基于凸優化的大規模MU-MIMO-OFDM系統峰值平均功率比抑制方法

華 磊,王亞軍,劉 爽

(江蘇科技大學 海洋學院,鎮江 212100)

大規模多用戶多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)-正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技術由于具有更高的通信速率、更高的頻譜利用率、更高的能量有效性以及更高的可靠性等優勢[1],已經成為下一代通信系統的關鍵技術之一.但是由于OFDM技術的使用,使得大規模MIMO-OFDM系統中會出現信號峰均比(peak-to-average power ratio,PAPR)值較高的問題,從而引起信號的帶內失真和帶外輻射,嚴重降低了信號的傳輸質量[2].通常需要在基站發射端安裝線性功率放大器來抵抗高PAPR帶來的信號失真及帶外輻射,線性功率放大器的安裝會顯著增加系統的硬件開銷,同時還使系統的功率效率下降.在5G通信系統中,基站天線都是呈十倍、百倍增加,隨著帶來的能量消耗及硬件花費等問題也隨之嚴重[3].因此,需使用低復雜度且有效的方法來降低系統的PAPR.

目前,有大量學者對OFDM系統的PAPR抑制進行研究,但這些方法主要用于單輸入單輸出(singal input singal output,SISO)系統,常用的方法包括:子載波預留[4]、星座擴展[5]、選擇性映射[6]、部分序列傳輸[7]等.以上方法可以擴展到點對點的MIMO-OFDM系統,而對于大規模多用戶MIMO-OFDM系統來說相關的研究工作相對較少.文獻[8]給出了基于快速遞推截斷算法(fast iterative truncation algorithm,FITRA)的低PAPR非線性預編碼設計,通過利用無窮范數代替PAPR,利用拉格朗日放松來求解問題,其得到信號的PAPR比迫零預編碼方法得到的PAPR具有更低的數值.文獻[9]將多用戶預編碼及降低PAPR聯合成凸問題,采用最速梯度下降的方法求解,但其方法得到的SER效果較差.文獻[10]在預編碼后的頻域信號中加入一個干擾信號,同時對該干擾信號做出限制,保證其位于每個子載波所對應的信道響應矩陣的零空間中,因此該方法在獲得好的PAPR性能同時,不會為整個系統帶來額外的信號失真和帶外輻射.

文中基于預編碼的自由度,將消除多用戶間干擾、OFDM調制、降低發射信號PAPR及發射信號的功率約束建立成相應的凸優化模型.改進交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers,ADMM),避免矩陣求逆運算,設計線性交替方向乘子法(linear alternating direction method of multipliers,LADMM)解決以上的凸問題.仿真結果表明,設計的LADMM方法具有較低的計算復雜度和較快的收斂速度,在抑制發射信號的PAPR同時,也具有較低的誤符號率.

1 系統模型

1.1 大規模多用戶MIMO-OFDM系統模型

大規模多用戶MIMO-OFDM系統下行鏈路模型如圖1,假定基站配備有m根發射天線,經頻率選擇性信道后為K個單天線移動用戶服務,其中天線數量遠大于用戶數量.信號向量sn∈￡K×1表示第n個子載波上傳輸的包含K個終端用戶的數據,n=1,2,…,N,其中N表示OFDM子載波的個數,信號向量sn可從復值星座集Θ中選擇.在實際系統,OFDM系統通常在頻譜的兩端指定某些未使用的子載波,用于保護頻帶.因此,可以將載波分為χ和χc兩個集合.其中集合χ中的子載波用于數據傳輸,其互補集合χc中的子載波用于頻帶保護.在n∈χc時設為sn=0K×1,這樣就不會在保護頻帶上傳輸任何信號.

圖1 大規模多用戶MIMO-OFDM系統模型

為了去除接收端的多用戶間干擾(multi-user interference,MUI),需要在基站處對信號向量進行預編碼.信號向量sn,?n可以線性預編碼為:

wn=Pnsn

(1)

式中:wn∈M×1為預編碼向量,包含在第n根天線上傳輸M個用戶的信息;Pn∈M×K為第n個載波的預編碼矩陣.

文中使用迫零(zero-forced, ZF)預編碼方案,旨在完全消除MUI.當天線數目遠大于用戶數時,有許多預編碼矩陣可以實現完美的MUI消去,其中使用最廣泛的形式為:

(2)

式中:Hn∈K×M是與第n個OFDM載波相關聯的MIMO信道矩陣.假設信道矩陣Hn在基站處是完全已知的,可以通過時分復用系統的信道互易性來獲得.

預編碼之后將wn,?n重排列到m根天線上進行OFDM調制,即:

[a1,…,am]=[w1,…,wn]T

(3)

式中:am∈N×1為第m根天線上傳輸的OFDM頻域信號,其對應的時域信號可以通過離散傅里葉逆變換(inverse discrete Fourier tranform,IDFT)得到xm.在無線信道傳輸之前,為了避免碼間干擾,在每個天線的時域采樣中加入循環前綴.

為了簡化表示,在頻域內給出了無線信道的輸入輸出關系為:

yn=Hnwn+bnn∈χ

(4)

式中:yn∈K×1為第n個子載波上的接收信號,bn∈K×1為接收噪聲,其元素服從均值為0,方差為N0的復高斯分布.因傳輸預編碼信號可以完全消除多用戶間干擾.此時終端接收到的信號為:

yn=sn+bnn∈χ

(5)

1.2 峰值平均功率比

OFDM信號由多個獨立的調制信號疊加而成,能夠有效地對抗頻率選擇性衰落,對于第m根天線上的頻域信號am∈N×1,相應的時域連續信號為:

(6)

(7)

在實際系統中,通常只有發射信號ym(t)的一些離散時間樣本,為了更好地近似連續時間信號的PAPR,在獲得離散時間樣本時采用L=4倍過采樣,即:

(8)

過采樣操作(8)也可以表示為:

ym=FHxmm=1,2,…,M

(9)

式中:FH∈LN×N為LN點傅里葉變換矩陣的前N列,L為過采樣因子.因此具有L倍過采樣的時域樣本的PAPR為:

(10)

2 基于LADMM方法的低PAPR算法設計

2.1 ADMM算法框架

交替方向乘子法算法(ADMM)[11]用于求解以下形式的問題:

(11)

式中:x、t是兩個優化變量;h、r:Rn→R是連續可微的凸函數.上式可以看成由式(12)分解得到:

(12)

ADMM算法其實是將只含一個變量的優化問題拆解為兩個或多個獨立的優化變量,即式(12)變量x被拆解為變量x和t.相應的,目標函數以及約束條件也根據這兩個變量分別被分解為獨立的兩個子目標函數以及約束條件中的不同部分,此時子目標函數與子優化變量就分別對應.

2.2 算法設計

為了消除多用戶干擾,數據傳輸的子載波中頻域信號需滿足:

sn=Hnwnn∈χ

(13)

為避免帶外輻射,自由載波中的頻域信號需滿足:

0M×1=wnn∈χc

(14)

將上述條件合并為:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:

(21)

為了更好地兼顧工程實際,對發射信號功率施加上限約束Pmax:

(22)

(23)

(24)

(25)

則優化問題(23)可以表示成ADMM算法的等價形式:

(26)

模型(23)的增廣Lagrange函數為:

(27)

產生的迭代包括以下幾個步驟:

(28)

2.3 計算步驟

求解子問題給出如下的計算過程:

(29)

算法1 12?近端算子求解步驟1:輸入z2:令b=|z|3:s=sort(b,′descending′),令sπ(i)是s中第i個最大元素4:對i=1,2,…,N,置di=∑ik=1sπ(k)5:令j=max{i:sπ(i)?dii+2μγ},β=djj+2μλ6:對i=1,2,…,Nuπ(i)=βzπ(i)zπ(i) i≤jzπ(i)i>jì?í????

(30)

(31)

求解式(31)中逆矩陣(2AHA+ρI)-1需要較大的運算量,因此,提出了一種線性化ADMM (LADMM)方法來避免復雜度較高的逆矩陣求解,將式(30)中的二次項線性化,即:

(32)

(33)

可以得到閉式解為:

(34)

(35)

(36)

根據式(29、34、36)可以得到LADMM算法為:

算法2 求解問題(23)的LADMM算法1:初始化z1,y1,u11,u12,k=1,設置最大迭代次數Kmax2:while k≤Kmax3:使用式(29)更新xk+14:使用式(34)更新zk+15:使用式(36)更新yk+16:使用式(28)更新對偶變量uk+11,uk+127:end while8:輸出xk+1

3 仿真分析

3.1 復雜度分析

將LADMM算法與削波方法、PMP方法[8]、MUPP方法[9]及P-ADMM方法[10]從計算復雜度和抑制PAPR效果方面進行對比.各種方法的最大迭代次數如表1.為驗證提出方案的有效性,在大規模MIMO-OFDM系統下行鏈路中進行實驗仿真.

表1 不同算法復雜度分析

系統仿真參數如表2,信道為頻率選擇性信道,在時域具有多抽頭結構,且抽頭數設為D=8.信道時域響應矩陣{Hd,d=1,2,…,D}的元素服從均值為0,方差為1的復高斯分布,對應的頻域響應矩陣為:

表2 系統仿真參數

(37)

仿真結果表明,文中提出的降低大規模多用戶MIMO-OFDM系統中發射信號PAPR的LADMM方法迭代40次左右即可獲得滿意的解,比PMP方法迭代次數減少37.5倍,比P-ADMM方法減少10倍.每次遞推復雜度較PMP方法低35.5倍左右,比P-ADMM方法低47.8倍.LADMM方法運算總復雜度分別比PMP方法、MUPP方法和P-ADMM方法低1 300倍、8.3倍和478倍.

3.2 仿真結果分析

LADMM方法的殘余誤差定義為:

圖2將LADMM算法迭代100次可以看到殘差值達到10-7,經過28次迭代之后殘差值達到10-4,LADMM算法在前40次的迭代中,殘差曲線下降非常迅速.

圖2 LADMM算法降低PAPR收斂速度

圖3分別為信號經過ZF預編碼方法、削波方法、PMP算法、LADMM算法、P-ADMM算法及MUPP算法得到的時域信號,從圖3中可以看出ZF預編碼方法得到的時域信號具有很高的峰值,削波方法、MUPP算法及P-ADMM算法得到的時域信號僅消除了峰值信號,而PMP算法與LADMM算法優化后的信號幾乎保持恒定的峰值.

圖3 不同算法的時域信號

圖4將ZF預編碼方法與LADMM方法得到的時域信號進行對比,可以看出所提出的LADMM方法明顯的降低了時域信號的幅值,說明LADMM方法算能夠有效的抑制大規模MIMO-OFDM信號的PAPR.

圖4 ZF預編碼方法與ADMM算法時域信號對比

圖5將LADMM算法與ZF預編碼方法、MF預編碼方法、削波方法、PMP算法、P-ADMM方法、MUPP算法對PAPR抑制效果進行對比.在CCDF=Pr(PAPR>C)=10-3時,LADMM算法經過40次迭代可以將PAPR降低到2.3 dB,而ZF預編碼方法與MF預編碼方法得到的PAPR值為13 dB,MUPP方法經過50次迭代將PAPR值降低到5.2 dB,P-ADMM方法經400次迭代后將PAPR降到5.9 dB,削波方法將PAPR值降到4.9 dB,PMP方法經過1 500次迭代可以將PAPR降到3 dB.設計的LADMM算法與PMP算法、MUPP算法、P-ADMM方法、ZF預編碼方法、MF預編碼方法相對比,PAPR值分別降低0.7、2.6、2.9、3.6、10.7、10.7 dB.此外,文中方法還考慮發射信號的功率約束這一條件.

圖5 不同算法降低PAPR對比

圖6比較了不同算法的SER性能,其中信噪比(SNR)定義為SNR=E{‖ym‖}/N0,N0表示接收器的噪聲方差.在SER=10-2時,可以看到與ZF預編碼方法相比,LADMM算法信噪比損耗為1.5 dB左右,PMP方法信噪比損耗為2.1 dB,P-ADMM方法損耗為3.9 dB,MUPP方法信噪比損耗為7.8 dB.與以上方法相比,LADMM方法損耗最小.

圖6 不同算法SER對比

4 結論

(1) 對于大規模多用戶MIMO-OFDM系統中存在較高的PAPR值問題,利用5G基站天線陣列帶來的多余自由度將多用戶預編碼、OFDM調制、發射信號峰值功率約束以及PAPR抑制聯合成凸優化問題,通過改進傳統ADMM方法,設計線性交替方向乘子法(LADMM)來求解該凸優化問題.

(2) 分析算法復雜性,在單次迭代中,可以看出LADMM算法比相關文獻中提出的算法計算復雜度低近47.8倍;對于總計算復雜度,LADMM算法比相關算法低近1 300倍.

(3) 仿真結果表明,LADMM方法只需很少的迭代次數就可以降低發送信號的PAPR,獲得好的SER性能,具有更低的計算復雜度,同時還滿足發射信號的峰值功率約束,更符合工程實際中的應用.