考慮信號傳遞路徑的行星齒輪傳動太陽輪裂紋故障響應分析

姚 俊，章翔峰，周建星，謝高敏，王燁鋒，解開泰

（新疆大學智能制造現代產業學院，新疆 烏魯木齊 830047）

引言

行星齒輪傳動系統具有安全性高、體積小、噪聲低、承載能力強等優點，在船舶、航空、風力發電等領域應用廣泛［1］。然而，行星齒輪傳動系統結構復雜，工作環境惡劣，導致設備故障幾率大大增加，其中故障信號的采集受路徑傳遞的影響，對故障早期診斷與預警造成極大干擾。因此，研究考慮信號傳遞路徑的行星齒輪傳動故障響應分析對系統故障診斷、預測，以及安全性評估具有重要意義。

國內外學者對行星齒輪傳動系統故障響應分析已進行了大量研究。在振動響應求解方面，賀朝霞等［2］引入了時變的嚙合剛度、綜合嚙合誤差激勵，建立時變的、多自由度耦合行星齒輪傳動系統動力學模型，求解行星齒輪傳動系統動態響應。黃奕宏等［3］推導了行星齒輪傳動系統振動信號數學模型，分析了嚙合頻率周圍調制邊帶產生的原因。許華超等［4］基于齒輪系統動力學推導出行星齒輪傳動系統的平移-扭轉耦合非線性振動微分方程，提出一種利用正弦激振掃頻模擬行星齒輪傳動系統內激勵，并通過求解傳動系統振動微分方程得到其響應的方法，從而量化評價各激勵對系統振動響應的影響程度。在裂紋故障的產生方面，張俊等［5］基于勢能法建立含齒根裂紋損傷的齒輪副嚙合剛度與傳動誤差計算模型，求解行星傳動系統的振動響應，揭示行星齒輪箱齒根早期裂紋損傷的故障機理。Han 等［6］分析了環齒輪裂紋故障對外嚙合齒輪副之間動載荷的分配影響；Yang 等［7］考慮了齒裂紋張開狀態對直齒圓柱齒輪副嚙合剛度和動態響應的影響，證明了齒圈裂紋故障很少影響外嚙合齒輪副之間的動態載荷分配。Zhang 等［8］分別采用集中質量模型和有限元模型對兩級行星齒輪傳動動態特性進行對比分析，研究了耦合-扭轉剛度、耦合-平動剛度對系統振動模式的影響。Wan 等［9］計算了含裂紋損傷齒輪副的嚙合剛度，并分析了裂紋損傷對齒輪-轉子系統振動特性的影響。Liang 等［10］建立了行星齒輪傳動系統動力學模型，分析了太陽輪出現裂紋時的時變嚙合剛度。故障分析方面，王鑫等［11］對比研究正常與耦合故障特征下的分岔特性，分析耦合故障引起的故障特征頻率。孟宗等［12］建立了行星傳動純扭轉模型，對太陽輪故障進行了固有特性分析。王子涵等［13］建立了剛柔耦合動力學模型，仿真分析了輪齒故障產生原因并模擬故障運行。

綜上所述，已有的研究主要集中在降低各種誤差對整體模型的影響，以及分析傳動系統中各種故障信號的特點，針對故障信號傳遞路徑的研究相對較少。齒圈作為行星齒輪傳動系統中的重要部件之一，承受多種激勵的共同作用，信號沿齒圈傳遞對系統振動響應的影響不容忽視，特別是出現太陽輪裂紋故障時，分析故障信號更為復雜。因此，研究考慮信號傳遞路徑的行星齒輪傳動系統太陽輪不同故障損傷程度的振動響應對故障診斷具有重要意義。

鑒于此，本文建立了行星齒輪傳動系統動力學模型，分析了內齒圈在太陽輪裂紋故障下受到的故障激勵作用，建立了考慮信號傳遞路徑時變效應的內齒圈有限元模型，求解內齒圈的振動響應，研究在傳遞路徑影響下，太陽輪裂紋故障振動響應的變化趨勢。

1 系統動力學模型構建

以SQI 公司生產的風力發電機組試驗臺行星齒輪變速箱作為研究對象，行星齒輪組由太陽輪、內齒圈、行星架以及4 個相同的行星輪沿圓周方向均布的2K-H 行星齒輪傳動系統構成，如圖1 所示。行星齒輪組具體參數如表1 所示。

表1 傳動系統參數Tab.1 Transmission system parameters

圖1 行星傳動系統模型Fig.1 Planetary drive system model

構建行星齒輪傳動系統動力學模型，如圖2 所示。太陽輪與行星輪、行星輪與內齒圈之間采用具有時變剛度的彈簧聯接，模擬嚙合單元的嚙合過程；內齒圈上均勻分布著8 個固定支撐，kr為支撐剛度；ks，kpi和kc分別表示太陽輪、行星輪和行星架的扭轉剛度；krpi，kspi分別表示行星輪與內齒圈、太陽輪與行星輪之間的時變嚙合剛度，其中i=1，2，3，4；θpi為不同行星輪的扭轉角微位移，其中i=1，2，3，4；θr，θc和θs分別表示內齒圈、行星架和太陽輪的扭轉角微位移；wpi和vpi分別表示不同行星輪沿中心線的徑向、切向微位移，其中i=1，2，3，4；ksθ，kcθ分別表示太陽輪與行星架的扭轉剛度；xs，xr和xc分別表示太陽輪、內齒圈和行星架的橫向微位移；ys，yr和yc分別表示太陽輪、內齒圈和行星架的縱向微位移。

建模過程中，不考慮模型的裝配誤差、齒側間隙、摩擦力等因素，內齒圈和行星輪的扭轉微位移和平移分解至兩者之間的嚙合線上，則沿嚙合方向的嚙合力計算如下：

式中φpi為第i個行星輪的相位角，αi為第i個行星輪與內齒圈的嚙合角（i=1，2，3，4）；Rr，Rpi分別為內齒圈基圓半徑、行星輪基圓半徑。

行星輪與內齒圈嚙合單元動力學微分方程如下：

式中Ir為內齒圈轉動慣量；mr為內齒圈質量；ηrpi為嚙合單元沿嚙合線彈性變形。則可簡寫為：

式中M為內齒圈質量陣；krp為嚙合單元時變剛度陣；kr為內齒 圈支撐 剛度陣；krθ為內齒 圈扭轉剛度陣；U為位移矢量。

2 故障剛度計算

研究太陽輪裂紋故障對行星齒輪傳動系統的影響，先確定裂紋故障主要引起嚙合剛度的哪些參數變化。當太陽輪齒齒根位置出現裂紋時，裂紋的深度、角度導致轉動慣量、故障截面積隨之變化，而彎曲剛度、剪切剛度的計算需考慮故障轉動慣量、故障截面積的影響，因此故障嚙合剛度計算公式為：

式中Kd為剪切剛度，Ke為彎曲剛度，Kg為徑向壓縮剛度，Kj為赫茲接觸剛度，Km為基體柔性剛度。

故障轉動慣量、故障截面積的計算公式為：

式中e為裂紋深度；gc為裂紋角度；hx，hc等參數見圖3。

圖3 齒裂紋示意圖Fig.3 Schematic diagram of tooth crack

輪齒齒根位置出現裂紋，齒輪轉動慣量以及故障截面積發生改變，輪齒模型具有更大柔性，因此嚙合剛度相對減小，且隨著裂紋深度不斷增加，嚙合剛度不斷降低，輪齒嚙合剛度隨裂紋深度變化如圖4所示。

圖4 輪齒嚙合剛度Fig.4 Gear tooth meshing stiffness

3 裂紋故障動載荷分析

在設定輸入轉速為600 r/min，負載為500 N·m的情況下對系統動力學模型進行仿真，并對比分析正常動載荷和裂紋動載荷兩種工況。

如圖5 所示，正常工況下，行星傳動系統具有對稱性，所提取的動載荷呈現周期性波動，正常工況下峰值為2173.21 N，谷值為2120.86 N，均值為2149.47 N，波動幅值為23.74 N，周期T=0.00457 s。相較于正常工況，故障工況下的動載荷時域依然呈現周期性波動，在太陽輪裂紋故障因素的影響下，提取的動載荷來自于四個行星輪與內齒圈的接觸，分別為接觸1，2，3，4。太陽輪故障齒與某一行星輪開始嚙合，齒輪之間嚙合動載荷受故障齒影響驟減，與此同時其余三個行星輪與太陽輪的嚙合動載荷受故障影響驟增，此時故障動載荷平均值為2145.61 N，太陽輪與行星輪動載荷的變化使行星輪與內齒圈動載荷隨之變化，太陽輪故障齒處依次與四個行星輪嚙合即為一個故障周期，即0.128 s。

圖5 不同工況動載荷時域圖對比Fig.5 Comparison of dynamic load time domain diagrams under different working conditions

由物理模型參數可計算得出太陽輪相對旋轉頻率為：

式中ns為太陽輪轉速；nc為行星架轉速。

由時域圖可知，隨著裂紋出現至不斷加深，太陽輪每旋轉1 周嚙合力驟減1 次、突增3 次，所以其傅里葉頻譜圖中除了嚙合頻率frp及其備頻nfrp（n=1，2，3，4）以外，還包括三種故障信號，其故障頻率分別為fsc=7.81 Hz，2fsc=15.62 Hz，3fsc=23.43 Hz（如圖6 所示）。從低頻帶放大圖中可以看到，低頻帶分別在fsc，2fsc，3fsc處出現明顯幅值波動，而4fsc處出現頻率耦合，幅值相對減小。對比淺裂紋、深裂紋故障工況與正常工況的頻域圖，故障導致自低頻段開始，每個故障周期出現明顯幅值增加，頻域圖出現大量邊頻帶，故障邊頻帶出現在nfsc處，而隨著裂紋深度的加深，低頻段的幅值也不斷增加。

圖6 不同工況動載荷傅里葉頻域圖對比Fig.6 Comparison of Fourier frequency domain diagrams of dynamic load under different working conditions

4 考慮傳遞路徑下的振動響應求解

考慮信號傳遞路徑時，信號應具備時變效應［14］，而時變效應的出現，是由于行星傳動系統中四個行星輪安裝于行星架固定位置，運行過程中，行星架除了自轉之外，同時帶動行星輪公轉，各行星輪與內齒圈的嚙合點與傳感器之間的距離隨時間周期性變化，引起了振動信號的調制，行星輪系振動信號頻譜中出現行星架轉頻成分的邊頻帶。因此，建立系統動力學模型作為未考慮傳遞路徑時變效應的對照組，提取行星輪與內齒圈之間接觸位置的動載荷信號，其接觸相對行星輪靜止，進行動載荷傅里葉頻譜分析，主要成分為嚙合頻率及其倍頻，無行星架運行振動傳遞路徑時變效應具備的行星架轉頻成分，繼續采集對照組模型內齒圈上兩支撐中間齒齒根位置的振動信號，此時信號采集位置固定，且滿足行星輪與內齒圈嚙合點與信號采集點距離隨時間周期性變化，采集的信號傅里葉頻譜成分仍為嚙合頻率及其倍頻。分析其原因，對照組模型中內齒圈為剛性模型，在不同位置的激勵同時作用下，內齒圈作為一個剛性整體同時振動，不能準確反映行星架信號傳遞路徑時變效應。為此，建立考慮傳遞路徑時變效應的柔性內齒圈有限元模型。

行星齒輪傳動系統各部件之間嚙合關系復雜，為簡化計算，同時保證計算結果的正確性，網格劃分如圖7（a）所示，加密接觸區的網格；按輪齒承載接觸分析（LTCA）等分動載荷，將某一齒上所受的動載荷12 等分，載荷施加位置如圖7 所示，通過將動載荷不斷施加于內齒圈上的接觸齒面實現等效行星輪與內齒圈嚙合過程。

圖7 有限元模型以及動載荷施加示意圖Fig.7 Finite element model and schematic diagram of dynamic load application

在嚙合激勵作用下的內齒圈動力學方程為：

式中M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；v為節點的位移向量；G為外載荷矩陣。

對有限元模型模態提取，選擇前50 階模態矩陣進行解耦，再采用Newmark-β 時間積分法對式（9）進行求解。

對考慮傳遞路徑的振動信號進行傅里葉頻譜分析，如圖8 所示，頻譜成分中嚙合頻率附近出現了以4n倍行星架轉頻fc為調制頻率的調制現象（n為正整數），且行星架轉頻的倍頻與嚙合頻率及其倍頻耦合。綜上所述，振動信號在傳遞路徑的影響下出現時變效應，驗證了所建立的有限元模型能有效反映信號在路徑中的傳遞規律。

圖8 振動響應傅里葉頻域圖Fig.8 Fourier frequency domain diagrams of vibration response

5 故障振動響應分析

傳感器安裝位置如圖9 所示。太陽輪故障傳遞路徑大致分為三種，太陽輪-太陽輪軸-箱體-傳感器為路徑一；太陽輪-行星輪-行星架-行星架軸-箱體-傳感器為路徑二；太陽輪-行星輪-內齒圈-傳感器為路徑三；根據路徑一、二的距離不會隨著故障嚙合位置的變化而變化的特點，傳感器固定時，故障信號經由路徑一、二傳遞不受嚙合位置變化的影響［15］。而路徑三具備隨嚙合位置變化傳遞距離也不斷變化的特點，可能的嚙合位置如圖10（a）～（d）所示［15］。

圖9 傳感器安裝位置示意圖Fig.9 Schematic diagram of sensor installation position

圖10 不同嚙合位置下的傳遞路徑變化示意圖Fig.10 Schematic diagram of transmission path changs at different meshing positions

振動響應的分析中，將最短傳遞路徑作為主要傳遞路徑考慮，行星輪與內齒圈嚙合位置位于內齒圈左側時，左側至傳感器距離最短；嚙合位置位于內齒圈右側時，右側至傳感器距離最短。

已知傳遞路徑距離隨太陽輪故障齒運行中依次與不同行星輪嚙合而不斷變化，由式（8）可求出當前轉速下的太陽輪相對行星架的旋轉頻率fsc，行星傳動系統結構為四行星輪對稱分布，則太陽輪上故障齒與相鄰兩行星輪嚙合時間間隔ts為：

式中N為行星輪個數。

引入太陽輪裂紋故障進行仿真，采集相同位置振動響應，已知四個不考慮加工誤差的行星輪均布在太陽輪四周，與太陽輪嚙合狀態相同，則太陽輪故障嚙合最小周期即為tg：

依據文獻［15］，仿真中設定四個行星輪不考慮制造誤差，因此最小故障周期tg是偽潮汐周期［14］，實際制造過程中存在誤差，最小故障周期為潮汐故障周期4tg。

當傳感器位置固定時，以太陽輪故障齒與某一行星輪嚙合過最短傳遞路徑（節點1）為初始位置，在與下一次嚙合過最短傳遞路徑（節點26）之間間隔時間tg內，故障齒還將與不同行星輪嚙合過25 次，傳遞路徑距離（用弧度表示）隨之變化，如圖10 所示。由圖10（e）可知，在傳遞過程中存在兩次傳遞距離達到最遠位置。

如圖11（a）所示，無故障工況下振動信號呈現周期響應，隨著行星輪不斷接近傳感器所在位置，振動不斷增大，當行星輪嚙合過傳感器以后，振動隨之減弱。由圖11（a）可知，無故障工況下最小振動響應周期為Tx=0.114 s，為1/4 的行星架轉動周期，時域波形始終在零點上下波動。引入太陽輪齒裂紋故障，對比故障時域包絡圖（圖11（b），（c））可知，太陽輪故障導致最小振動響應周期變為故障周期tg，故障周期tg約為7Tx。

圖11 振動信號時域圖Fig.11 Time domain diagrams of vibration signal

取相鄰兩支撐作為故障嚙合位置進行分析，將兩支撐中的12 齒分別編號，如圖12（a）所示。對比12 齒正常與故障工況的加速度均方值變化。當嚙合位置靠近支撐時，嚙合位置受故障影響最大，且隨著故障信號傳遞，兩支撐內各齒的加速度均方值均減小。當嚙合位置處于支撐中間時，受故障影響位置最大的仍為嚙合位置，其余各齒的加速度均方值仍減小。因此在故障信號傳遞至齒圈上后，在齒圈上兩支撐中間，故障振動信號對故障嚙合點的影響最大，并且沿著齒圈向周圍擴散，影響逐漸減小。

圖12 故障齒嚙合過相鄰兩支撐不同位置對均方值的影響分析Fig.12 Analysis of the influence of fault teeth meshing over two adjacent supports at different positions on the mean square value

動載荷分析中，已知當太陽輪故障齒與某一行星輪嚙合時，此行星輪與內齒圈接觸動載荷會出現驟減；同時，另三個行星輪與內齒圈接觸動載荷均出現驟增，分析仿真結果如圖13 所示。每次太陽輪故障齒與行星輪嚙合時，故障信號經由齒圈上不同嚙合點沿傳遞路徑傳遞至傳感器，時間間隔為ts，取單個故障周期tg內25 個故障嚙合位置的信號均方值，分析在傳遞路徑影響下，傳感器采集的故障信號變化規律。發現單個故障周期內信號均方值并不是隨著傳遞距離越近，信號減弱越嚴重；考慮傳遞路徑時，除了故障齒嚙合導致的振動信號傳遞之外，另三個行星輪嚙合傳遞的故障信號也被傳感器采集，導致采集的振動響應出現調制，故障振動響應出現了隨機增強或減弱。因此，每隔ts采集到的信號在故障振動響應影響下均會出現明顯波動，但波動趨勢并沒有隨著傳遞路徑距離變化而變化。

圖13 單個故障周期振動信號均方值對比圖Fig.13 Comparison chart of the mean square value of the vibration signal of a single fault cycle

如圖14 所示，太陽輪出現裂紋故障時，已知故障周期tg=0.8 s，故障傅里葉頻域圖低頻帶相比正常工況出現大量n倍故障頻率成分的波動幅值（n為正整數），在嚙合頻率附近出現了以故障頻率fg為間隔的邊頻帶，且隨著裂紋深度的增加，frp-nfg和frp+nfg的振幅也隨之增大。由于行星架轉頻的4 倍頻為故障頻率fg的整數倍，因此部分故障頻率邊頻帶與行星架轉頻的倍頻耦合。

圖14 振動信號傅里葉頻域圖Fig.14 Fourier frequency domain diagrams of vibration signal

低速運行時正常工況徑向位移如圖15所示，徑向位移幅值較小，則行星傳動系統運轉較為平穩。對比故障工況下的徑向位移圖可知，低速運行時故障振動幅值增大，太陽輪故障導致整個傳動系統穩定性降低，并且這種影響會隨著轉速的增加而相應增大。

圖15 不同轉速下的徑向位移幅值圖Fig.15 Diagram of radial displacement amplitude at different speeds

6 實驗信號驗證

采用SQI 公司生產的風力發電機組實驗臺進行實驗，實驗臺由磁粉制動器、二級定軸減速器、風電行星增速器和驅動電機組成，采集模塊為Dewesoft數據采集系統，采樣頻率為20000 Hz。如圖16所示。

圖16 故障信號采集實驗臺Fig.16 Fault signal acquisition experiment platform

采集的原始實驗數據如圖17 所示，原始振動信號時域成分中包含大量沖擊信號。對其進行頻譜分析，頻域成分中在嚙合頻率附近存在大量邊頻帶，行星架轉頻、嚙頻及嚙頻倍頻成分明顯，邊頻帶的成分難以區分，故障特征被噪聲掩蓋，因此，對原始故障信號進行特征提取。

圖17 故障實驗信號Fig.17 Fault test signal

Antoni 提出的快速譜峭度法（FSK），能準確反映強噪聲的振動信號瞬時沖擊成分［16］，具體信號處理流程如圖18 所示。

圖18 信號處理流程Fig.18 Signal processing flow

對實驗信號進行快速譜峭度分析，采用FSK 提取故障信號特征，結果如圖19 所示。

圖19 太陽輪裂紋故障實驗信號Fig.19 Experimental signal of crack fault of sun gear

分析實驗信號，由圖19已知實驗信號輸入轉速為174 r/min，由于實際制造中不可能制造出完全一致的四個行星輪，實驗信號應采用潮汐周期4tg作為故障周期，對應太陽輪故障仿真信號中故障頻率（1/4）fg，即fgs。因此，實驗信號中故障頻率間隔的邊頻帶frp±fgs對應仿真信號中frp±fg，驗證太陽輪裂紋故障仿真信號中故障頻率間隔的邊頻帶，其中實驗信號嚙合頻率的邊頻帶中fgs，6fgs和7fgs幾個成分較為明顯。

7 結論

以行星齒輪傳動系統為研究對象，針對太陽輪齒根裂紋故障情況，采用有限元法建立齒圈結構動力學分析模型，對比分析了考慮與未考慮傳遞路徑的齒圈振動響應，開展了試驗測試與仿真結果的對比分析，得出如下結論：

（1）僅考慮與太陽輪故障齒嚙合的行星輪的傳遞信號，在路徑中的傳遞隨距離增加呈現不斷衰減趨勢；當考慮所有行星輪的傳遞信號，故障信號出現調制現象，隨傳遞距離增加呈現衰減或增加趨勢。

（2）隨著太陽輪裂紋故障程度的加深，故障振動信號頻域邊頻帶中故障頻率的幅值不斷增加。

（3）隨著轉速的升高，內齒圈振動幅值受太陽輪裂紋故障影響隨之增大。低速工況下太陽輪故障引起齒圈振動幅值增大，導致行星傳動系統穩定性降低，并且這種影響會隨著轉速的升高而不斷增加。