數學建模思想在概率論與數理統計課程教學改革中的應用

漢 巍

(蘭州工商學院 大學數學教學部,甘肅 蘭州 730101)

在高等教育由大眾化教育跨向普及化教育的當前階段,各學科培養目標悄然發生著變化。習近平總書記在2018年9月10日全國教育大會上強調,要在增強綜合素質上下功夫,教育引導學生培養綜合能力,培養創新思維。由此2020年開始的新文科、新工科、新醫科、新農科的建設又在另一方面推動著各學科的改革。作為大學教育中處于通識教育的數學類課程的教學自然無可避免的應做出相應的改變。誠然,作為數學課程由于知識間的邏輯關系,其知識體系、教學內容不可能有較大的改變。但其教學理念和培養的能力都要相應的做出改變。

1 課程教學理念的改變

隨著高等教育由大眾化向普及化過渡,帶來的是學生學習自主性與主動性的一定程度的下降,因此如何更好使學生融入到課堂中來,尤其是讓文科生不產生畏難情緒的融入的數學課堂中來,就成為當前教學思想中最重要的改變點。應對這樣的改變,以往的以教師為中心組織課堂傳授知識的教學思想已經無法讓學習主動性不夠強且進入大學后缺乏高考壓力的學生進入學習狀態。這樣的教學環境下教學的好壞已經不能靠教師的講授水平的高低來決定。因此,必須充分地在現有的教學環境下考慮學生的因素,將學生的情況納入進來,在課程設計的過程中更多的加入吸引學生學習興趣,提升學生學習主動性的內容,將以教師為中心的教學思想轉變為以學生為中心的教學思想。

2 課程培養能力的改變

隨著高等教育由大眾化向普及化過渡,帶來的是專業由原有的專到現有的泛。多個專業采用同一種基礎性課程,這就要求培養出的人才應在更大范圍內甚至于跨專業具備解決問題的能力,具備綜合利用所學知識解決現實問題的能力[1]。這樣無疑將人才知識應用的能力的培養要求提升了一個檔次。這種能力的培養不能僅靠大三、大四這兩年專業知識的學習,或者可以斷言僅有這兩年的培養完全無法做到,這種能力應由更基礎性的學習階段培養起并貫穿大學學習的整個階段。即這種能力的培養應由基礎課等課程形成相應的萌芽,發展成一種思維模式,并在大三大四的專業課程的學習中應用該思維模式,邊學習邊應用,最終在大四畢業論文與畢業設計中綜合化的體現出來。這就要求處于基礎課程中的數學課程必須承擔起這種能力的培養。

3 行之有效的教學模式及切入點

數學課程在面對當前的改變時,現有教學模式中最為有效的應屬李江霞介紹的美國伍斯特理工學院在上世紀七十年代提出的“以學生為中心,以項目為驅動力,以結果為導向”的教學模式[2]。該教學模式認為應該把學生學習科學技術、生產管理思想的責任從教師身上轉移到學生身上,讓學生參與到實際的項目中去,在相應項目進行過程中了解數學、物理學、經濟學、管理學的知識的作用進而學習相關知識,這樣將極大的促進學生學習動力的激發。該教學模式在以上述教學理念下將學生的學習過程轉化為以小組為單位,以具體的生活或工程問題為研究項目,通過研究項目完成對所學知識的整合,并在實踐中發揮學生的潛力,提高學生的綜合素質和能力,最后通過項目的結果對相關學習情況進行檢驗。上述教學理念在該校實施后,該校在2011年被評為全美學生優先考慮的前十的工程院校之一。

雖然該教學模式是一套涵蓋了本科教學全過程的教學模式,但其對課程改造的思路完全契合了當下課程發展的要求,其對教學的改造的方式方法可以充分借鑒下來,即以實際問題解決作為課堂教學的結果,以學生主動探求解決實際問題所需的知識作為課堂教學的驅動力,以學生主動求知、教師進行引導與提供知識為課堂教學的主旨思想。由上可形成如下的教學改革思路:即在教學伊始,將實際問題呈現在學生面前,教師引導并輔助學生將復雜問題拆解成具體簡單的問題,由學生對照自身知識體系尋找解決問題所需要的知識欠缺點,由教師提供知識,由學生將教師提供的知識在解決具體問題的過程中內化為自身的能力,在不斷解決問題的過程中逐步構建起相應學科的知識體系,最終以實際問題的解決達成對學生能力的培養。

面對如上的教學方式改革,對于數學課程而言,將數學建模思想與方法融入到教學過程中將是一種切實有效的途徑[3]。數學建模是根據實際問題抽象出數學模型,通過數學模型的求解解決實際問題的一個過程。數學建模的整個過程就是將一個具體問題細化分解,再將細化分解后的問題利用數學知識解決,并通過各個小問題的解決實現整體問題的求解。這當中問題的從小到大進行解決的過程實現了知識體系的建構。上述過程體現了從實際問題出發結合所學知識解決實際問題的過程[4]。通過這數學建模思想與方法融入教學可以直觀地讓學生體會到知識應用的方式方法,可以有效的達成能力的培養。

4 數學建模思想融入教學的著力點

將上述教學模式和教學思想融入日常教學必須建立在對于課程教學的改造上,那么選擇一門合適的課程可以達到事半功倍的效果。在大學階段所教授的三門基礎的數學課程——微積分(高等數學)、線性代數、概率論與數理統計中,筆者認為概率論與數理統計課程是一個較為恰當的選擇。之所以選擇概率統計課程作為數學建模思想融入教學的首選目標,有著以下的原因。首先,雖然數學課程均是從實際中來,但就當前的教學狀況來看,微積分需要引入極限這一思維方式,為各門課程打下基礎,其作用更多的體現在工具性的一面上;而線性代數由于其代數學分支所帶來的高度抽象化、離散化的原因,其知識體系高度抽象化,將實際問題轉換成線性代數所解決的問題需要一定的抽象化過程,導致無法比較直觀的展現出對于實際問題的解決過程。因此該兩門課程不是數學建模思想融入課堂的良好選擇,但可在課程中在針對適當的內容融入相關思想,如極值、方程求解的內容。其次,概率統計課程的誕生是來源于對于賭博這一實際問題的研究,而其后的隨機變量、數字特征等概念也是為了解決數據量較大條件下對隨機量刻畫的問題,進而通過概率融合入統計學誕生了數理統計學,可見概率統計課程體系恰好體現著概率統計發展的整個過程,每一階段都可以視作某一實際問題的解答過程。因此,概率統計課程自然成為了一種比較恰當的選擇。

5 當前概率統計課程中數學建模思想的體現

在現有的概率統計教學中數學建模思想并非沒有體現,但其體現非常稀少,僅僅在部分例題中出現一鱗半爪?，F有教學的內容更多的還是在數學內容推導這個范疇內進行,從概念的引入到相關性質的推導,再到相關概念的簡單應用。這樣的教學方式從數學教學的角度而言沒有問題,但如果引導不到位,經常會出現為了概念而概念的現象。學生學習時也僅是了解相關概念,進一步理解概念的性質,熟悉相關的應用。而這個應用也僅僅局限在這個概念本身上,缺乏前后聯系。學生沒有一個大的目的性作為驅動,往往造成的結果是學生學習到的知識是片面的,是就事論事的。這樣的后果就意味著學生培養起的能力往往是微觀化的,無法在復雜的實際問題中找到解決問題的線索,無法應用所學知識。而從學生學習體驗而言隨著學習的深入,前面的知識無法通過應用內化為自身知識基礎,導致無法為后續知識提供基礎,造成學習難度加大,學習效果不佳,學習挫敗感較強,甚至出現無法理解所學知識的情況,進而放棄學習。

6 將數學建模思想融入概率統計課程的相關實踐

對于數學建模思想融入概率統計課程,筆者進行了以下改革:

改革的總體思想為從實際問題入手,將實際問題拆解為一個又一個的小問題,分散在每一節課程的學習中,以問題解決為指引,推動學生思考與學習,最終在課程結束時解決總問題。

具體而言,即在課程開始將實際問題呈現在學生面前,如筆者提供的問題為公交車車門設計問題。即如何給出合適的高度既能保證絕大多數乘客進出車門不碰頭,又保證材料最省。

在課程的第一節提出該問題后,分析車輛設計優化的兩難問題即為了讓所有人在通過車門時不受到阻礙而造成的車輛車頂過高,造成所需材料增加,而讓車門變得低矮可以讓車輛所需材料減少但乘客舒適度會降低。因此既要保證乘客的乘車舒適度又要兼顧車輛的成本,就將問題轉化為如何確定車門高度讓大多數乘客進出車門時不用低頭的問題。在概率統計課程的教學中,首先,從最簡單的問題入手,即討論身高在一定區間內的單個及多個乘客在給定高度下不低頭的可能性。這樣通過乘車人的身高的無法預測性引出概率課程研究的對象-隨機現象,進而展開對于隨機事件的討論。接著通過討論乘客身高區間與車門高度區間的比較的可能性問題引出概率及概率的計算。在完成相關教學后,討論乘客攜帶兒童進入車輛,分成抱小孩與領小孩兩種情況,引出事件間的關系分成有影響的條件概率與無影響的獨立性進行說明。以上可以完成概率論第一章的教學。完成教學后解決相關問題。對是否碰頭給出初步解決。該部分的邏輯如圖1所示。

在解決了第一個問題后,對第一個問題做遞進式討論,即討論身高不確定條件下乘客在給定高度條件下不碰頭的可能性。由于身高不確定,因此需要設定變量進行討論,并討論該變量所附帶的變化規律。由此引出身高這個變量對應的隨機變量這一問題,進一步分成單個人的身高、多個人的身高,身高在一定范圍內多個人的整體身高的情況進行討論,引出一維連續性隨機變量、多維隨機變量,一維離散型隨機變量的概念。之后討論如何確定身高的規律。通過討論規律的形式、規律中關鍵參數的來源、規律中參數的確定、確定參數后正確與否的檢驗引出常見分布、期望與方差、參數估計、假設檢驗的內容。完成這些內容后解決遞進問題的回答,讓學生形成一套討論問題的流程。該部分的邏輯如圖2所示。

圖2 身高不確定條件下乘客在給定高度下不碰頭的可能性問題拆解流程圖

最終將問題明確為確定車門高度使得乘客進出車門時不碰頭的概率在90%以上,利用上一個問題的解決,由學生形成最終的解決方案,達到復習本門課程的目的。

在一學期的教學后,試驗班成績與全校平均成績的對比情況如表1所示。

表1 實驗班成績與全校評卷成績對比表

由以上數據可見該種教學方式較好的引發了學生學習的積極性,大部分學生可以較好的掌握知識,卷面成績較高。雖然教學情況較好,但實驗教學過程中仍有以下問題出現:雖然以問題的方式引發了學生的學習興趣,但相關知識仍需要教師講授,無法充分發揮學生的自主性,未讓讓學生自行探索,學生仍處于被動接受狀態,教學效果仍不甚理想。

針對該情況筆者有如下設想:充分利用現有網絡資源和線上優秀課程庫。將學生分成小組,利用翻轉課堂教學法,教師在第一節課將總問題進行拆解,形成相應的每一節的問題,學生利用課下時間學習相關知識,在課堂中與教師共同討論匯報學習成果并解決該節相關問題,于課程結束時形成相關論文。這樣的教學方式可以充分鍛煉學生應用知識的能力,也更貼近實際問題解決的場景,但以上方式與傳統教學模式差距較大,且需要學生有較為主動學習的能力,在有較好學習基礎的學生中可以使用該方法,應有較為良好的效果。

7 結語

在當前的教育環境下,必須堅持“以學生為中心”的教學理念,應將課程轉化成“以項目為驅動力,以結果為導向”的問題化教學形式。數學建模思想與方法融入當前數學課程教學是一種切實有效的途徑,能直觀有效的達成應用能力的培養。