考慮齒距累積誤差的圓柱齒輪動態磨損分析

皇甫一樊，董興建，彭志科，劉 冰，龍新華

（1.上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.上海航天控制技術研究所 上海 201109）

引言

齒輪傳動系統在工業中的應用非常廣泛，齒輪傳動的嚙合及動力學特性關系到整臺設備的平穩性和可靠性。工程中大量存在的制造、安裝誤差會引起齒面接觸狀態的改變，從而影響齒面損傷（如剝落［1］、磨損［2］和膠合）的發展，進一步影響齒輪系統的動力學行為。大量研究聚焦于制造誤差或齒面損傷對齒輪的嚙合特性和響應特性的影響規律。

齒距累積誤差是一種常見的齒輪制造誤差，國內外許多學者分析了齒距誤差對系統動態特性的影響［3-7］。王奇斌等［5］研究了齒距偏差對直齒輪轉子系統動力學特性的影響，結果表明齒距偏差會使嚙合頻率附近出現邊帶頻?；谳嘄X承載接觸分析方法，Yuan 等［6］建立了考慮齒距累積誤差的斜齒輪動力學模型，并將其推廣到人字齒輪［7］。

在齒輪運轉過程中，齒面不可避免地發生磨損。對于磨損的研究主要可以分為準靜態假設［8-9］和動態假設［10-12］?；贏rchard 磨損模型，張俊等［8］建立了準靜態條件下的直齒輪副磨損預測模型，并研究了不對中和扭矩對磨損量的影響。Ding 等［10］將齒輪動力學模型與Archard 磨損模型進行耦合，建立了動態磨損預測模型，揭示了磨損與動力學行為之間的相互作用。Feng 等［11］建立了一種改進的齒輪副動態磨損預測模型，并利用實驗驗證了磨損預測模型的有效性。

從上述文獻可以看出，現有的磨損模型忽略了齒間磨損的不均勻性，認為各個輪齒上的磨損量是相同的。然而對于實際的齒輪副，齒距累積誤差的存在會改變齒間載荷分配，從而引發齒間磨損的不均勻性。由于缺乏相應的理論與模型支撐，目前尚無文獻將考慮齒距誤差的動力學模型與磨損模型相結合，定量分析齒距誤差對磨損均勻性的影響。針對上述問題，本文提出了一種考慮齒距誤差的齒輪副動態磨損預測模型，并分析主/從動輪齒數與磨損分布之間的內在規律。

1 考慮齒距誤差的動態磨損模型

1.1 考慮齒距累積誤差的載荷分配算法

由于加工誤差的存在，實際齒廓面往往會偏離理論漸開線齒廓面，造成嚙合齒對提前或推遲參與嚙合。齒距累積誤差示意圖如圖1 所示，Pt為理論齒距，fpt為齒距誤差，Fpk為第k個輪齒對應的齒距累積誤差。齒距誤差大于零表示實際齒厚大于理論齒厚，反之表示實際齒厚小于理論齒厚。

圖1 齒距累積誤差示意圖Fig.1 Schematic of cumulative pitch errors

輪齒承載接觸分析（LTCA）方法兼顧了精度和求解效率［6，13］，并且能有效考慮各種形式的齒廓誤差，因此本文采用LTCA 方法獲取含齒廓偏差的齒輪副載荷分配。LTCA 方法的核心思想是將齒輪嚙合過程中的整體變形與接觸變形分離。接觸變形采用解析公式計算以提升計算效率，整體變形采用有限元法計算。

為了提升程序的通用性和計算效率，本文的有限元計算過程均在MATLAB 環境中實現。在MATLAB 中構建的有限元網格如圖2 所示。

圖2 LTCA 所使用的有限元模型Fig.2 Finite element model adopted in LTCA

LTCA 方法計算的是齒面法向位移，因此需要將齒距累積誤差轉化到齒面法向：

式中αt為端面壓力角；βb為基圓螺旋角。

整體柔度矩陣可以表示為：

式中 下標i和j分別表示在j點施加單位力，在i點提取位移；上標p 和g 分別代表主動輪和從動輪；n表示潛在接觸點數目。

局部接觸柔度矩陣為：

式中Fi為第i個潛在接觸點的接觸力；E和L分別為彈性模量和齒寬。

輪齒承載接觸分析迭代方程為［13］：

式中Fn為法向接觸力向量，即齒面的載荷分配信息；δs為靜態傳遞誤差；Fs=T/rb1，表示靜態嚙合力，其中T和rb1分別為輸入扭矩和主動輪基圓半徑；ε為齒廓偏差向量，該向量中應當包含輪齒分離距離［13］、輪齒修形量和齒距累積誤差量，I 為所有元素均為1 的向量，下標表示向量的維度。

求解式（4）所示的非線性方程，獲得齒面載荷分配力Fn和靜態傳遞誤差δs。齒輪副的嚙合剛度的表達式為：

式中e表示空載傳遞誤差。

1.2 考慮齒距誤差的齒輪轉子系統動力學模型

輸入軸和輸出軸之間通過嚙合單元來模擬齒輪副嚙合關系，如圖3 所示?？紤]彎曲、扭轉和軸向自由度，建立齒輪嚙合單元，其廣義坐標為：

圖3 齒輪轉子動力學模型Fig.3 Rotor dynamic model of gears

利用投影向量Vm將齒輪位移投影到嚙合線方向［14］：

式中ψ表示嚙合平面與y軸的夾角（如圖3 所示）；rb2表示從動輪基圓半徑。齒輪嚙合單元的單元剛度矩陣為［15］：

采用Timoshenko 梁單元模擬軸的柔性，傳動軸兩端的軸承支撐采用線性彈簧來模擬。組集嚙合單元、梁單元和軸承單元，形成整體剛度矩陣。齒輪轉子系統的整體動力學方程為［16］：

式中M，C，G和K分別表示質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；F為外載荷向量；X為位移列陣。本模型中的阻尼采用比例阻尼形式。

動態嚙合力可以表示為：

式中δ為動態傳遞誤差。

對于傳統的齒輪轉子動力學分析，振動響應的變化周期一般為嚙合周期。但是由于齒距累積誤差的存在，應取一個追逐齒周期進行動力學分析：

式中Tm為齒輪的嚙合周期；lcm 函數表示取兩個數的最小公倍數；Nap為組合狀態系數，其值為兩個齒輪齒數的最大公約數；z1和z2分別為主動輪和從動輪的齒數；fht為追逐齒頻率，它表示主動輪和從動輪上兩個特定輪齒相遇一次的頻率：

式中fm為嚙合頻率。由追逐齒頻率的定義可知，當兩個齒輪齒數的最小公倍數較小，乃至齒輪齒數互質時，追逐齒頻率很低。除此之外，由齒間嚙合不均勻性還能衍生出組合狀態頻率：

1.3 基于Archard 磨損理論的磨損預測模型

利用Archard 磨損模型計算單次磨損造成的磨損深度為［12］：

式中vp和vg分別為主動輪和從動輪上嚙合點的滑移速度；aH為赫茲接觸區域半寬：

式中lsrs為LTCA 方法得到的靜態載荷分配系數；ρe和Ee分別為齒輪副的等效曲率半徑和等效彈性模量。

kw為考慮不同潤滑狀態下的磨損系數［10］：

式中λ為膜厚比：

式中Rrms為齒輪綜合表面粗糙度；hmin為最小油膜厚度［10］：

式中W，G和U分別為無量綱載荷參數、材料參數和速度參數。

kw0為邊界潤滑狀態下的磨損系數［17］：

式中S為無量綱粗糙度參數；H為齒面洛氏硬度。

為了考慮動力學和磨損之間的耦合關系，需要運用迭代的思路進行動態磨損仿真。為了提升計算效率，不需要對每個磨損周期進行載荷分配和動力學模型的求解，而是在累積磨損深度大于磨損更新閾值εw（本文取2 μm）后才更新齒廓。利用這一方法，可將全生命周期磨損過程劃分成若干個階段，每個階段內認為載荷分配和穩態振動響應是不變的。具體迭代流程如圖4 所示。

圖4 本文模型流程圖Fig.4 Flow chart of the proposed model

2 模型驗證

利用文獻［18］中的含齒距累積誤差的斜齒輪副動態傳遞誤差實驗結果驗證本文模型的有效性。為了方便與文獻中的實驗結果對比，采用與文獻中的實驗一致的齒廓偏差參數，所包含的齒廓偏差形式有：齒廓修形、齒向修形、齒距累積誤差和幾何偏心。齒輪副參數、齒廓偏差參數、軸段參數和軸承剛度參數詳見文獻［18］。

本文模型和實測的動態傳遞誤差頻譜對比如圖5 所示。從圖5 中可以看出，由齒距累積誤差所帶來的轉頻分量非常明顯，在嚙合頻率附近呈現出了非常明顯的邊頻帶。本文模型與文獻中的實驗所得的頻譜特征非常相似，說明了本文仿真模型的有效性。

圖5 動態傳遞誤差頻譜Fig.5 Frequency spectrum of the dynamic transmission error

3 結果分析與討論

3.1 嚙合特性分析

采用表1 所示的參數進行動態磨損仿真。主動軸和從動軸的直徑分別為60 mm 和100 mm。軸的長度為300 mm。軸承剛度如表2 所示，忽略軸承阻尼。

表1 齒輪副主要參數［19］Tab.1 Main paremeters of the gear pair［19］

表2 軸承剛度Tab.2 Bearing stiffness

主動輪和從動輪的齒距累積誤差采用文獻［19］中的實測結果，如圖6 所示。

圖6 齒距累積誤差Fig.6 Cumulative pitch errors

如圖7 所示為不同運轉次數下的主動輪齒寬中間面的累積磨損深度。節點位置由于其相對滑移速度為零，因此磨損量為零。在齒根和齒頂部位有較大的磨損量。隨著運轉次數的增大，由于齒根和齒頂部位發生嚴重磨損，該部位的接觸應力減小，磨損速率放緩。

圖7 不同運轉次數下的齒面磨損分布Fig.7 Wear distribution under different running times

不同情況下的時變嚙合剛度如圖8 所示。對于無齒距累積誤差的齒輪副，其每個嚙合周期內的嚙合剛度是相同的。齒距累積誤差的引入會造成每個嚙合周期內的嚙合剛度不同，在追逐齒周期內呈現整體波動趨勢。并且齒距誤差只影響雙齒區的嚙合剛度，單齒區的嚙合剛度與齒距累積誤差無關。在經歷400×106次運轉之后，單雙齒嚙合區之間的剛度變得平緩，并且雙齒區的長度發生了縮減，即齒輪副的重合度降低了。

圖8 時變嚙合剛度Fig.8 Time-varying mesh stiffness

3.2 振動特性分析

圖9 為運轉400×106次后的動態傳遞誤差頻譜圖。如果不考慮由齒距累積誤差所引發的嚙合不均勻性，磨損齒輪的頻譜中僅含有嚙合頻率成分?？紤]齒距累積誤差所得到的磨損齒輪頻譜包含了更為豐富的頻率成分。在低頻段可以觀察到明顯的追逐齒頻率和組合狀態頻率等成分，在嚙合頻率及其諧波附近也有邊帶頻調制現象。由于本例中齒數的特殊性，其追逐齒頻率fht等于從動軸旋轉頻率fs2，組合狀態頻率fap等于主動軸旋轉頻率fs1。

圖9 磨損齒輪動態傳遞誤差階次譜Fig.9 Order spectrum of the dynamic transmission error of the worn gear

不同磨損退化階段的動載系數如圖10 所示，動載系數定義為穩態振動周期內最大動態嚙合力與靜態嚙合力的比值。在早期磨損階段（磨合階段），磨損可以起到改善嚙合平穩性的作用，其主要原因是輕微磨損可以緩解單雙齒交替過程中的輪齒干涉，起到磨合與“被動修形”的作用。隨著運轉次數的增加，由磨損導致的嚙合間隙（空載傳遞誤差）越來越大，齒輪系統呈現出明顯的性能退化趨勢，振動量直線上升。盡管本文模型和傳統模型（不考慮齒距誤差）都能預測這一性能退化過程，但傳統模型會低估10%左右的動載系數。

圖10 不同運轉次數下的動載系數Fig.10 Dynamic factors under different running times

3.3 磨損不均勻性分析

傳統的磨損仿真分析建立在齒與齒之間載荷分配均勻的基礎上，因此所得到的各個齒上的磨損量相同。但是現實中，由于齒距累積誤差的存在，各個輪齒表面的磨損形貌往往是不同的。本文模型在考慮了齒距累積誤差之后，能有效地模擬齒間載荷不均勻導致的磨損不均勻性。本文模型所得到的磨損分布如圖11 所示，云圖的顏色表示各個輪齒上的齒根磨損深度。

圖11 不同齒上的磨損量Fig.11 Wear depth of different gear teeth

由于齒距累積誤差的存在，齒與齒之間的磨損量差距較大。主動輪的磨損量普遍大于從動輪磨的損量，這是由于在一個大周期內，主動輪參與嚙合的次數比從動輪多。定義磨損不均勻性系數為各齒磨損量的標準差與平均值之比：

式中hroot為各輪齒齒根部位磨損量組成的向量。

在不同磨損階段的齒根磨損深度和磨損不均勻性系數如圖12 所示。傳統模型所得到的齒根磨損深度僅在磨損初期與本文模型接近，隨著磨損退化過程的進行，本文模型與傳統模型的差異越來越大。兩種模型之間的差異與齒間磨損不均勻性密切相關。本文模型所預測的磨損不均勻性系數與動載系數的變化趨勢類似。早期磨損有助于緩解齒距誤差帶來的齒間載荷分配不均，但劇烈的磨損會惡化均載特性與接觸狀態，導致振動加劇乃至失效。

圖12 不同運轉次數下的齒根磨損深度和磨損不均勻性系數Fig.12 Wear depth of the tooth root and non-uniformity factors under different running times

為了研究不同齒數組合下的磨損分布特性，分別對表3 中給出的五組齒數組合進行磨損均勻性評估。定義追逐齒系數為：

表3 不同齒數組合Tab.3 Different designs of the tooth number

圖13 為主動輪磨損均勻性系數隨追逐齒系數的變化規律。從圖13 中可以看出，隨著追逐齒系數的增大，磨損不均勻性系數增大，即齒與齒之間的磨損量差異增大。對于齒輪副A，兩齒輪齒數互質，其磨損不均勻性系數最小。這是因為齒數互質時，主動輪和從動輪上兩個特定輪齒相遇一次的周期（追逐齒周期）最長。在追逐齒周期內，主動輪輪齒會與每個從動輪輪齒嚙合一遍。隨著嚙合過程的進行，齒與齒之間的磨損逐漸趨于均勻。兩齒輪齒數互質的設計被稱為追逐齒設計。相比于原設計（齒輪副D），追逐齒設計（齒輪副A）可以使磨損不均勻系數降低約30%。對于齒輪副E，主動輪的輪齒會永遠與從動輪的某個輪齒嚙合，這自然會引發某些特定輪齒的劇烈磨損。在齒輪的設計環節，應當充分考慮追逐齒問題以獲得更加均勻的磨損形式，降低齒輪局部失效的發生概率。

不同齒距累積誤差下的動載系數如圖14 所示。（圖6 中的齒距累積誤差定義為100%）。對于不同的齒距誤差情況，追逐齒設計均能有效地減小振動。當齒輪加工精度較高時（見圖14 中的20%齒距累積誤差），追逐齒設計與原設計在振動響應上的差距較小。由于傳動比和結構尺寸等因素的限制，工程中并非所有齒輪均能滿足追逐齒設計的要求。當齒輪的齒距累積誤差較小時，可適當放寬追逐齒設計這一要求。

4 結論

基于輪齒承載接觸分析方法、齒輪轉子動力學模型和Archard 磨損模型，提出了一種考慮齒距累積誤差的齒輪動態磨損預測模型。通過將仿真頻譜與文獻實驗進行對比驗證了模型的有效性?；谏鲜瞿Ｐ?，分析了齒距累積誤差對響應特性和磨損分布的影響，主要結論如下：

（1）齒距累積誤差會給嚙合剛度、傳遞誤差以及振動響應引入軸旋轉頻率、追逐齒頻率和組合狀態頻率等豐富的頻率成分。而傳統的動力學模型所得頻譜中一般只含有嚙合頻率成分。

（2）本文模型可以評估由于齒距累積誤差所導致的齒間磨損不均勻性，改進了傳統磨損模型中各輪齒磨損量相等這一理想化假設。輕微磨損有助于緩解齒間載荷分配不均，但劇烈的磨損會惡化均載特性，導致振動加劇。

（3）本文動態磨損模型可以建立追逐齒系數與磨損不均勻性系數之間的映射關系。采用追逐齒設計可以使磨損不均勻系數降低約30%。當齒距累積誤差較小時，可適當放寬追逐齒設計這一要求。