基于數學深度學習的課堂教學案例與分析
——以《三角恒等變換》第一課時為例

山東師范大學數學與統計學院 傅海倫 陳 可 (郵編:250358)

山東省濟南市歷下區龍鼎實驗學校 王 月 (郵編:250014)

深度學習是學生掌握知識、提高自身素養的關鍵,而如今教師更傾向于在有限時間內快速處理相關知識,從而加快教學進度,為的是能在短時間內讓學生掌握更多的知識,從而應對數學考試的問題,但是很顯然這一做法容易造成學生僅僅掌握表面的知識,很難去深入挖掘蘊含在數學知識內部深層的價值和意義,即學生記住的僅僅只是固定的數學公式和定理、數學問題解決方法的套路以及一系列形式化的內容,對于數學知識的推導過程、數學內在的邏輯性、嚴密性以及對于數學整體的系統性的了解不夠深入,使學生處于所謂的“淺層學習”,而這種情況無疑會阻礙學生的發展,并難以調動學生學習的興趣,更無法使學生深入系統地掌握數學知識、提高自身的綜合素質.

1 對數學深度學習的認識

深度學習的概念源于人工神經網絡的研究,后來“深度學習”被美國學者馬頓和薩爾約通過《學習的本質區別:結果和過程》引入到教育學當中去,并闡述了深度學習以及淺層學習的相關概念,對教育產生了很重要的影響;同時布魯姆所提及的教育目標分類學中,將教學目標分類成認知領域、情感領域和動作技能領域三大領域,其中在認知領域當中,又將教育目標分成了由低級到高級,由簡單到復雜的六個水平,而這六個的層次便可以理解成由淺層學習向深層學習過渡的過程.

當前對深度學習的研究仍在持續和推進之中,深度學習的理論研究成果也越來越多地被借鑒與應用到學科教學之中.數學深度學習是在數學學習過程中,在教師的引領下,圍繞著具有挑戰性的數學學習主題,在理解學習的基礎上,以洞察數學知識的本質聯系為特征,以培養高階思維能力、反思能力和實際問題解決能力為旨歸的一種學習.相對于“淺層學習”,數學深度學習更多地去關注蘊含在數學知識之間有本質聯系,包括知識之間的邏輯關系、相互影響和因果關系、數學價值以及數學思維、規律方法等方面的內容,同時深度學習強調學生的積極主動、探索發現.當知識內化到自身的知識結構體系中時,學生可以進行主動的知識遷移,從而更全面、更深層次地掌握知識,促進學生主動地、專注地、批判性地學習,并將所學知識遷移到新的情境中,去嘗試解決新的問題.

借鑒深度學習的相關概念和性質,對于數學深度學習,可以從縱向和橫向兩個角度,從數學知識、方法和數學思維發展等方面進行全面的認識.

(1)數學知識難度上的縱向深入

縱向深入,即為深入探求所學數學知識的深層次知識,即教師拓展相應的知識,針對學生的知識儲備以及相應數學能力,適當增加相關深層次的知識,從而拓展學生的視野,更好地提高學生的數學能力.

(2)數學思維層次上的縱深發展

有關數學的學習不能僅僅局限于現有的知識點和層次,更是數學思維的縱深發展,特別是高階思維能力、質疑反思能力和實際問題解決能力.

(3)數學知識與方法之間的本質聯系

數學知識不是支離破碎的,數學知識內部存在著無法割舍而又密切的聯系,對于不同的數學知識和方法,可以通過遷移或者類比來進行比較,以此深刻體會數學知識與方法的意義與價值所在,促進學生數學知識與方法的橫向遷移,從而更好地掌握相應的知識和數學思想方法.

(4)立足于單元整體的系統分析與綜合

數學知識具有邏輯性、系統性;數學思維培養也具有整體性.要促進學生的數學深度學習,就必須要考慮到數學知識的系統性和數學思維的整體性.從單元整體的角度出發,將數學知識置于單元整體的網絡中進行分析與綜合,從而建立起數學知識的系統聯系和思維結構.只有將數學知識之間建立起相應的網絡結構,才能更好地洞察數學思維的本質和規律,提升數學學習的質量和水平.

因此,數學深度學習無疑是學生掌握數學知識、探究數學本質、掌握數學思想方法和提高數學能力的關鍵因素,值得重視和實踐應用.當然,在數學深度學習的過程中,教師的引導作用無疑是至關重要的.

2 基于數學深度學習的課堂教學案例與分析

三角恒等變換教學設計

教材分析:

《三角恒等變換》處于高中數學人教A版必修一5.5一節,是在誘導公式一節之后對于三角函數公式的進一步深入,對學生的推理判斷能力有著極大的引導作用.

學情分析:

在本章第一節已經利用單位圓探究了三角函數的相關概念,本節便以此為基礎進一步利用單位圓來探究三角恒等變換,并且再一次利用誘導公式去探究其他形式的公式,即本節的起點學生在本節之前都有所接觸,擁有一定基礎,可以更好地幫助學生深入學習.

教學目標:

(1)學生能掌握兩角差的余弦公式,靈活運用兩角差的余弦公式去解決相應的問題.

(2)學生能在推導兩角差的余弦公式的過程中,體會到數與形之間的密切關系,由此提高自身的數形結合能力以及邏輯推理能力.

(3)學生可以通過兩角差的余弦公式的學習進一步理解數學知識之間的密切聯系,認識數學的價值,提高學習數學的興趣.

教學重難點:

重點:掌握兩角差的余弦公式,利用三角恒等變換解決問題

難點:兩角差的余弦公式的推導

教學過程:

(1)課堂導入

師:同學們,大家在之前的學習中都學習了特殊角的正弦以及余弦值,那么cos60°以及cos30°分別等于多少?

師:那么我們如何用60°來表示出30°呢?

生:30°=60°-30°.

師:很好,那相應的就可以說cos30°=cos(60°-30°),那么大家利用他們各自的數值來看一下cos30°是否可以寫成cos60°-cos30°嗎?

生:不能.

師:也就是說cos30°≠cos60°-30°,那推到一般形式當中,cos(α-β)如何用α和β表示出來呢?

師:大家可以回想在剛開始學習三角函數時,我們是利用什么研究的?

生:利用單位圓.

師:那我們能不能繼續利用單位圓來把相應的α、β以及α-β表示出來?

(2)新課講授

師:在這個單位圓里,如何用三角函數表示相應的坐標呢?

生:P1(cos(α-β),sin(α-β));A1(cosα,sinα);P(cosβ,sinβ).

師:大家觀察一下圖1,α-β對應了圖中那個角?

圖1

圖2

生:∠POA和∠P1OA1.

師:連接A1P1和AP,這兩個線段又有什么關系,那又該如何用瞇的坐標表示這兩個線段之間的關系呢?

生:A1P1=AP,用兩點之間的距離公式表示這兩個線段相等.

師:沒錯,那么大家還記得兩點之間的距離公式嗎?

師:根據兩點之間的距離公式,我們帶入相應的坐標可以得到什么式子?

由前文可知，公式(36)關于q的一階和二階導數為公式(37)、(38).由于二階導數小于零，若公式(37)等于零，必有最優訂貨量其解析解可通過公式(39)解得.

師:請大家對這個公式化簡我們可以得到什么式子呢?

生:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

師:當α=β+2kπ時,帶入這個式中是都還成立呢?

生:成立.

師:所以我們可以說,對于任意角α、β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,那么我們得到了對于任意角α、β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關系,稱為差角的余弦公式,簡記作C(α-β).

(3)拓展提升

師:大家還有沒有其他的方法來證明差角的余弦公式嗎?

生:想不到.

師:好,老師就在這里先向大家介紹一位人物:托勒密.托勒密是一位擁有很多頭銜的人物,他是希臘的地理學家、占星家、天文學家,同時還他也是一位數學家,在眾多領域做出了杰出貢獻.他最著名的是提出了“托勒密體系”的模型,也就是他提出了地球是宇宙的中心,對于這一觀點,現在看來是顯然不成立的,但是在他提出之后的很多世紀,都被認為是正確的觀點,直到哥白尼提出了日心說.他既然是一位數學家,在數學方面的確也做出了重要的貢獻,例如他論證了四邊形的特性,也就是有名的托勒密定理,而這也就是接下來需要向大家介紹并且需要借助的定理.

托勒密定理用文字語言來說就是:圓的內接凸四邊形兩對對邊的乘積的和等于兩條對角線的乘積.那么我們就可以借助三角函數以及托勒密定理在構造一個圓,AC為圓的直徑(2R).

根據這個圖,可以直接利用托勒密定理得出什么公式?

生:AD×BC+AB×CD=AC×BD.

師:現在就是要將這六條邊用三角函數以及直徑2R表示出來.請大家來表示一下AB、BC、AD、CD、AC.

生:AB=2Rcosα;BC=2Rsinα;AD=2Rsinβ;CD=2Rcosβ;AC=2R;但不知道BD如何用三角函數以及直徑表示.

師:既然要用直徑表示BD,是不是可以構造一個直角邊是BD的直角三角形呢?這樣可以連接DO并延長交于圓與點E,連接BE,則在△BDE中,∠BDE=α-β,接下來BD如何表示?

生:BD=2Rcos(α-β).

師:把這些邊長代入到托勒密定理中,大家能得到什么式子?

生:2Rcos(α-β)2R=(2Rsinβ2Rsinα)+(2Rcosα2Rcosβ),經過化簡就得到了兩角差余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(4)例題鞏固

師:到現在為止,我們利用了兩種方法來證明兩角差的余弦公式,其實還有其他的方法來證明這個公式,在未來學習到相關知識的時候,我們再利用新知識進一步證明,現在利用三個題目來體會一下兩角差余弦公式的具體應用,并借此來鞏固一下這個公式.

例1利用公式C(α-β)證明下列式子:

(2)cos(π-α)=-cosα.

例3試求15°的余弦和正弦值.

師:請大家先做一下第一題,給大家三分鐘來完成.

師:例1需要利用我們剛剛學習的兩角差余弦公式,來證明我們前幾節課所學習到的誘導公式,哪位同學愿意來分享一下自己的做題過程?

生:例1的兩小問都可以直接利用剛剛學習的兩角差余弦公式來證明:

師:很好,大家的解題步驟都和這位同學的一樣嗎?

生:一樣.

師:很好,也就是說例1的兩問可以直接利用我們的兩角差余弦公式來進行,與此同時,還需要大家掌握一些特殊角的三角函數值進行證明.

師:接下來請大家看一下例2這個題目,給大家五分鐘的時間來做一下.

師:有哪一位同學愿意說一下自己的做題思路?

師:大家的思路和這位同學一樣嗎?

生:一樣.

師:很好,通過解這道題大家一定要明確α、β所在的象限情況,判斷出正弦值和余弦值的正負,從而求出相應的正弦和余弦的數值,下面大家一起再看一下最后一題.

師:老師在巡視的過程中,發現很多同學都不知從何下手,老師提醒一下15°可以把它看作是那兩個特殊角的差值呢?

生:45°和30°.

師:大家怎樣先利用今天所學的兩角差余弦公式求出15°的余弦值?求出了15°的余弦值,那么,它的正弦值怎樣再利用之前學到公式求出來?好,大家繼續解答這道題.

師:老師找一位同學講解一下自己的做題步驟.

師:很好,大家一定要深刻理解到判斷正弦值的正負之后再進行相應的計算,那么大家對這三道例題的安排有什么認識嗎?

生:依次遞進,層層深入,方法越來越靈活…….

師:第一道例題主要是為了讓大家更好地掌握我們今天所學的兩角差余弦公式,并且可以認識到該公式是可以推導出之前所學習的誘導公式的;那么第二題則是需要大家將該公式應用到較為復雜的情況當中,但是無論題目多么復雜在解決該類題目時,還是需要大家從公式入手,將α、β的正弦和余弦值求出來,在這里一定要明確正弦值和余弦的得正負情況;最后一題則是應用到了具體的數值當中,也就是說我們可以利用兩角差余弦公式,來求出一些我們之前所無法求得的角度的值,也就是說兩角差的余弦公式在具體的應用中也具有很重要的意義,希望大家可以很好地掌握這一公式.

(5)歸納總結

師:好,那么這節課的知識點就學到這里,下面誰愿意分享一下在這節課中收獲到了什么?

生:這節課我學習到了兩角差的余弦公式以及具體的應用,同時還學會了證明兩角差余弦公式的兩種不同的方法.

師:很好,還有同學有補充嗎?

生:我學習到了在證明一個問題時要學會從不同角度來分析,例如在證明兩角差余弦公式的時候,我們可以利用曾經利用過的單位圓的方法,也可以利用今天所學習的托勒密定理來證明.

師:很好,這兩位同學說的都比較重要,這節課的中心內容就是兩角差的余弦公式,并且我們還學習了證明這個公式的兩種不同的方法,希望同學們在課下可以認真復習本節課的知識并完成本節課的練習冊作業,有興趣的同學可以繼續探究一下如何利用本節課所學習的兩角差余弦公式,來證明下節課我們將要學習的兩角和余弦公式,以及兩角和與差的正弦公式與正切公式.這節課就上到這里,同學們再見!

生:老師再見!

案例分析:

該課的教學設計是遵循了深度學習的相關理論.首先,從縱向來說,綜合了數學思維的發展以及知識難度上的深度學習.在課堂的后部分向學生融入了托勒密以及托勒密定理,利用托勒密定理一方面可以引起學生對于數學的興趣;另一方面可以引導學生利用托勒密定理對兩角差余弦公式進行證明,實現了難度上的跨越,不再局限于課本上的單一證明方法,讓學生學會從多方面考慮問題,拓展學生的思維.其次,從橫向來說,一方面在知識之間,兼顧了新舊知識之間的關系,在一開始的證明方法中,利用了之前學生所接觸的單位圓的方法,讓學生可以由舊方法引入新知識,同時在例題的練習過程中讓學生采用本節課新學的兩角差余弦公式來證明曾經學習的誘導公式,在其它例題的解答過程中也利用到了第五章之前學的一些知識,很好地將知識連聯系一起形成小網絡,防止知識的破碎,有效地將知識系統整合,有利于學生的進一步學習.同時,由單位圓的證明方法轉向托勒密定理的證明方法,可以使學生體驗到不同的知識與方法之間存在的本質聯系;另一方面,從單元整體角度上看,兩角差的余弦公式是三角恒等變換的起始課,整個教學設計從單元整體的角度出發,在證明兩角差余弦公式時,充分利用了單位圓以及托勒密定理進行證明,即在第一課時中讓學生掌握相應的證明方法和公式的意義,同時布置了相應的思考作業,在后續的學習中,突破單一知識點和方法的學習,學生會發現將要學習的其他三角恒等變換公式不僅可以利用這兩種證明方法,還可以利用兩角差余弦公式進行證明,將單元整體的知識與方法有效地聯系在了一起,從而可以幫助學生有效遷移,從而促進學生的深入學習.