構造法在高等數學解題中的應用①

孫夢園

(長治幼兒師范高等?？茖W校,山西 長治 046000)

0 引 言

所謂構造法,是指在解題過程中使用常規方法按照定向思維難以解決問題時,常常需要依據問題給出的信息,構造一種新的數學形式,如函數,級數,積分等,進而對問題進行轉化得到解決的這樣一種方法.

構造法作為數學中一種基本且重要的思維方法,它有三個特點:一是在構造的過程中,經常要伴隨分析、猜想等思維活動進行;二是構造性思維有時體現在解題的全過程中,也有時體現在關鍵環節中;三是在構造的“框架”必須在有限的步驟內能實現.運用構造法來解題可以培養學生鉆研獨創精神及多元化思維,提高他們分析解決問題的能力,下面通過舉例來說明幾種常見構造方法在高等數學解題中的應用.

1 構造函數

函數在高等數學學習內容中占據很大的比例,而學生對函數也較熟悉,故在用構造法解題時,一個常用的方法是構造函數．構造函數法是指,由問題已知條件的數量關系為對象,構思想象并組合一種新的關系,使問題在新關系下得到轉化并解決.運用構造函數解題需要我們具備抽象的構造性思維,并對典型的函數及其特性了然于心。

例1[1]證明:不等式

p>1,n∈N,且n≥2.

分析將欲證的不等式改寫為

函數f(x)在閉區間[n-1,n](n≥2)連續,在開區間(n-1,n)(n≥2)可導,根據拉格朗日定理[1],則在開區間(n-1,n)內可找到一點n-1+θ,0<θ<1,使得

從而

進一步可得

例2[2]已知g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)上二階可導,且g(0)=g(1)=0,求證: 存在ξ∈(0,1)使得2g′(ξ)+ξg″(ξ)=0．

分析根據題設條件,很容易聯想到羅爾定理[1],即(0,1)在上至少存在一點η,使得g′(η)=0.如果此時能夠構造一個新的函數G(x),其滿足羅爾定理條件,則一定存在ξ∈(0,1),使得G′(ξ)=0.若令G′(x)=2g'(x)+xg″(x),此時難以尋找滿足條件的G(x).不妨在2g′(ξ)+ξg″(ξ)=0兩端同時乘以ξ,得到2ξg′(ξ)+ξ2g″(ξ)=0,這樣就可以取函數G(x)=x2g′(x),進而解題.

解構造函數G(x)=x2g′(x).因為g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)上二階可導,且g(0)=g(1)=0,根據羅爾定理,一定存在η∈(0,1),使得g′(η)=0.而G(x)在[0,η]上連續,在(0,η)上可導,且G(0)=G(η)=0,再次利用羅爾定理,一定存在ξ∈(0,η)?(0,1),使得G′(ξ)=0,即2ξg′(ξ)+ξ2g″(ξ)=0,進而2g′(ξ)+ξg″(ξ)=0,命題得證.

2 構造級數

級數與積分、函數等諸多知識密切聯系。構造級數法是指根據條件中的數量關系及結構特征,構造出一個級數, 之后根據級數的理論使問題在新關系下達到轉化而解決。

由冪級數可逐項求導,有

x∈(-2,2).

例4[3]數列{xn}的定義如下:x1=n,x2=

…,

…

故

3 構造不等式

針對某些關于數列極限的問題,往往要用到夾逼定理[1],其關鍵步驟就是構造相應的不等式,然后再取極限來解題.

例5求極限

解對任意的自然數k(k=1,2,3,…,n),有

從而

因為

由夾逼定理得

通過構造不等式,轉換了解題的方向,從而為原問題解決找到最佳途徑.

4 構造積分

根據題目已有的條件,合理的構造積分,再利用積分的性質來求解.

-2π(0-1)=2π

又因為

例6、例7就是通過構造積分,再利用積分性質簡化計算,從而避免繁冗復雜的計算過程.

5 構造反例

反例,顧名思義就是指符合命題中條件但不符合結論的例子.通常要說明一個命題是假命題,我們往往會選擇特殊值或極端情形來揭露判斷的虛假性,這個構造過程就叫做構造反例.

例8[2]判斷下面命題是真命題還是假命題:

(1) 若函數|g(x)|在[m,n]可積,則g(x)在[m,n]也可積．

(2) 若函數g2(x)在[m,n]可積,則g(x)在[m,n]也可積．

例9[5]判斷下面命題是否正確。

(1)如果數列{an}的子數列{a2n}、{a2n+1}都收斂,則其一定收斂;

(2)如果數列{an}收斂,則數列{|an|}也收斂,反之依然成立.

解對于命題(1),可以構造數列2,1,2,1,2,1,…,其子數列{a2n},{a2n+1}都收斂,但是{an}卻不收斂,故命題(1)錯誤.

對于命題(2),數列{|(-2)n|}是收斂的,但數列{(-2)n}卻不收斂,故命題(2)也是錯誤的.

遇到判斷命題真假的問題時,如果我們無法正面去證明命題真假,這時就可以考慮構造反例來解題.

6 構造矛盾

構造矛盾方法,是指否定原命題的結論,之后利用否定的命題找出一個能指出其錯誤的數學對象,從而引發矛盾,使原命題得以證明.

例10[5]證明方程x3-6x+c=0在[0,1]內不可能存在兩個不相等的實數根.

例10在采用構造矛盾法的同時用到了構造函數法,可見在解題過程中構造方法靈活多樣,要從多角度進行思考.

通過以上的探討,可以發現,在高等數學中構造法是一種非常巧妙的方法,其方法帶有猜測性、試探性,思維極具創造性.構造法解決問題的關鍵在于“構造”,“構造”怎樣的輔助元素,沒有固定通用的方法,所構造的數學模型也是靈活多變的．

7 結 論

該文從六種“構造模式”: 構造函數、構造級數、構造不等式、構造積分、構造反例、構造矛盾入手,展示了構造法的簡化功能及其技巧性、創造性.構造思想需要長期經驗積累,才能靈活運用.使用構造法解題不僅體現了數學中發現、類比思想,同時滲透著聯想、猜想、特殊化等重要的方法.學生學會了構造法,就可以在欣賞數學之美的同時還可以感受到解題樂趣,更重要的是可以開拓思維空間,提高解題的能力,有利于創新能力的培養.