三能級原子與光場的動力學演化特性*

2023-12-22 08:18卿嘉陽鄔云文

吉首大學學報（自然科學版） 2023年6期

卿嘉陽,鄔云文

(吉首大學物理與機電工程學院,湖南吉首 416000)

動力學演化特性是復合系統之間牢不可破的量子相關性,該特性可以揭示系統在各個時刻的狀態及不同狀態之間的變化規律,是描述物體運動最有趣的現象之一,對量子網絡及量子信息起著至關重要的作用[1-2].動力學演化特性對量子計算及量子通信相關領域的發展至關重要,其中光與物質相互作用下的動力學演化特性備受學者的關注[3-4].

在光和物質相互作用的研究中,學者常常將相對較強的泵浦場視為經典場,并忽略其量子特性[5-6].然而,如果想要全面描述光和物質相互作用的量子特性,所有的光場就應該是量子化的[7-9],甚至包括強泵場.Villar等[10]和Coelho等[11]在理論上證明了,標準的三共閾值以上的光學參量振蕩器(OPO)會產生泵浦、信號和空轉的三方糾纏.旋轉波近似中的Jaynes-Cummings模型[12]一直是學者深入研究的主題.最近,學者開始關注原子相干態[13].研究發現,最初處于原子相干狀態的JCM與真空場組合可以產生場壓縮及原子偶極變量波動的壓縮,壓縮原子可以輻射壓縮光[14-16].一些學者對具有初始相干原子的熱Jaynes-Cummings模型中場和原子壓縮之間的關系進行了探討[17-18].此外,學者在理論計算中發現,旋波近似下波函數有解析解,因而在弱耦合及少光子數的情況下,旋波近似是應用最廣的近似方法[19-20].

在研究原子和光場的動力學演化特性時,許多學者只考慮了系統的激發概率,而忽略了激發概率與量子態之間的聯系.將激發概率與量子態聯系起來,對于理解量子力學的基本原理,實現更高效的量子計算都具有重要的意義.筆者擬在特定的初始條件下,運用拉普拉斯方程對三能級原子與光場相互作用系統的量子態進行精確求解,并通過量子態的波函數計算系統的動力學演化特性.

1 模型及方法

圖1 三能級原子與光場相互作用系統Fig. 1 Diagram of a Three-Level Atom Coupled with a Light Field

H=ωaa?a+ωcc?c+ωdd?d+g(a?c?d+acd?).

其中:a?表示b1?b2的產生算符;a表示b1?b2的湮滅算符;c?表示b2?b3的產生算符;c表示b2?b3的湮滅算符;d?表示b3?b1的產生算符;d表示b3?b1的湮滅算符;g表示三能級原子與光場的耦合強度.

在考慮2個激發態的情況下,系統的相干疊加態向量

φ=b1|b1+b2|b2+b3|b3.

其中:|b1表示ωa所對應的量子態;|b2表示ωc所對應的量子態;|b3表示ωd所對應的量子態.根據薛定諤方程嚴格解,不同量子態之間的薛定諤方程可以寫為以下偏微分方程:

(1)

(2)

(3)

其中:na表示系統內各能級之間a?a算符的光子數目;nc表示系統內各能級之間c?c算符的光子數目;nd表示系統內各能級之間d?d算符的光子數目.系統的初始條件為b1(0)=1,b2(0)=b3(0)=0.接下來,運用拉普拉斯方程對(1),(2),(3)式進行精確求解,得到

(4)

(5)

(6)

為了系統歸一化,對系統作以下變化:

求得歸一化系數

將A引入(4),(5),(6)式,可得

2 結果

本研究是在三能級系統下開展的.系統哈密頓量的相互作用主要涉及光場及其對應的能級,由7個變量(g,ωa,ωc,ωd,na,nc和nd)一起控制.計算激發概率發現,通過改變變量之間的耦合系數來進行系統分析,能夠清晰地呈現系統激發態變換的物理過程,并充分展現參數如何影響系統的動態行為.原子處于|b1,|b2和|b3態的激發概率隨時間演化規律如圖2所示.

圖2 原子處于|b1,|b2,|b3態的激發概率隨時間演化規律(g=1)Fig. 2 Probability Evolution Plot of Excitation of Atom in |b1,|b2 and |b3 State with Time

從圖2(a)可知:0 s時,原子完全處于一個未激發狀態;約1.50 s時,基態被激發的概率為0;約3.10 s時,原子處于|b1態的激發概率約為0.50;約4.70 s時,原子處于|b1態的激發概率約為0;約6.26 s時,原子處于|b1態的激發概率為1.0.這說明隨著時間的延長,|b1態布居值保持周期振蕩性變化.

從圖2(c)可知:系統所對應的激發態布居值在同一個周期內產生2個峰,第1個峰出現時間約為1.80 s,峰值約為0.83,第2個峰出現時間約為4.40 s,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產生了1個低谷,時間約為3.10 s,低谷值約為0.25.這說明|b3態布居值也隨時間的延長保持周期振蕩性變化.

為了進一步研究耦合系數對系統布居值的動力學演化特性影響,接下來探討不同耦合強度系數(g=5或g=10)下,原子處于|b1,|b2和|b3態的激發概率隨時間演化規律,結果如圖3所示.

圖3 原子處于|b1,|b2,|b3態的激發概率隨時間演化規律(g=5或g=10)Fig. 3 Probability Evolution Plot of Excitation of Atom in |b1,|b2 and |b3 State with Time

從圖3(a)可知:將系統的耦合系數調至5后,約0.30 s時,基態被激發的概率為0;約0.63 s時,基態被激發的概率為0.50;約1.26 s時,原子處于|b1態的激發概率為1.0.

從圖3(b)可知:將系統的耦合系數調至10后,約0.16 s時,原子處于|b1態的激發概率為0;約0.31 s時,原子處于|b1態的激發概率達到峰值,約為0.50;約0.47 s時,原子處于|b1態的激發概率約為0.

從圖3(e)可知:將系統的耦合系數調至5后,|b3所對應的激發態布居值在同一個周期內產生2個峰,約0.36 s時產生第1個峰值,峰值約為0.83,約0.88 s時產生第2個峰值,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產生了1個低谷,時間約為0.62 s,低谷值約為0.23.

從圖3(f)可知:將系統的耦合系數調至10后,|b3所對應的激發態布居值在同一個周期內產生2個峰,約0.18 s時產生第1個峰值,峰值約為0.83,約0.44 s時產生第2個峰值,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產生了1個低谷,時間約為0.31 s,低谷值約為0.23.

綜上,當增大耦合系數時,量子態布居值的峰值大小幾乎未變,但每個演化周期內的小振蕩明顯變多,周期也相應縮短.系統耦合系數的改變導致原子與光場之間量子態的變換速度加快,這也正是原子處于|b1態時,量子態的布居值演化明顯變快的原因.本研究證實,通過改變耦合系數可以進一步調控基態和激發態的布居值.

3 結論

筆者探討了三能級原子與光場相互作用系統的動力學過程,分析了同一耦合強度下不同量子態的動力學隨時間的演化特性.結果顯示:|b1隨著時間的增加,在同一個周期內動力學演化先從1.0減小到0,再從0增加到0.50左右,然后從0.50左右減小到0,最后增加到1.0;|b2隨著時間的增加,在同一個周期內出現了3個峰值,系統的動力學演化先從0增加到0.50左右,再從0.50左右減小到0,隨后增至0.25左右,再從0.25左右減小為0,然后從0增加到0.50左右,最后從0.50左右減小到0;|b3隨著時間的增加,在同一個周期內出現了2個峰值,系統的動力學演化先從0增加到0.83左右,再從0.83左右減小到0.25左右,隨后從0.25左右增加到0.83左右,最后從0.83左右減小到0.另外,筆者還分析了不同耦合系數下原子與光場相互作用系統的量子態激發概率隨時間演化的特性.結果發現,當增大耦合系數時,系統的振蕩特性增強,即系統在每個演化周期內的小振蕩明顯變多,周期相應縮短.系統的耦合強度對系統的動力學演化特性有很大影響,因而可以通過調節系統的耦合強度來改變系統的動力學演化特性.