開放大學公共數學課程改革實踐研究

常會敏，朱新順

（1.國家開放大學 應用數學學院，北京 100039；2.兵團開放大學 科研處，新疆維吾爾自治區 烏魯木齊 830001）

一、重要地位

眾所周知，大學公共數學教育是高校中受眾面最廣的公共基礎教育之一，在高等教育中發揮著至關重要的作用，對于培養學生和提高我國公民的數學素養意義重大。表現在以下幾方面：

（一）數學與國家發展息息相關

數學實力往往影響著國家的發展，世界強國必然是數學強國?，F代社會，尤其是大數據時代，對公民邏輯能力的要求明顯提高，越來越多的人們開始意識到數學的重要性。掃除“數學盲”，普及數學知識，滲透數學思想方法，培養用數學知識解決實際問題的能力，從而提高數學素養，是公共數學在高校應承擔的重要任務。

（二）公共數學是培養創新型人才的重要基礎

公共數學課程是理工科專業重要的必修基礎課，是很多專業的先導課，是學生學習后續專業課程的基礎。學生對公共數學課程的學習情況與掌握程度，直接影響他們今后專業課的學習效果[1]，由此可見該類課程的重要性。公共數學課程不僅成為許多理工科專業課程學習的“通用計算工具”，而且在專業課學習過程中發揮著重要的啟發思維作用。

通過公共數學課程的學習，能培養學生嚴謹的思維習慣、縝密的邏輯推理能力和復雜的數據計算能力，而這些恰恰是培養創新型人才的基礎。在此基礎上，激發學生的創新思維潛力，充分調動學生發現問題、分析問題和解決問題的主觀能動性，將學生培養成為合格的創新型人才。

二、現狀分析

目前公共數學的教學現狀不容樂觀，一方面受課時限制，很多專業都壓縮了公共數學課程的總學時，從而影響教學效果的發揮；另一方面學生抵觸數學課程，掛科率較高，產生畏難情緒，選專業時盡量避開有數學課程的專業，造成很多?？茖I為了吸引學生，將公共數學課程設置為選修課。顯然在以提高教育教學質量為指導思想下，這種做法是不可取的。究其根本原因，公共數學教學改革沒有跟上時代發展，主要表現在以下幾方面：

（一）教學內容不適應現代化需求

我國高等教育已進入了大眾化教育階段，學生數學基礎普遍降低，而當前的數學課程過于強調經典性，理論知識的嚴謹性，偏重課本知識的單純講授，對學生探究知識的方法、能力培養不夠，實踐教學環節薄弱[2]54。目前公共數學的大多數課程都沒有擺脫與專業課脫節的現狀[3]，單純理論知識的講授對學生來說沒有吸引力，甚至他們覺得學數學是沒有用的。另外，學生選課人數較多，例如開放大學系統在2019-2021年平均每年選公共數學課總人數為92 萬人左右（圖1），對課程的要求自然呈現多樣化。這對現有公共數學體系無疑是巨大的挑戰。

圖1 開放大學系統2019-2021年四門公共數學課程選課人數

（二）學生的學習心態與專業要求不一致

多數理工科專業要求學生有扎實的數學基礎和熟練的計算推導能力，在此基礎上，專業課學習才會得心應手。但許多學生沒有樹立正確的學習心態，有的學生認為公共數學“無足輕重”，專業課才是“重中之重”，以至于公共數學掌握的不扎實，專業課學習時感覺困難重重，結果是“一知半解”。有的學生對公共數學存在“畏難”心理，對學習公共數學課的學生來說，并不是覺得數學內容越嚴謹越好、知識越深奧越好，而是希望數學知識盡可能直觀易懂，配以簡單實用的例子，從而能夠盡快掌握相關知識，并了解其應用領域。尤其對于開放大學的學生來說，學習時間有限，工學矛盾突出，在有限的學習時間下，多以通過考試為目的。不少教師抓住學生的心理特點，通過讓學生“死記硬背”公式、“機械刷題”等方式，反復訓練學生解數學題，以應付最終的課程考試。另外，評價方式單一，唯“分數論”，考試題目多以復雜的計算證明為主，提高了學生通過考試的門檻，這與當前學生的需求不符。

（三）課程的育人理念有待完善

高校思想政治工作關系高校培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面[4]。因而課程思政理念越來越受到重視。公共數學課程受眾面廣，在這些課程中融入思政元素，就可以使得思政教育的效率更高、效果更好。然而現有數學課程在這方面的嘗試還有待進一步提升，很多老師覺得在課時不斷壓縮的情況下，課程內容還講不完，無暇落實課程思政。

三、公共數學課程改革探索

為了改變公共數學課程現狀，滿足學生的需求，我們有必要針對以上問題做出有益嘗試，以期能夠實現數學“育才”和“育人”的作用。

（一）有用易學，夠用為度

公共數學改革的主要方向應是“教師、教材、教法”，這直接關系到課程的育人成效，也是數學改革和建設的核心內容。

教師迫切要革新的就是教育教學理念，要本著“有用易學，夠用為度”的原則[5]，由重視數學理論的教學向重視數學應用能力的教學方向轉變。建議教師在數學教課過程中嘗試創新教學方法，從應用的角度出發，集趣味性、直觀性、啟發性為一體，以問題為導入，以數學思想方法為主線，以數學知識及其產生過程為平臺，以解決問題為目的，凸現整體框架，形成知識的整體結構。從而將枯燥問題趣味化，抽象問題直觀化，生疏問題生活化，理論問題實踐化，結論產生過程化，進而走出嚴密性，走向生動性教學[2]56。

現有教材則應淡化理論，增強實用性。結合典型案例，尤其是和學生專業相關的實戰案例，讓學生能夠感受到所學知識在實踐中的應用。在教材中嘗試推進分層法設置，即根據內容分為基本、應用和深化三個層次，為學生制定個性化學習方案?；緦哟蝺热莅ɑ靖拍?、基本理論、基本思想方法；應用層次內容主要是數學在解決專業問題中的應用，包括利用數學建模、數學軟件等工具輔助分析計算；深化層次內容則包括計算技巧、理論拓展與深化。不同層次的內容適合不同基礎水平的學生學習。

[教學案例1]

《微積分基礎》[6]第二章導數及其應用，通常是以速率和切線問題引入，學生并不能直觀理解。為了增加趣味性和直觀性，讓學生了解導數產生的背景和整體框架，可做如下教學改革。

（1）引言處增加導數產生的歷史，使學生了解知識產生的過程

在十六世紀末、十七世紀初的歐洲，文藝復興帶來了人們思維方式的轉變，對數學的研究也從常量開始進入變量的領域，這成為數學發展史上的一個轉折點。由于“變量”作為新的問題進入數學，對數學的研究方法提出了新的挑戰。

十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。

導數是微積分中重要的基礎概念，學完這一章，我們就可以解決上面提到的前三類問題。

（2）以拍照問題引入導數概念，增加知識的生動性和趣味性

既然微積分發展的最初靈感之一來自試圖去理解運動物體的速度、距離和時間的關系，我們先介紹一個有趣的日常拍照問題，來更好地理解導數的定義。

想象一下，你在給一輛正在行駛中的汽車拍照，曝光時間非常短，拍照圖像很清晰，令人滿意。如果現在問：拍照時汽車的速度有多快？

你可能會說只需要用經典公式

即可。但問題是拍照實質上是捕捉了一瞬間，這個時間和距離并不知道是多少，因此這個方法解決不了問題。

如果告訴你，拍照之后的1分鐘，汽車行駛了2km，這時你就可以用上面公式來計算，得到汽車速率是120km/h。問題又來了，你如何知道汽車在那一分鐘里的速率是一樣的呢？事實上，汽車行駛中速率應該是會經常變換的，因此通過上述公式算出來的結果并不精確，上式左邊應該稱為平均速率。

如果再告訴你，拍照之后的10 秒鐘，汽車行駛了0.3km，則可以繼續使用上面公式來計算，得到汽車速率是108km/h。雖然此時我們仍然不知道汽車在這段時間的開始時刻它的速率有多快，但不會和108km/h 差太多，因為畢竟這么短的時間里，汽車速率不會有太大的變化。

如果知道在拍照后的1 秒鐘汽車走了多遠，得到結果會更接近汽車在拍照時的速率，但這還不夠。時間如果能夠縮短到0.1、0.01，甚至0.001秒鐘，得到的結果會更理想。如果你感覺到我們是在取極限的話，那就對了。

（3）用符號和圖像定義導數，加深印象

假設汽車行駛的距離為S，時間為t，且S是t的函數S=S（t），汽車從拍照t0時刻再行駛一段較短的時間Δt，相應地，汽車在這段時間行駛的距離為

ΔS=S（t0+Δt）-S（t0）

用上面的經典公式可以求得時間Δt內的平均速率為

當時間間隔特別短，即Δt→0 時，上面求出的平均速率就是汽車在t0時刻的瞬時速率，即為

讓我們從更直觀的角度來解釋速率問題——圖像。

仍然假設S=S（t）代表汽車從0 到t時間內行駛的距離，讓我們來畫一下函數S=S（t）的圖像，并標注（t0，S（t0））和（t0+Δt，S（t0+Δt））兩點以及過這兩點的直線，如圖2。

圖2 函數S=S（t）的圖像和過圖像上兩點的直線

該直線的斜率可以表示為

從圖像中可以看出，當Δt→0 時，該直線越來越接近點（t0，S（t0））處的切線?？梢钥闯?，汽車在t0時刻的瞬時速率可以解釋為點（t0，S（t0））處切線的斜率。

（二）公共數學與專業課聯動

本著“突出應用性，與專業結合，為專業服務”的原則[7]，公共數學教材在內容的設置上應盡可能結合專業案例，努力從專業實踐中吸收素材，將數學中經典與現代知識銜接，讓公共基礎課與專業課聯動，使學生在理解基本概念的基礎上，掌握數學方法，突出數學思想，滲透數學文化，進一步加強對學生實操能力的培養。如學生數值計算、數據處理、數學建模等能力的培養，使學生會用數學軟件解決實際問題。

將公共數學與專業課聯動對教師的專業技能和授課能力提出了新的挑戰。教師在教學過程中要盡可能用學生所學專業中的背景知識引入數學概念，并將理論應用于分析、解決學生所學專業中的具體問題，讓學生體會到數學課對專業課的影響和作用。

發揮公共數學作為先修課程的銜接作用。公共數學通常是理工科專業的先修課程，而且是重要的必修課。在教學過程中，不僅應該體現公共數學課程的系統性和獨立性，而且應該挖掘公共數學課程與專業課程的關聯性，真正實現公共數學課與專業課學習的無縫連接，使學生從獨立學科學習模式轉變為融合式綜合學習模式。一方面，通過公共數學課程的學習努力培養學生的辯證思維、發散性思維和創造性思維，在專業課學習的過程中，學生通過多種思維方式理解和領悟專業課的重難點，對專業課學習有重要的促進作用。另一方面，在公共數學課的教學中引入專業應用，專業課為公共數學課提供了豐富的數學背景，通過專業課背景知識的介紹使學生對專業課與公共數學課的關系有初步的感性認識，然后提煉出其中的數學問題，引出關鍵數學知識點，并用數學方法完成問題求解，不僅降低了數學本身的抽象性和枯燥性，對公共數學重難點的消化和吸收也有很大幫助。因此，可以通過數學思維助力專業課學習，同時也可以借助專業課背景領悟公共數學理論，有效發揮公共數學在專業課程體系中的銜接作用，為專業課學習打下堅實的數學基礎。

[教學案例2]

《微積分基礎》第二章導數及其應用，在介紹應用舉例時，若能選取與工科學生專業背景相關的題目，則能使學生更容易理解相關數學知識，也能培養學生利用數學知識解決實際問題的能力，體會數學對專業課的影響，進而發揮公共數學課程與專業課的聯動性。下面以如何設計油罐，從而使用料最省為例。

例隨著工業的不斷發展，對發電機組功率的要求越來越大。發電機房內的日用油箱已不能夠維持發電機持續運轉。為了解決這一問題，設計師們通常會在建筑物附近設計圓柱形的地下油罐。假設現在要設計一個容量為1000L的圓柱形油罐，如何設計可以使得用料最??？

上面例子不僅是導數應用的一個題目，還是在工程上經常會遇到的一個實際問題，即在油罐容積固定的情況下，如何設計油罐，使得工程造價和材料消耗達到最低。如果能將與學生專業相關的問題放進公共數學教材，必將實現事半功倍的效果。

（三）融入課程思政，發揮學科育人作用

黨的十九大提出了“全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務”的要求。公共數學課程不能僅停留在知識傳授上，需要從全面育人的高度來認識課程的意義，發揮學科育人的作用。

數學是我們傳統文化中優秀的一部分，以課程思政為契機，可以結合數學發展、數學文化、哲學思想、美學思想等，在有趣的情境中對學生潛移默化地進行情感熏陶、文化滲透和價值傳遞[8]，既有效融入了課程思政，又提高了學生的數學素養。

課程思政寓價值觀引導于知識傳授和能力培養之中，對學生的思想政治教育發揮深化和拓展作用。從而讓學生在學習數學知識的同時，對其進行數學思政教育，提高學生的思政水平，教書的同時育人，正如陶行知所說：“千教萬教，教人求真，千學萬學，學做真人”。

公共數學作為理工科專業的公共課，選課人數多，覆蓋面大。通過深入挖掘公共數學課程中的思政元素，進行教學內容的重構，把握課堂的主渠道作用，可以有效發揮出思政育人的輻射作用。從公共數學課哲學思想的融入、社會主義核心價值觀的教育引領、愛國主義情懷的培養三個方面入手，深入挖掘公共數學課程中的思政元素，然后將思政元素與教學內容相結合。在結合方式上，不能生硬的“插入”，也不能簡單的“植入”或“拼接”，而是有機的“融入”，例如可以通過思政元素理解和學習公共數學課程內容，也可以通過公共數學課程內容領悟思政元素的內涵。自然地將課程思政元素融入課堂教學，將習近平新時代中國特色社會主義思想融入教學內容，堅持知識傳授與價值引領相結合的原則，潛移默化地將正確的價值追求和理想信念傳達給學生。不論通過哪種方式，都應力求自然和諧與潛移默化，使學生在公共數學的知識學習中，還能品出“思政味”。將知識育人和思政育人有機的結合起來，實現立德樹人潤物無聲。

[教學案例3]

《經濟數學基礎——概率論與數理統計》教材第一章“隨機事件與概率”[9]，為了使學生能夠較好地理解隨機事件與概率是研究如何度量偶然現象出現的可能性大小的問題，在“引子”部分，我們介紹“垃圾分類”，使學生學習專業數學知識的同時，樹立垃圾分類的環保意識。具體內容如下：

面對日益增長的垃圾產量和環境狀況惡化的局面，如何通過垃圾分類管理，最大限度地實現垃圾資源利用，減少垃圾處置的數量，改善生存環境狀態，是當前世界各國共同關注的迫切問題。2020 年5 月1 日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》正式實施.垃圾分類是對垃圾收集處置傳統方式的改革，是對垃圾進行有效處置的一種科學管理方法。實施垃圾分類，不僅可以使消費者樹立垃圾分類的環保意識，而且有效地發揮了垃圾分類回收利用的重要作用。

為響應國家提出的垃圾分類的號召，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四類，并分別設置了相應的垃圾箱.現想了解某市居民生活垃圾分類的情況，從而更有針對性地對居民進行生活垃圾分類的科普。隨機抽取了該市四類垃圾箱中共10000 噸生活垃圾，數據統計如表1所示：

表1 四類生活垃圾投放具體數量

你知道如何估計四類垃圾投放正確的概率嗎？

解通過已知條件，利用四類垃圾箱投放正確的頻率來估計概率，可得

“廚余垃圾”箱投放正確的概率約為

“可回收物”箱投放正確的概率約為

“有害垃圾”箱投放正確的概率約為

“其他垃圾”箱投放正確的概率約為

通過此次垃圾分類調查可以發現，該市“可回收物”箱投放正確的概率相對較低，建議加強對“可回收物”垃圾分類的科普，以幫助人們更正確地實現垃圾分類。同時可以自然融入思政元素，即宣傳垃圾分類的理念，呼吁人們做好垃圾分類，樹立環保意識。

四、總結

隨著人工智能和大數據時代的到來，數學在相關交叉學科的應用更加凸顯，高校對公共數學課程的重視也在不斷加強，公共數學改革的步伐一直在與時俱進。2017 年，教育部高等教育司發布《關于開展新工科研究與實踐的通知》，正式啟動“新工科研究與實踐”建設項目，此舉開啟了高等教育課程教學改革的新篇章。在此背景下，如何真正發揮公共數學課程對工科建設的支撐和聯動作用，是我們從事公共數學課程教學的教師應該思考的問題。

公共數學的改革應以“立德樹人”為根本出發點，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人?！暗掠秊橄?、能力為重、全面發展”的教育理念已經得到普遍認同，因而公共數學的改革應以培養學生應用數學知識解決實際問題的能力為目標，以“有用易學，夠用為度”為原則，改革教育理念，重視對學生數學應用能力的培養。

作為理工科專業的先修課程，公共數學能否與專業課聯動，發揮學科育人的作用至關重要。在有限的課時內，公共數學必須走向“淡化理論，突出應用”的改革方向。在此基礎上，滲透數學思想方法，傳播數學文化，融入課程思政，培養學生的數學素養，實現數學的德育價值。

對于理工類課程，要在課程教學中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學精神的培養結合起來，提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力。如何在課堂中巧妙且自然地融入課程思政，需要教師精心設計。上好一堂數學課程思和修養，做好“立德樹人”示范。我們仍需不斷拓展公共數學課程思政建設的方法和途徑，尋找新的課程思政教學案例和教學方法，發揮公共數學學科的育人作用。