部分元等效電路理論在無線電能傳輸系統中的應用研究

李 巍，柯俏俏

（同濟大學電子與信息工程學院，上海 201804）

無線電能傳輸的概念最早由電氣工程師尼古拉·特斯拉提出，通過電場、磁場、微波等空間無形軟介質實現電能的無物理連接傳輸[1]。無線電能傳輸技術相較于傳統的直接接觸式電能傳輸技術更加安全、便捷、有效，應用場景也更加廣泛，近年來受到國內外學者的廣泛關注。根據傳輸機理不同，無線電能傳輸技術可大致分為3 種：電磁感應耦合式、磁耦合諧振式和微波輻射式，其中磁耦合諧振式可實現中距離內高效率的能量傳輸，且不會產生輻射，逐漸成為無線電能傳輸方面的研究熱點[2-4]。

磁耦合諧振式無線電能傳輸系統包含至少2個具有相同諧振頻率的、高品質因數的電磁耦合機構，由補償網絡、耦合線圈和電磁屏蔽3 個部分組成，其中能量的無線傳輸在耦合線圈間實現，當耦合線圈發生共振時，傳輸的能量達到最大值[5]。因此，為實現系統高效傳能，需要對電磁耦合機構電磁參數進行精細設計，包括耦合線圈大小、匝數、距離、補償網絡拓撲等。目前，常用的無線電能傳輸系統分析理論有耦合模理論、電路理論以及二端口網絡理論這3 種[6-8]。

耦合模理論[9]從物理學的角度對無線電能傳輸的機理進行了解釋，常被用于分析能量傳輸的條件以及系統中能量流動的情況，但在設計具體電氣參數時具有一定的局限性。電路理論[10]將線圈等效為由電感、電阻元件構成的集總參數電路，根據基爾霍夫定律列出其電壓、電流方程，再對系統的傳輸特性進行求解。各電路元件參數的準確等效是電路法準確應用的關鍵，但高頻時電路的集總參數很難準確獲取。二端口網絡理論[11]將線圈系統的整體或者一部分用相應的外部特性參數來表示，不考慮其中具體的電氣參數，極大地簡化了系統傳輸效率的計算，但無法得到系統能效與系統內部參數之間的關系。因此耦合模理論常用于無線電能傳輸的必要條件和傳輸效率的分析，電路理論常用于對系統重要參數和傳輸性能如距離特性、方向特性等進行分析研究。

在實際設計中，耦合線圈電阻、電感等電磁參數的計算多依賴于經驗公式或有限元仿真，前者計算簡便但準確度較低，后者計算精確但計算復雜、計算時間較長。耦合線圈常工作在高頻狀態，寄生參數和集膚效應的影響都不容忽視，這就需要一種準確、高效且能考慮高頻影響的計算參數的方法。部分元等效電路法PEEC（partial element equivalent circuit）是一種基于麥克斯韋方程的電場積分方程的電磁計算方法[12-15]，采用PEEC 計算時，只需對導體進行離散化處理，提取離散單元的電位系數、自感、互感等參數，構成等效的電路網絡，利用電路分析方法實現電路求解。這樣既考慮了寄生參數和高頻影響，又減少了剖分單元，適用于空間多導體復雜系統的計算。因此，本文采用PEEC 法結合電路法對無線電能傳輸系統進行快速準確的分析。首先介紹PEEC 的基礎理論，推導基于PEEC 的部分電感、部分電阻、部分電容的計算方法，結合耦合線圈對PEEC 單元剖分原則進行說明并推導PEEC 系統方程，采用PEEC 法計算耦合線圈的電磁參數，最后分別對雙線圈和單共振磁耦合諧振式無線電能傳輸系統進行分析，將PEEC 計算結果與有限元計算結果對比，驗證采用PEEC 法分析此類問題的優越性。

1 部分元等效電路理論

1.1 PEEC 的基礎理論

PEEC 最早由Ruhli 提出用于三維多導體模型的構建，是一種由麥克斯韋方程組推導出的電磁場的積分數值解法[16]?？紤]導體內所有電場源的電場積分方程，可表示為

引入洛倫茲規范

即可得到達朗貝爾方程為

由達朗貝爾方程可知，矢量磁位的源是全電流，動態標量位的源是全電荷。對于大多數的實際情況，場隨時間的變化很慢，可以忽略延遲效應，即?φ/?t=0，將上述條件代入洛倫茲規范和達朗貝爾方程，即可得到

求解上述方程，即可得到由K 個導體構成的系統的位函數，表達式為

式中，r、r'分別為場點位置矢量和場源位置矢量。將式（7）和式（8）代入式（1），得到電場混合勢積分方程為

由此，將場的分布特性求解轉變為了對源的分布特性求解。將源區進行規則的離散化，使每個體電流單元上的電流密度和面電荷單元上的電荷密度近似常數，從而將J 和ρ 從積分符號內提取到積分符號外，簡化計算。因此，通過建立基爾霍夫電壓、電流方程求解源區電流和電荷的分布特性，即可確定空間中的電磁場分布。采用PEEC 法進行分析時只需要對導體進行合理地剖分，準確地計算各剖分單元的部分參數，構建等效電路即可求解電磁場。

1.2 部分參數的計算

1.2.1 部分電阻

對于體電流源，當剖分單元足夠小時，導體橫截面上的電流密度即可認為是均勻分布的。根據電位的定義，剖分單元兩端的電位差可表示為

式中：li為剖分單元的長度；ai為截面積；vi為電流流經剖分單元時電阻產生的壓降；Ii為導電單元的電流。根據歐姆定律可以得到體電流元的部分電阻為

1.2.2 部分電容

對于面電荷源，對其進行單元劃分，當剖分單元足夠細時，各個面電荷單元的電荷分布可以認為是均勻分布的。將區域V 內的電荷源剖分為K 個電荷單元，根據疊加原理，則該電荷源在空間中某點的電勢可表示為

式中：Qi為電荷單元的面電荷量；Si為電荷單元的面積。

由此，定義部分電位系數表示2 個互相作用的面電荷單元Si和Sj之間的耦合關系，有

由部分電位系數和電勢的關系可知，部分電位系數矩陣的逆矩陣就是電容系數矩陣。

1.2.3 部分電感

圖1 所示為由4 個剖分體單元構成的近似閉合的環路，則通過此環路的磁鏈可表示為

由式（14）以及電感與磁鏈和電流的關系式，可以得到任意2 個體電流元之間部分電感為

其中，當i=j 時，式（15）表示第i 個剖分單元的自感；當i≠j 時，式（15）表示第i 個剖分單元和第j個剖分單元之間的互感。

PEEC 多基于矩形剖分，剖分單元為規則的體電流單元，如圖2 所示。

圖2 平行六面體單元示意Fig.2 Schematic of parallelepiped element

對于兩平行六面體單元，其互感可表示為

1.3 系統電路方程的建立

以無限薄的矩形導體為例，假定電流橫向流動，將導體剖分為n-1 個單元，剖分后，每個體電流元對應一條電流支路，即有n-1 個支路電流，每個面電荷單元對應一個電位節點，即有n 個節點電壓，兩節點之間等效為部分電阻和部分電感，包含自電感和互電感，節點對地以及其他節點之間等效為電容，則導體的網格劃分及其對應的PEEC 等效電路模型如圖3 所示。

圖3 PEEC 等效電路模型Fig.3 PEEC model

假定節點1 處注入了幅值為Is的電流源，則節點1 的KCL 方程可表示為

節點1、2 之間的支路電壓方程可以表示為

同理，在各電位節點注入相應的電流激勵或電壓激勵，以支路電流和節點電壓為未知量，列出各個節點的節點電壓方程及節點間各支路的支路電流方程，則可得改進節點電壓方程

式中：AL為電位節點與電感支路的關聯矩陣，由節點間的電流方向決定；Cs為短路電容矩陣；R 為電阻矩陣；L 為電感矩陣；φ 為節點電壓向量矩陣；I為支路電流向量矩陣。

利用1.2 節中的公式計算部分參數，代入改進節點電壓方程中，對方程進行求解即可得到每個剖分單元的節點電壓和支路電流，從而求解系統端口的阻抗特性以及傳輸特性等。PEEC 法計算無線電能傳輸系統的具體流程如圖4 所示。

圖4 PEEC 計算流程Fig.4 Calculation process of PEEC

2 基于PEEC 的平面螺旋線圈計算

2.1 平面螺旋線圈參數

無線電能傳輸系統常用的線圈類型主要分為3 種：平面式線圈、松耦合變壓器式線圈和螺旋管式線圈，其中松耦合變壓器式線圈只適用于傳輸距離較短的系統；螺旋管式線圈體積較大，應用場景較為局限；，而平面螺旋線圈耦合面積大，傳輸距離長且占空間小，適用于各種應用場景。因此，本文主要研究平面螺旋線圈。為驗證PEEC 計算耦合線圈參數的準確性，設計3 個不同尺寸的平面矩形螺旋線圈分別進行計算，并利用IM3536LCR 分析儀對線圈的自感進行直接測量，線圈結構以及測量平臺如圖5 所示，線圈具體參數如表1 所示。

表1 平面矩形螺旋線圈具體參數Tab.1 Specific parameters of planar rectangular spiral coils

圖5 平面矩形螺旋線圈模型及測量平臺Fig.5 Models of planar rectangular spiral coils and measuring platform

2.2 平面螺旋線圈的部分元等效電路

首先對線圈進行網格劃分。耦合線圈諧振頻率一般在kHz 以上，頻率較高，此時導體的集膚效應和臨近效應不能忽略，集膚效應會使電流密度集中在線圈外側，而臨近效應會使線圈中的電流密度失去對稱性。高頻時，導體內部電流主要集中分布在線圈表面，而導線中心電流密度變化較小，因此，在網格劃分時，對銅線外表面進行更細化的剖分，為保證計算精度，其邊緣的剖分單元寬度需小于或等于集膚深度，而中間部分可以使用較為粗糙的網格以減少計算量，網格剖分如圖6 所示，剖分單元中心對稱，從外到內，剖分單元寬度呈等比增長。

圖6 網格剖分Fig.6 Mesh generation

根據工作頻率設置最外層剖分單元寬度，當剖分足夠細時，每個剖分單元上的電流密度可以近似為均勻的，將每一個剖分單元看作一條電阻與電感串聯的電流支路，則線圈的部分元等效電路如圖7所示。根據式（11）可得，剖分單元的部分電阻為

圖7 線圈部分元等效電路Fig.7 PEEC of coil

式中：lmn為剖分單元的長度；smn為剖分單元的截面積；a 為線圈橫向最外層剖分單元寬度；b為線圈縱向最外層剖分單元長度，a 和b 小于集膚深度。

同理，根據剖分單元的尺寸和位置關系，由式（15）可計算剖分單元的部分電感以及各剖分單元之間的部分互感，每一匝線圈同一方向上剖分單元等效的電流支路為并聯關系，與垂直方向上相連的等效支路為串聯關系，則根據線圈部分元等效電路以及部分電阻和部分電感，即可計算線圈整體的總電阻和總電感。

2.3 計算結果對比

首先使用部分元等效電路法建立各平面矩形螺旋線圈的模型，計算出各個線圈的電感、電阻等參數，將PEEC 計算結果和有限元計算結果與實測值對比，結果如表2 所示。

表2 線圈電感計算結果與實驗結果對比Tab.2 Comparison between calculation and experimental results of coil inductance

可以看到對任意線圈尺寸，PEEC 法計算的電感與測量結果的誤差都更小，且PEEC 建模多基于矩形的剖分，剖分單元較少，相較于有限元計算速度更快，能更高效準確地計算線圈參數。

在上述基礎上建立1 號線圈的雙線圈系統，即將2 個1 號線圈分別作為接收線圈與發射線圈，改變線圈間距，從3 mm 開始，每間隔2 mm 計算一次2 個線圈之間的互感。為驗證PEEC 方法計算參數的準確性，將仿真結果與實測值對比，結果如圖8所示?？梢?，PEEC 計算結果與實際測量結果基本吻合，兩者的相對誤差小于1.3%，即驗證了部分元等效電路法計算無線電能傳輸系統耦合線圈參數的準確性。

圖8 互感參數的PEEC 計算結果與測量結果對比Fig.8 Comparison between PEEC calculation results and measurement results of mutual inductance parameters

3 磁耦合無線電能傳輸系統傳輸性能分析

3.1 雙線圈無線電能傳輸系統

除了采用PEEC 計算耦合線圈參數外，還可以應用PEEC 分析磁耦合諧振式無線電能傳輸系統的傳輸特性。建立如圖9 所示的雙線圈磁耦合諧振式無線電能傳輸系統，系統由一對收發諧振器構成，高頻電源直接接在發射諧振器上，而負載則是直接接在接收諧振器上。發射線圈和接收線圈結構相同，均為平面矩形螺旋線圈，具體參數如表3 所示。

表3 雙線圈系統線圈具體參數Tab.3 Specific parameters of coils of two-coil system

圖9 兩線圈系統模型Fig.9 Model of two-coil system

首先搭建單個線圈模型，利用部分元等效電路法求解線圈參數，通過計算可得線圈自感約為1.8 μH，設定補償電容為14 nF，則系統的諧振頻率為1 MHz。固定工作頻率不變，改變發射線圈和接收線圈之間的距離，從1 mm 開始，每隔1 mm分別利用PEEC 法和有限元法對系統能量傳輸的效率進行計算，其中采用PEEC 法結合電路法進行分析時，系統效率可表示為[17]

式中：ω=2πf；M 為互感；R1為發射線圈電阻；R2為接收線圈電阻；RL為負載電阻。

通過計算可得系統傳輸效率隨距離變化曲線，如圖10 所示。由計算結果可得，隨著傳輸距離的增大，系統效率降低，且PEEC 計算結果和有限元計算結果的規律和分布趨勢具有較好的一致性，即PEEC 法能很好地用于無線電能傳輸系統的分析和計算。

圖10 雙線圈系統效率隨距離變化曲線Fig.10 Curves of two-coil system efficiency versus distance

3.2 單共振磁耦合式無線電能傳輸系統

建立單共振磁耦合式無線電能傳輸系統，進一步驗證PEEC 法分析無線電能傳輸系統的可行性。單共振系統由發射線圈、接收線圈以及共振線圈構成，通過非共振線圈和共振線圈之間的耦合傳輸電能，由于有且僅有一個共振線圈，系統只工作在一個確定的共振頻率下，不會出現頻率分裂現象。共振線圈為平面矩形螺旋線圈，線圈具體參數如表4 所示，搭建的單共振三線圈系統仿真模型如圖11 所示。

表4 單共振系統線圈具體參數Tab.4 Specific parameters of coils of single resonance system

圖11 三線圈系統模型Fig.11 Model of three-coil system

由PEEC 計算可得共振線圈的自感約為98 μH，設定補償電容為20 nF，則系統的諧振頻率為114 kHz。發射線圈和接收端的距離為3 cm，保持其他參數不變，改變工作頻率，即可得到系統效率隨頻率變化曲線，如圖12 所示。由計算結果可以看出，隨著頻率增大，系統效率先增大后減小，在諧振頻率點效率達到最大值。

圖12 單共振系統效率隨頻率變化曲線Fig.12 Curve of single resonance system efficiency versus frequency

固定工作頻率為114 kHz，改變發射線圈和接收端之間的距離，分別利用PEEC 法和有限元法進行計算，得到系統能量傳輸效率隨距離變化特性，如圖13 所示。由計算結果可得隨著距離的增大，線圈之間的耦合強度降低，單共振系統的傳輸效率隨之減小，有限元計算結果和PEEC 計算結果的規律和分布趨勢具有較好的一致性。

圖13 單共振系統效率隨距離變化曲線Fig.13 Curves of single resonance system efficiency versus distance

PEEC 法和有限元法具體剖分單元和計算時間如表5 所示，可以看到PEEC 法求解系統參數時，只需對導體進行矩形剖分，剖分單元較少，計算時間遠遠小于有限元法。

表5 PEEC 法和有限元法計算效率對比Tab.5 Comparison of calculation efficiency between PEEC and finite element methods

4 結語

本文對部分元等效理論及其在無線電能傳輸系統中的應用進行了研究。對部分元等效電路法的基礎理論、建模求解進行了詳細推導。采用部分元等效電路法對平面矩形螺旋線圈進行了自感、互感參數計算，將計算結果與有限元計算結果以及實驗測量結果進行了對比，證明了部分元等效電路法能在較廣的頻率范圍內，對任意尺寸的平面矩形螺旋線圈都可以高效準確地計算出線圈的電感參數，即部分元等效電路法在無線電能傳輸系統參數的計算上具有一定的優越性。雙線圈磁耦合諧振式系統和單共振三線圈磁耦合諧振式系統傳輸特性的計算結果均表明部分元等效電路法結合電路理論可以很好地應用于無線電能傳輸系統的分析和設計，且相較于傳統的有限元法，部分元等效電路法具有更高的計算精度和更短的計算時間，更適用于空間多導體系統的分析。