一種基于多卷保守混沌系統的偽隨機信號發生器的設計及實現

賈紅艷，李 偉，劉靖雯

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

偽隨機序列產生技術是集數學、計算機科學、電子與通信科學等諸多學科于一身的技術，該產生技術自20 世紀末至今一直是國內外的研究熱點，并取得了大量的成果[1-2]?；煦缦到y的偽隨機性、寬帶功率譜、對初值敏感性等特性表明它能夠有效地產生偽隨機信號[3-6]。由混沌系統迭代產生的序列經量化和判決后可得到偽隨機序列，其主要優點是具有良好的相關特性以及對初始條件和控制參數的敏感性，同時該偽隨機序列便于產生和復制，因而可以取代傳統的偽隨機序列[7-11]。最初，基于混沌系統產生的偽隨機信號通常由模擬電路產生，常用于保密通信研究。然而，模擬電路的元器件易受溫度、外界磁場強度等因素影響，影響了偽隨機信號的性能[12-14]。近幾年，隨著電子技術的快速發展，使利用數字電路設計偽隨機信號發生器成為可能?，F場可編程門陣列(FPGA)作為數字混沌電路的有效實現方法之一，能夠很好地解決模擬電路中存在的問題[15-19]。目前，FPGA 被大量使用在通信設備上，通過FPGA 設計基于混沌系統的偽隨機信號發生器，可以為保密通信提供新的物理模型[20-25]。另外，與單卷或雙卷保守混沌系統相比，多卷保守混沌系統具有遍歷性和復雜性好、偽隨機性強，且混沌序列類似于均勻分布白噪聲等優點，更適合用于保密通信[26-30]。因此，本文提出一種多卷保守混沌系統，在對其特性進行分析的基礎上，利用FPGA 技術設計偽隨機信號發生器，進一步豐富現有混沌系統模型與偽隨機信號發生器種類。

1 多卷保守混沌模型

1.1 一種多卷保守混沌系統

基于現有哈密頓保守混沌系統理論基礎，提出混沌系統模型，為

式中：x、y、z、w 為狀態變量，a、b、c、d 為大于0 的參數。

改變參數d 的值可以控制系統相圖渦卷中心點的位置。通過改變系統哈密頓能量的不變曲面拓展平衡點，理論上能夠得到任意卷數的混沌流，但實際實施起來的難度隨著卷數的增加而增大。因此本文選取固定參數a= 6、b = 4、c = 6、d = 1.2，繪制2 ×3六卷保守混沌流。

時，系統可以表示為

可以觀察到系統 J ( x) 為反對稱矩陣，即哈密頓能量的導數為

即，哈密頓能量為常數，說明系統(1)滿足哈密頓能量保守。

進一步發現，系統的散度為

即，散度為零，說明系統(1)同時滿足體積保守。

1.2 基本動力學特性

從數值角度研究系統的動力學特性，當系統哈密頓能量為常數即導數為零時，表明系統哈密頓能量保守。系統(1)哈密頓能量只與參數和初值有關，設定初值 x( 0) = y ( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8時，計算哈密頓能量H ( x ) ≈-3.26。繪制系統(1)的哈密頓能量及其導數隨時間t 的變化如圖1 所示，可以觀察到哈密頓能量為非零常數，哈密頓能量的導數為零，即系統(1)的哈密頓能量保守。

圖1 哈密頓能量及其導數圖Fig.1 Hamiltonian energy and its derivatives

為了進一步研究參數變化對系統動力學特性的影響。繪制 y( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8時，系統的李雅普諾夫指數隨 x (0)變化的圖像，結果如圖2 所示。其中，EL1、EL2、EL3、EL4分別表示x、 y 、 z 、 w 4 個狀態變量的李雅普諾夫指數?？梢杂^察到系統(1)最大李雅普諾夫指數大于零，即在相應初值條件下系統處于混沌狀態，且李雅普諾夫指數關于x 軸對稱，表明李雅普諾夫指數和為0。進一步從李雅普諾夫指數角度說明系統(1)相體積保守。繪制同等條件下系統(1)的分岔圖，如圖3 所示。

圖2 李雅普諾夫指數圖Fig.2 Diagram of Lyapunov exponents

圖3 分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram

根據對系統的哈密頓能量、李雅普諾夫指數圖與分岔圖進行分析，當初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時，系統處于保守混沌狀態，繪制系統的相軌跡圖如圖4 所示，可以觀察到此時系統為分別沿x、y 方向的2 ×3 六卷保守混沌流。當初值為(0.3，1.8，1.8，1.8)時，系統處于擬周期狀態，繪制系統的相軌跡圖如圖5 所示。

圖4 初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時系統的相軌跡圖Fig.4 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(1.8，1.8，1.8，1.8)

圖5 初值為(0.3，1.8，1.8，1.8)時系統的相軌跡圖Fig.5 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(0.3，1.8，1.8，1.8)

2 偽隨機性測試

采用最具代表性且被普遍認可的美國國家標準技術研究所(NIST)SP800-22 測試標準進行偽隨機性測試。該標準將理想的隨機序列作為參考，在統計特性上從不同角度檢驗目標偽隨機序列的偏離程度，其中包括15 項測試指標。15 項測試結果均用P 值表示，能通過測試的序列具有良好的偽隨機性能。

所有測試均取顯著性水平α= 0.01，測試序列15組，可定義通過率的置信區間為(0.970 2，1.009 8)。通常只有滿足以下3 個條件時，才能通過測試：(1)每一項測試結果的 P 值都大于顯著性水平(α= 0.01)；(2)測試序列的通過率位于置信區間(0.970 2，1.009 8)內；(3)P 值的分布應該服從均勻性分布。

數據測試結果見表1。通過表1 的各項測試結果數據可以看出，系統(1)的15 項測試的P 值均大于顯著性水平(α= 0.01)，并且系統(1)的15 項測試的通過率均位于置信區間內，因此該系統滿足條件(1)和條件(2)。15 組數據P 值均應服從均勻性分布，本文以非重疊模塊匹配檢驗P 值為例進行驗證，P 值分布的直方圖如圖6 所示。由圖6 可以觀察到非重疊模塊匹配檢驗P 值的分布相對均勻，無分布差距比較明顯的區間，即滿足條件(3)。

表1 數據測試結果Tab.1 Test results for the data

圖6 非重疊模塊匹配P 值的分布Fig.6 Distribution of matching P-values of nonoverlapping modules

3 偽隨機信號發生器物理實現

FPGA 具有非常豐富的運算單元，運算速度極快。目前，通過FPGA 技術實現連續混沌系統的方法主要包含兩種。

(1)利用FPGA 特有的編程語言Verilog HDL、System Verilog、VHDL 對混沌系統進行描述，編寫程序完成對混沌系統的物理實現。

(2)使用Xilinx 公司提供的System generator 技術或者Intel 公司提供的DSP-builder 技術，在MATLAB 的Simulink 開發環境下，從上述兩項技術的軟件庫中調取現有的硬件模塊，搭建離散化后的混沌系統模型。

第一種方法程序編寫十分困難，且產生的混沌信號不能被其他系統模塊直接調用，不利于后續再進行其他研究；第二種方法不需要太多的編程基礎，容易實現。本文系統結構相對簡單，不需要占用太多硬件資源，因此采用第二種方法對混沌系統進行物理意義上的實現，驗證其物理可實現性且產生偽隨機信號。在設計電路模型時，采用歐拉法對系統進行離散化。

式中：Δ T= 0.001，為離散采樣時間；x ( n )、 y ( n )、z ( n )、 w( n )為當前時間的迭代序列； x ( n+ 1)、y( n+1) 、z( n+1) 、w ( n+1) 為下一周期的迭代序列。

對離散化后的系統進行物理仿真，在Simulink中搭建初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時系統的電路模型，如圖7 所示。子模塊1 的電路模型如圖8 所示，子模塊2、3 的電路模型如圖9 所示。

圖7 系統的電路模型Fig.7 Circuit model for the system

圖8 子模塊1的電路模型Fig.8 Circuit model for the subsystem 1

圖9 子模塊2、3的電路模型Fig.9 Circuit model for the subsystems 2 and 3

圖7在示波器觀察到隨時間變化且無序的隨機信號，截取其中一段y 信號波形圖如圖10 所示，同時觀察到相軌跡圖與數值分析結果一致，如圖11 所示。

圖10 通過示波器觀察到的波形圖Fig.10 Oscillogram observed by an oscilloscope

圖11 通過示波器觀察到的相軌跡圖Fig.11 Phase trajectory diagram observed by an oscilloscope

4 結 語

本文提出一種保守混沌系統模型，該系統具有很好的遍歷性與偽隨機性，同時滿足哈密頓能量守恒與體積守恒。通過NIST 測試驗證了該系統能夠產生符合3 個標準條件的偽隨機信號。利用FPGA 技術設計了實現該系統的混沌電路，觀察實驗結果與數值仿真結果完全相同。本研究為混沌系統應用研究提供了一種新的保守混沌系統模型及偽隨機信號發生器，進一步豐富了基于保守混沌系統的偽隨機信號發生器的種類。