漂移擴散模型的初始層問題①

任 銘, 張 榮, 周會娟, 胡秋波

(洛陽理工學院數學與物理教學部,河南 洛陽 471023)

0 引 言

漂移擴散模型(Drift-diffusion model)在半導體科學[1]、太陽能電池數值研究[2-3]等方面有廣泛的應用,本文將研究三維周期區域上帶低階初始條件的漂移擴散模型的初始層問題,其模型為:

(1)

(2)

-λ2divEλ=nλ-pλ-D(x),x∈T3,t>0

(3)

初始條件為:

(4)

當λ=0時,形式上可以得到系統(1)-(4)的極限系統為

(5)

(6)

0=n0-p0-D(x),x∈T3,t>0

(7)

初始條件為

(8)

眾所周知,擬中性極限及其初始層問題是物理和數學上極具挑戰性的問題[4-5].漂移擴散型解的整體存在性、唯一性和光滑性被廣泛研究,見文獻[6-8].擬中性問題也有一定的研究. 比如,2019年,Wang[9]等研究了漂移擴散模型的擬中性極限和初始層問題,需要說明的是文獻[9]研究的是一般初始條件。研究的是帶低階的初始條件,在能量估計時,此低階項帶來了一定的困難,但是應用系統自身特點及Sobolev嵌入技巧可以克服這一困難。

用ε,G,M表示與Debye長度λ無關的正常數,其值可能會有所不同,文中的為Sobolev模,即

(9)

其中wm,p(Ω)為Sobolev空間.

1 主要結果

應用變換zλ=nλ+pλ,Eλ=-?φλ,則可以把系統(1)-(4)等價的轉化為:

(10)

x∈T3,t>0

(11)

(12)

同樣地,當λ=0時的形式可得到(2.1)-(2.3)的極限系統

(13)

0=div(z0E0+?D),x∈T3,t>0

(14)

(15)

設(zλ,Eλ)為(10)-(12)的解,并對(zλ,Eλ)作如下初始層展開:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2 能量估計

將

(23)

(24)

代入(10)-(12)應用初始層函數滿足的方程可得

(25)

λ2div(?divER)+J

(26)

其中

下面證明本文定理,為書寫方便引入Sobolev模|||w|||2為

(27)

(2)設內函數(z0,ε0)∈C∞,則對?T>0,?M>0,且M不依賴于λ,有

(28)

(29)

對任意非負整數i=1,2,3,kj(j=1,2,4),L=-1,0,1及任意正整數k3成立。

引理2在定理條件假設下,有

M‖(?zR,ER,λdivER,λ2?divER)‖2≤

‖(zR,zR,t)‖2+M|||w|||4+Mλ

(30)

引理3在定理條件假設下,有

M‖(?zR,t,ER,t,λdivER,t,λ2?divER,t)‖2≤

M‖(zR,zR,t,zR,tt,ER,λ2divER)‖2+

M|||w|||4+M|||w|||2Gλ(t)+Mλ

(31)

其中

Gλ(t)=‖(?zR,ΔzR,?zR,t,ΔzR,t,

ER,divER,ER,t,divER,t)‖2+

λ2‖(divER,?divER,divER,t,?divER,t)‖2+

λ4‖(?divER,ΔdivER,?divER,t,ΔdivER,t)‖2

(32)

引理4在定理條件假設下,有

M‖(?zR,tt,ER,tt,λdivER,tt,λ2?divER,tt)‖2≤

M‖(zR,zR,t,zR,tt,ER,ER,t,λ2divER,λ2divER,t)‖2+

M|||w|||4+M|||w|||2Gλ(t)+Mλ

(33)

引理5

‖(?zR,ER,λdivER,λ2?divER,tt)‖2≤

M‖(zR,λER,λ2divER)‖2+

M‖(zR,t,λER,t,λ2divER,t)‖2+

M|||w|||4+Mλ

(34)

注:由(30)及Cauchy不等式易證(34).

引理6在定理條件假設下,有

M‖(ΔzR,divER,λ?divER,λ2ΔdivER)‖2≤

M‖(ER,divER,zR,?zR)‖2+M|||w|||4+Mλ

(35)

引理7在定理條件假設下,有

M‖(ΔzR,t,divER,t,λ?divER,t,λ2ΔdivER,t)‖2≤

M‖(ER,ER,t,divER,?divER,zR,zR,t,

?zR,?zR,t,?zR,tt)‖2+

M|||w|||4+M|||w|||2Gλ(t)+

(36)

引理8在定理條件假設下,有

M‖(ΔzR,tt,divER,tt,λ?divER,tt,λ2ΔdivER,tt)‖2≤

M‖(zR,zR,t,zR,tt,ER,ER,t,λ2divER,t)‖2+

M|||w|||4+M|||w|||2Gλ(t)+Mλ

(37)

引理9

‖(ΔzR,divER,λ?divER,λ2ΔdivER)‖2

≤M‖(?zR,λdivER,λ2?divER)‖2+

M‖(?zR,t,λdivER,t,λ2?divER,t)‖2+

M|||(zR,ER)|||2+|||w|||4+Mλ

(38)

注:由(35)及Cauchy不等式易證(38)

定理：設(zλ,Eλ)為(10)-(12)在T3×(0,T*)上的光滑解,00,其中δ為一個正常數,則存在正常數M1,使得

(39)

(40)

那么存在正常數M和λ0?1,使得對?λ∈(0,λ0],有

(41)

成立.

定理證明：由橢圓正則性估計知

(42)

i=0,1,s=1,2

(43)

引入Sobolev模

Γλ(t)=

‖(zR,?zR,ΔzR,zR,t,zR,tt,?zR,t,ER,divER)‖2+

λ2‖(ER,divER,?divER,ER,t,divER,t)‖2+

λ4‖(divER,?divER,ΔdivER,divER,t,?divER,t)‖2

(44)

應用引理1-引理9及|||w|||2與Γλ(t)的等價性,可得λ加權的Growall不等式:

(45)

其中

證畢.

3 結 語

應用漸進匹配方法,加權的能量估計,并借助Sobolev嵌入定理,構造李亞諾夫型不等式,證明了三維周期區域上遷移率互異的PNPNS模型到其約化模型的收斂性.