立體幾何教學中的降維與升維策略

西藏山南市第二高級中學 劉冬喜 周宗杰 (郵編:856000)

數學中,維是指一個問題中元素的自由度,即該元素的坐標數,如數軸上點的維數是1,平面內點和直線的維數是2,在空間中點和平面的維數是3等等.降維則是通過一些數學方法,將高維的數學問題降為低維的數學問題,從而使問題簡化,達到解決問題的目的.

降維,作為一種數學方法,意指如:一般問題的特殊值解法,多元減為少元,立體幾何問題轉化為平面幾何問題等等.降維方法是處理數學問題的一種行之有效的方法,但在教學中還不僅要介紹降維方法,更要進一步對知識與知識結構之間的關系進行更深的提煉、概括和總結,使學生獲得更深入的認識,從而上升到意識領域,形成一種解題思想——降維思想,即將一個維度較高的數學問題轉化為較低的數學問題,通過簡化問題結果,縮小問題視角,減少變化因素,探求解決問題的方法的思想.這對培養學生的核心素養能起積極的作用.

立體幾何中的四條判定定理從條件到結論體現了升維思想,而四條性質定理從條件到結論體現為降維思想.降維思想是立體幾何的主體思想,通常通過射影法、平移法、旋轉法、對稱變換等方法將空間三維問題降為平面的二維問題.

例1空間中從同一點出發的三條射線,每兩條所成角的平分線與第三條射線確定一平面,如此所得三個平面必相交于同一直線.

分析假如我們能作一個適當的平面分別交三條射線和三條角平分線于A、B、C、L、M、N,如圖1,三平面OLC、OBN、OAM都過O,要證它們相交于一直線,只需找另一公共點,為此我們降一維聯想到平面幾何中三角形三條中線交于一點,這樣只要在三射線上各取OA=OB=OC,則過A、B、C作平面ABC,L、M、N分別是AB、BC、AC的中點,便可證得所欲證的結論.

圖1

證明作OA=OB=OC.因為OL,OM,ON分別是角平分線,所以L、M、N分別是AB、BC、AC的中點,所以三角形的三條中線AM、BN、CL交于一點G.則OG就是面OLC、面OBN、面OAM的交線.

平面幾何研究的是平面圖形及其數量關系,立體幾何則是研究空間立體及其數量關系.由平面幾何到立體幾何是由二維空間進入到三維空間,它們之間有著緊密的聯系,注意研究它們之間的聯系,弄清它們之間的區別,在立體幾何問題中注意降一維聯想平面幾何問題的解法,從平面幾何問題中得到啟發,再升一維探求立體幾何問題的解法,常常使復雜的立體幾何問題解題思路探求過程得到簡化.因此,在教學過程中,加強平面幾何和立體幾何之間的橫向聯想,對培養學生的邏輯思維能力是有益處的;對拓展學生的知識境界,由二維到三維以至今后對n維空間的探索也是大有裨益的.

分析降一維聯想平面幾何問題(梅涅勞斯定理):空間四邊形→三角形截面→截線.

圖2

從上面的證明思路啟發,平面中作平行線構造比例線段,空間里可以作平行平面構造比例線段.從而升維證明立體幾何問題.

證明如圖3,當平面α∥BC時,顯然BC∥DE∥D′E′,

圖3

如圖4,當平面α不平行BC時,不妨設點B到α的距離較近,則過點B作平面BFF′∥α,分別交AC、A′C于F、F′.

圖4

所以,DE∥BF,D′E′∥BF′,FF′∥EE′,

再如平面幾何中證含有線段平方的等式時常用勾股定理和射影定理.在立體幾何中類似問題則可以考慮在各種不同的直角三角形中構思相應的等式.

分析降維聯想平面幾何問題:三棱錐→三角形;錐高→形高.

圖5

由以上問題得到啟發:在三棱錐P-ABC中,作Rt△PBC的弦高PD,則PH必為Rt△PAD的弦高,兩次使用射影定理獲解.

升維聯想立體幾何問題:

證明如圖6,過P作PD⊥BC,垂足為D,易證PH⊥△ABC.

圖6

平面幾何中,“等邊三角形中任一點到三邊的距離之和為定值”,立體幾何中,“正四面體中任一點到四個面的距離之和為定值”.證法上,前者用面積,后者用體積,類似的問題亦可仿證,如例四.

例4已知在正四面體ABCD的底面BCD的外側有一點P,點P到底面的距離是h,點P到三個側面的距離分別h1,h2,h3為.求證:h1+h2+h3-h為定值.

降維聯想平面幾何問題:正四面體→正三角形;錐高→形高.

平面幾何問題:在正三角形ABC的底邊BC外側有一點P,P到BC的距離為h,P到另兩邊的距離分別為h1+h2,求證:h1+h2-h為定值.

證明如圖7,設△ABC的邊長為a,高為H,連接PA、PB、PC.

圖7

所以S△PAB+S△PAC-S△PBC=S△ABC,

即h1+h2-h=H為定值.

由以上問題得到啟發:有關距離(高)的問題,常常聯系三角形面積,立體幾何中聯想到三棱錐的體積.

升維聯想立體幾何問題:

證明如圖8,設正四面體每個面的面積為S,體高為H,連PA,PB,PC,PD.因為

圖8

VP-ABC+VP-ACD+VP-ABD-VP-BCD=VA-BCD,

即h1+h2+h3-h=H為定值.

平面幾何中,求三角形的面積用不同邊作底可導出新的等式,立體幾何中,用不同的面作底來求錐體體積也可導出新的等式,幫助解題,如例五.

例5已知長方體的三條棱AB=4,AA1=3,AD=6,求面對角線BB′與體對角線AC′的距離.

降維聯想平面幾何問題:長方體→長方形,異面直線間的距離→點到直線的距離.

平面幾何問題已知矩形兩鄰邊長分別是AB=3,AD=4,求點A到對角線BD的距離AE的長.

圖9

啟發求三角形的面積可用不同的邊作底邊,求三棱錐的體積可以用不同的面作底面.

升維聯想立體幾何問題:

解如圖10,將矩形AA′D′D向上延升一倍到NADM的位置,

圖10

因為B′C∥A′D∥AM,

所以B′C∥平面AC′M,

因此,C到平面AC′M的距離即BB′與AC′的距離.

所以,VM-ACC′=12.

以上僅僅從幾個側面陳列了對立體幾何題降維聯想平面幾何題,再升維尋找立體幾何題解法的模式,其實,類似的問題還很多,諸如"對稱問題在平面幾何中的應用",是找關于直線的對稱點來解題,在立體幾何中則可找關于平面的對稱點來解題;平面幾何中關于圓的問題在立體幾何中有不少題目可在球的問題中找到蹤跡;平面幾何的作圖思路很多不乏為立體幾何作圖的先導,只要我們認真聯想,反復對比,那么平面幾何與立體幾何的解題方法就可以相輔相成,相得益彰.