此，公交商運營成本為

式中：πi是與 Λi相關的單位成本.

2.4 住戶分布模型

當住戶總數已知時，居民以特定分布函數在走廊中，且其需滿足總住戶數平衡條件，即

3 求解方法

該問題假定確定了滿足住宅分布模型的解，即住戶密度和走廊的大小已知，通過式（1）求解公交系統優化模型.利用局部分解法和最優化理論[10,21]可得

式中：ltmin為由公交線路延長約束式（3）確定的最短公交線路長度；為沒有公交線路延長約束式（3）的目標函數式（1）的最優解，可以通過求解其斜率為0 的位置來獲得，且滿足式（26）所示關系.

4 數值分析

首先，假設戶數Nt=Nt-1+gt，初始住戶數為N0，用戶數增長率gt∈{ga,gb}，其中，，gb=對應的概率分別為分別為gt的期望、偏差.然后，以軌道交通為例，分析住戶均勻分布下（住戶分布密度為k），3 種設計策略和3 種風險決策態度對軌道公交系統的優化參數和各成本情況的影響（所提模型適用于任何公交方式）.3 種設計策略分別為：1）全覆蓋設計，也就是公交線路全覆蓋居民分布走廊，令lt=Lt；2）單階段設計，即在開始時修建的公交線路在之后所有階段都使用，并不發生變化（可由本文所提模型簡化得到）；3）多階段設計，即本文所提模型.最后，表1 列出了模型的參數值[25-27].

表1 實驗中的參數值Tab.1 Value of parameters in experiment

4.1 公交線路全覆蓋設計

公交線路全覆蓋設計是最常見的公交線路設計策略.表2 為公交線路全覆蓋設計結果，表中，括號中兩數值分別為初始和最終的公交線路/走廊長度，余表同.圖2 為3 種風險決策態度公交線路全覆蓋設計中各階段的發車間隔.

表2 公交線路全覆蓋設計結果Tab.2 Result of transit system with full-covered design

圖2 公交線路全覆蓋設計的發車間隔Fig.2 Headways of transit system with full-covered design

與中立風險決策態度的結果相比，規避風險態度決策者通過提供更優質的公交服務（更小的發車間隔和更密集的站點分布），降低用戶通勤成本（約0.17%），從而得到更穩定的收益方案（即系統成本的波動降低了約4.16%）.在這種情況下，盡管更優質的公交服務增加了運營商成本（約0.38%），但系統成本僅增加0.06%，這相對于降低的系統成本標準差而言，是可接受的.對于尋求風險態度，其結果相反.該結論說明所提出的模型在3 種風險決策態度下對公交線路全覆蓋設計都具有良好的效果.此外，在3 種風險決策態度中，隨著住戶數增加，發車間隔都隨之增加（見圖2）.這是因為在公交線路隨住戶分布延伸的同時，為避免運營商成本的過度增加，延長的公交線路限制了公交系統其他參數性能的提升，即發車間隔.

4.2 公交線路單階段設計

公交線路單階段設計內容包括公交線路長度、站點分布和發車間隔.這意味公交線路并不一定全覆蓋范圍居民分布范圍.表3 和圖3 為3 種風險決策態度公交線路單階段設計的結果.

表3 公交線路單階段設計結果Tab.3 Result of transit system with once-and-done design

圖3 公交線路單階段設計的發車間隔Fig.3 Headways with once-and-done design

從表3 可得，公交線路單階段設計中，與中立風險風險決策態度對比，規避風險態度提高12.37%的系統成本穩定性，尋求風險方式降低了15.89%.雖然規避風險方式仍然能獲得更穩定的系統成本（表3 最后一列），但其主要原因不再是更低發車間隔和更密集站點分布，而是更長的公交線路（3.92%）.由于規避風險決策提供更長的公交線路，縮短了公交線路覆蓋范圍外住戶的通勤時間，從而降低了波動.這暗示最佳的公交線路長度也受風險決策態度的影響.此外，為降低因公交線路長度增加而上漲的運營成本，公交系統發車間隔有所增加，平均站點密度有所降低，與全覆蓋設計方案相反.該結論驗證了所提模型對公交線路單階段設計的有效性，并表明其作用機理與全覆蓋設計有所差異.與全覆蓋設計類似，單階段設計中，相較于中立風險決策，規避風險決策也會降低居民通勤成本，增加運營商成本，并導致系統成本及其穩定性增加.

與全覆蓋設計相比，公交線路單階段設計的系統成本雖然更低，但其波動更大.這種現象是合理的，因為其固定的公交線路布局難以適應因住戶隨機增長所造成的住戶分布范圍隨機波動.

由圖3 可知：在公交線路單階段設計方案中，隨著住戶數的增加（即公交出行需求的增加），公交系統的發車間隔也隨之降低；與中立風險設計相比，發車間隔在規避風險設計中更高，而在尋求風險設計中更低.

4.3 公交線路多階段設計

多階段設計中，公交線路隨需求的增加而延長，這能有效地避免過早投資修建所造成的浪費（主要是運營和維護成本）.表4 列出了3 種風險決策態度下公交線路多階段設計的結果（階段數為5 個），圖4 呈現了均勻需求下3 種風險決策態度公交線路多階段設計中各階段的發車間隔和公交線路長度.

表4 公交線路多階段設計結果Tab.4 Result of transit system with phased design

圖4 公交系統多階段設計結果Fig.4 Result of transit system under phased design

與公交線路單階段設計中類似，規避風險決策態度促使公交線路更長，而尋求風險的更短（表4和圖4（b））.不同的是，多階段設計在公交線路單階段風險決策態度下不僅系統成本更低，其系統成本的穩定性也更高，這與公交線路的可延伸性有關.多階段的公交線路設計能適時地響應增長的出行需求，降低因過早修建公交線路和站點所帶來的空載運營成本.與公交線路全覆蓋設計相比，多階段設計的優勢在于其系統成本更低.與公交線路全覆蓋和單階段設計都不同的是，尋求風險方式與規避風險方式對公交系統設計的影響并非完全相反.規避風險決策和尋求風險決策都會增加平均站點密度和降低平均發車間隔，該現象與尋求風險決策中第一次公交線路延伸實施時間被推遲有關.綜上，多階段設計中風險決策態度對公交系統設計的影響比較復雜.

圖4 表明，發車間隔在未延伸公交線路時隨需求的增加而降低，而在整體上隨出行需求的增加而增加.前者因為公交線路長度未變化，類似公交線路單階段設計中的發車間隔變化特征，而后者因為公交線路長度在變化，這與全覆蓋設計中的結果類似.圖4（a）還說明在尋求風險方式中，更高的站點密度推遲了公交線路各次延伸的實施時間，但未減少設計方案的階段數.該結論暗示當目標函數中方差影響系數ξ足夠大時，其設計方案的階段數可能會減少.

5 結論

本文對不同設計策略（全覆蓋設計、單階段設計和多階段非全覆蓋設計）和不同的風險決策態度（中立風險決策、規避風險決策和尋求風險決策）下的公交走廊設計進行了對比分析.實驗結果表明：

1）本文提出的基于均值-方差理論的風險態度決策方法在公交走廊多階段設計中效果良好，具體表現為與中立風險相比,規避風險方式能提供系統成本更穩定的方案，而追求風險方式則得到系統成本波動更大的方案.

2）多階段設計具有比單階段設計和全覆蓋設計更低的系統成本，比單階段設計更穩定的系統成本.

3）不同風險決策態度都是通過調整用戶的通勤成本來控制系統成本的波動（表現為系統成本標準差），即在規避風險模型中降低通勤成本，尋求規避模型中增加通勤成本.

4）在不同設計策略中，不同風險決策態度對公交系統設計參數（即公交線路長度、站點分布和發車間隔）的影響有所不同，具體表現為與中立風險決策方案相比：在全覆蓋設計中，規避風險決策會增加平均站點密度，并降低平均發車間隔，而尋求風險決策相反；在單階段設計中，規避風險決策會增加公交線路長度和發車間隔，降低平均站點密集度，而尋求風險決策相反；在多階段設計中，風險決策態度對公交系統平均發車間隔和站點密度的影響較為復雜，這與線路延伸的實施時間有關.

致謝：太原科技大學博士科研啟動基金（20202048）.