考查基本概念和基本思想突出關鍵能力和人才選拔
——2023年全國乙卷數學試題評析與教學啟示

陜西省陜西師范大學 劉再平 羅新兵 (郵編:710119)

華東師范大學出版社 劉祖希 (郵編:200062)

據教育部統計,2023年全國高考報名人數為1291萬,比去年增加98萬,再創歷史新高.今年高考數學全國卷一共有6套試卷,分別是新高考Ⅰ卷一套(不分文理科)、新高考Ⅱ卷一套(不分文理科)、全國甲卷兩套(分文理科)、全國乙卷兩套(分文理科),這六套試卷都由教育部教育考試院統一命制,其中使用全國乙卷的省份較多,涉及地域廣,主要包括河南、山西、江西、甘肅、青海、內蒙古、寧夏、新疆、陜西九個省份,這些省份主要分布在我國、中西部地區,是我國經濟發展和教育改革推進相對緩慢地區,考生競爭壓力大,所以對全國乙卷數學試題展開全方位地評析,對深化高考改革、探索高考數學測評和構建有中國特色的高考體系有著十分重要的意義.

1 試卷整體分析

2023年全國高考乙卷數學試題以《中國高考評價體系》[1]《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》[2]為依據,兼顧新老高中數學教材,以數學學科核心素養為導向,考查基本概念和基本思想,突出關鍵能力和人才選拔,落實立德樹人根本任務.整體來說,全國乙卷數學試題穩中有變、穩中求新,其中考查的數學核心知識如表1.

表1 2023年全國乙卷數學試題考點分析表

通過上表分析,可以得到以下結論:

(1)全國乙卷數學文理科試題都突出了對高中數學主干知識(函數導數與三角、解析幾何、立體幾何、概率與統計、數列、極坐標與參數方程或不等式)的重點考查,六大主干知識試題共占全國乙卷文理科試題的90%,達到135分;

(2)除立體幾何解答題難度增加外,其它基礎試題和中檔試題比去年稍簡單,試題解答容易入手,學生更容易得分,然而疑難試題的難度并沒有降低,從而既利于得分又利于拉開差距,實現人才的選拔;

(3)全國乙卷數學文理科相同試題有11道,類似姊妹題有6道,共計123分,占整個試卷的82%,即將淡出新教材的三視圖、框圖、線性規劃等知識,正處于由過去全考到現在選擇性考查的過渡階段,雖然理科試題難度還是比文科稍大,然而兩者之間的差距正在逐步縮小.

綜上所述,全國乙卷高考數學試題正有序地向2014年開啟的最全面、最系統、最深刻的文理不分科的新高考改革要求靠攏,席卷全國的新高考數學改革也已經進入最后收尾的關鍵時期.

2 試題特征評析

2.1 立足基本數學概念,考查數學思維

數學概念是對現實世界中某類對象的數量關系和空間形式的本質屬性的一種簡明概括、抽象和符號化反映形式,數學概念是數學思維的基本單位與細胞,數學概念高度凝結著數學家的思維,所以數學概念不僅是認識事物的思想結晶,也是數學的思維形式[3]. 在數學中,作為一般思維形式的辨析與推斷,往往以公理、定理、公式的方式表現出來,數學概念則是組成它們的根基.培養學生的數學思維能力是數學教學的核心任務,數學思維能力的培養是一個長期的、潛移默化的過程,是在充分認識數學概念的過程中逐步形成的. 數學概念最有力量,數學是玩概念的,準確理解并靈活運用數學概念,學會用概念思維,是掌握數學基本知識和基本技能、培養數學邏輯思維能力和創新能力、落實數學核心素養的前提(如圖1).

圖1 數學概念的內涵與功能

2023年全國數學乙卷命題專家在立足基本數學概念、深入考查數學思維方面下了很大功夫,如:理科第4、9、10、12、19、21題,文科第5、6、8、19題等都是源于重要數學概念的優質試題.

圖2

2.2 突出基本數學思想,關注通性通法

數學思想是數學的精髓,是對數學規律的本質和理性認識,是在數學認知過程中從具體的數學內容提煉上升的觀點,是深刻在人們頭腦中永遠起著積極作用的態度、精神和文化.數學思想在數學認知活動中運用廣泛,具有普遍的指導意義,是構建數學體系和解決數學問題的指導思想.[4]高考中的數學思想主要有五種:化歸思想、分類思想、構造思想、數形結合思想、函數與方程思想. 特別需要說明的是數學思想與數學方法是兩個不同的概念,數學方法是指從數學角度發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的過程中所采取的各種方式、手段與技巧等,數學方法包括代換、消元、放縮等.突出基本數學思想,引導學生關注數學通性通法,淡化特殊技巧,追求數學教學的長期利益,培養學生養成用數學通性通法思考和解決問題的好習慣,這才是培養學生數學素養的正道(如圖3).

圖3 數學思想的內涵、分類與功能

2023年全國乙卷突出基本數學思想,關注通性通法的試題很多,如理科填空壓軸第16題將含參函數單調性問題轉化與化歸為恒成立問題,文科第20題壓軸第(2)問對參數的分類討論,并且多次構造輔助函數,理科第10題需要數形結合,文科第8題將零點問題視為函數與方程問題等.

本題在考查幾何概型基本計算的同時,對數學思想提出了更高的要求. 如果學生不運用數形結合思想畫出如圖4所示的圖形,則很容易漏掉第三象限的陰影部分,從而錯選A.

圖4

因此數形結合思想是解決該類問題的通性通法,關注通性通法可以減少很多不必要的失誤.

2.3 創設自然真實情境,探索命題創新

2014年9月,國務院頒布的《關于深化考試招生制度改革的實施意見》啟動了我國恢復高考歷史以來最徹底的高考改革,為了落實《實施意見》精神,原教育部考試中心組織研制了《中國高考評價體系》,該體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分組成,分別回答了高考數學“為什么考”“考什么”“怎么考”三個重大問題,并且明確指出高考數學試題考查的載體是情境.數學情境是指真實的數學問題背景,是以問題或任務為中心構成的活動場域[5].數學情境一般包括現實情境、純數學情境和科學情境.然而具體到高考數學中,則主要包括:課程學習情境,社會主義建設成果情境,數學名著、名題、數學家故事和著名建筑情境,體音美勞情境,個人、社會生活和科學實踐情境,這些試題情境在育智和育人方面發揮著重要作用(如圖5)[6-7]. 高考數學命題創新的主要方向之一,就是在《中國高考評價體系》的指導下實現情境類試題命制的深刻轉變,構建數學情境類試題的命制標準. 由于全國數學乙卷主要面對我國中西部和經濟、教育等相對薄弱地區,為了體現高考公平、公正的特征,2023年全國乙卷數學試題以課程學習情境和生活生產中的自然真實情境為主,在選取素材上,控制文字數量和閱讀理解難度;在需要抽象數學問題時,設置適合學生的抽象程度;在解決問題時,控制試題的運算量,力求使情境化試題既達到高考要求又與考生認知水平、所處環境相貼切.

例3(1)(全國乙卷理科第7題)甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有( )

A.30種 B. 60種 C. 120種 D. 240種

(2)(全國乙卷文科第9題)某學校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為( )

上述兩道試題分別以學生選取課外讀物和學校舉行作文比賽為背景情境命制,分別考查了分步計算原理和古典概型的計算,試題表達簡潔,計算量小,試題情境源于學生在學校生活中的真實情境,學生在解決此類問題時也會倍感親切,便于考生數學水平的正常發揮.

2.4 重視數學關鍵能力,實現人才選拔

新時代高考數學試題的命制理念是以價值引領、素養導向、能力為重、知識為基,關鍵能力是高考重要的考核目標,也是測試和評價的核心指標和因素. 數學關鍵能力是指即將進入更高層次學校的學習者,在面對與數學學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時,能有效地提出問題、認識問題、分析問題和解決問題所必備的數學能力.[8]能力的范疇比較寬泛,中國高考在貫徹新一輪教育改革的理念、借鑒國外能力考查的經驗和國內高中教育的實際情況,重點選取了閱讀理解能力、信息整理能力、應用寫作能力、語言表達能力、批判性思維能力、辯證思維能力這六種關鍵能力進行考查. 其中數學關鍵能力主要包括五種:邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應用實踐能力和創新能力(如圖6),前四項具有明顯的數學學科特征,是高中生學習數學必須具備的關鍵能力,創新能力符合高考服務選才的要求,體現了國家教育發展的意志[8].以關鍵能力為重的高考數學評價體系,可以緩解學生對數學知識的死記硬背,強化對知識的理解與靈活運用,減少學生大量的機械刷題,減輕學生負擔,促進“雙減”政策的落實,著重提升學生的思辨意識、創新能力和數學核心素養,從而實現人才的選拔[9].2023年全國數學乙卷在關鍵能力的考查方面很全面,如理科第10題綜合數列和三角考查學生的邏輯思維能力,文理科第17題求平均數和方差,直接考查了運算求解能力,文科第16題以外接球為載體直接考查了空間想象能力,理科第11題和文科第12題通過設問的適度開放考查學生的創新能力.然而,對學生數學關鍵能力的考查也呈現其綜合性的特征,即某道試題不一定僅考查學生一種關鍵能力,更多的是將幾種數學關鍵能力綜合考查,如理科第21題等.

(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(3)若f(x)在(0,+∞)存在極值,求a的取值范圍.

此道壓軸題第(1)問通過求切線方程,考查了基本的運算求解能力,第(2)問考查了對函數奇偶性的靈活應用能力,第(3)問已知含參函數的極值探索參數的范圍,考查了邏輯思維能力和創新能力,本題綜合考查了四種數學關鍵能力,區分度明顯,實現了人才選拔.

2.5 打破試題套路,有效引導教學

學生的數學成績無疑受試題的難度和分布順序等因素的影響,在以前的高考數學中,特別是每道解答題的考試內容和難易程度都是相對固定的,通常來說六道解答題的內容順序是:解三角形或數列、立體幾何、概率統計、圓錐曲線、導數、選考(極坐標參數方程或不等式),試題的難度順序是:前三道試題和最后的選考簡單;圓錐曲線試題第一問簡單,第二問難度中等偏上,是次壓軸點;導數試題第一問簡單或中等,第二問難度較大,是真正的壓軸點.這種試題固化的局面很容易造成高考考什么教師就只教什么、學生也就只學什么的機械學習態勢,扼殺了學生數學學習興趣、數學批判思維和創造性思維能力的發展,不利于國家選才和中華民族偉大復興.所以2023年2月教育部組織剛參加新高考的四省(安徽、黑龍江、吉林、云南)高考前適應性考試,其數學試卷解答題的順序是立體幾何、三角函數、數列、概率統計、圓錐曲線和導數,完全打破了試題套路.2023年的全國數學乙卷更是如此,不僅在解答題方面把概率統計放在了第一題,而且打破了從2019年開始的“第四題效應”,即從2019年開始全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷或全國甲、乙卷在第四題左右都會命制一道難度稍大、背景新穎、文字較長的選擇題. 在考查內容與解題方法上,2023年全國乙卷也打破了固有套路,如理科第9、19題求線面角和二面角時,教師常教的、學生熟悉的建系、利用空間向量的解答套路失去了應有的效果. 這種從試題順序與解法等多方面打破試題套路和固化的現象,不僅有利于培養學生良好的心理素質和堅毅頑強的意志品質,而且引導教學要重視對數學本質的理解,而不是采取猜題、押題和疲勞刷題的高三復習教學模式[10-11].

圖7

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

3 教學啟示

綜上所述,2023年全國乙卷數學試題在內容上關注對基本概念和基本思想的考查,在命題創新上轉變關注真實情境、打破固有試題順序與解法套路,在區分度上注重關鍵能力的考查,全國乙卷文理科兩套試卷既有創新,又保持穩定,試題難度相對于2022年有所降低,理科試題降低幅度很小. 這在引導數學教學上給我們帶來如下啟示:

(1)注重教材中數學概念的生成過程,突出數學本質. 數學概念教學要避免“一個概念、兩點注意、三個例題、大量練習”式的淺層接受式教學,要引導學生充分經歷知識的生成過程,理解數學基本原理、思想和本質,努力實踐發展學生高階思維的深度教學[12].

(2)揭示數學解題的思維歷程,減少機械刷題. 數學學習不做題是不可能的,但是大量刷題是低效和不可取的,如今“三輪復習”是最常見的高三數學復習模式,即一輪復習夯實所有基本知識與基本技能,構建知識網絡;二輪復習開展疑難專題突破;三輪復習進行高考模擬訓練.每輪復習的題量要適合班級學生學情,減少模仿、機械刷題,安排適量的練習題. 那么如何通過適量的練習來提高學生的數學成績呢?陜西師范大學羅增儒教授的經驗值得借鑒:揭示典型問題的解題思維歷程,從有限道題目中獲取解決無限道題的智慧[13].

(3)重視數學探究,培養數學關鍵能力. 重視合作、交流與探究是培養學生數學關鍵能力的核心手段.開展探究教學時,教師要在數學思維層面上下功夫,即學生在面臨困惑時,及時在思路的卡殼點引導,并鼓勵學生對問題進行反復、頑強的思考,探究離不開合作,但也少不了獨立思考,應該將兩者有機的融合起來,以構成探究學習的核心要素和提升數學思維品質.當然,數學教學不必為了探究而探究,要避免表面的熱鬧掩蓋學生認知的膚淺和思維的貧乏現象[14-15].

(4)滲透基本數學思想,關注通性通法. 關于基本數學思想和數學通性通法,日本著名數學家米山國藏的理念在中國數學教育界廣為流傳:學生在學校學習的數學知識在畢業后很快就會忘記,但數學的思想、思考方式和精神卻受益終身. 所以教師在教學中要有意識地和潛移默化地滲透基本數學思想,關注通性通法,這不僅僅是高考備考的需要,更是學生將來適應社會、為人處世和終生發展的需要.

(5)創設真實和跨學科問題情境,培養創新能力. 數學情境不僅是高考命題的載體,也是廣大教師日常通過問題驅動引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題和構建新知的載體,更是激發學生數學學習的內驅力、培養創新能力和實現數學育人的載體. 我們的建議是努力創設貼切學生學習和生活的真實情境,因為千教萬教教人求真,大膽創新創設跨學科問題情境,培養學生的創新能力和綜合運用能力.