鋼筋混凝土結構裂縫寬度計算

戴永琪，劉曉青

(1.上?？睖y設計研究院有限公司，上海 200434； 2.河海大學 水利水電學院，江蘇 南京 210098)

從實際工程中混凝土結構的外觀缺陷或表面損傷檢測結果可以發現，由于混凝土材料本身較不均勻且抗拉強度較低，鋼筋混凝土結構基本處于帶縫工作狀態。隨著外部荷載和環境等因素的持續作用，裂縫不斷發展從而影響結構的正常使用和安全運行。因此，對使用上要求限制裂縫寬度的結構構件，如何根據荷載組合進行較為準確的裂縫寬度控制驗算，是鋼筋混凝土結構設計的重要內容之一。

由于混凝土裂縫的形成機理復雜且影響因素眾多，自20 世紀30 年代以來，各國學者提出了許多關于鋼筋混凝土結構裂縫寬度的計算式，這些公式大致可分為半理論半經驗公式和數理統計公式兩類[1-3]。Hong 等[4]針對鋼筋混凝土構件在純彎曲作用下的裂縫寬度預測問題，根據傳統裂縫理論和由軸向拉伸試驗得到的黏結-滑移關系，分析受拉區鋼筋混凝土構件的應力，給出了最大裂縫寬度關于黏結應力的解析式；Oh 等[5]基于鋼筋混凝土梁反復加載試驗引入了合適的黏結應力與滑移量的函數表達式，通過傳遞長度和殘余滑移量來計算鋼筋周圍的黏結應力分布，推導出反復荷載作用下的裂縫寬度計算式；朱爾玉等[6]采用三分點加載模式對32 根高強鋼筋混凝土梁進行了受彎試驗研究，分析其裂縫發展過程和分布規律，對試驗數據進行參數回歸，得到高強鋼筋混凝土純彎構件的平均裂縫間距和最大裂縫寬度計算式。然而，上述裂縫理論和經驗公式都是以一定的假設條件和簡化處理為前提，公式之間差異較大，只能粗略估算基本構件的裂縫寬度，不能反映實際工程中的裂縫狀態。

近年來，隨著計算機技術和鋼筋混凝土有限元法的不斷發展和完善，基于力學理論的數值模擬與仿真分析成為研究鋼筋混凝土裂縫寬度的有效方法。本文針對鋼筋混凝土構件實際存在的非線性工作狀態，研究鋼筋混凝土非線性有限元分析方法，首先基于四參數等效應變混凝土損傷模型確定材料在不同應力狀態下的損傷程度，然后根據斷裂損傷理論推導混凝土結構的裂縫寬度表達式，最后將所提出的方法應用于四點彎曲鋼筋混凝土梁的有限元計算，并與試驗結果進行對比分析以驗證方法的可行性與合理性。

1 基于四參數等效應變的混凝土損傷模型

首先考慮單軸應力情況，根據損傷力學理論，混凝土在單軸應力狀態下的應力應變（σ-ε）關系可以表示為：

式中：Dc為損傷變量，取值范圍為[0，1]，與混凝土的損傷程度呈正相關；Ec0為混凝土無損時的彈性模量。

由式（1）求得單軸應力狀態下混凝土損傷變量的表達式為：

本文采用文獻[7]中混凝土單軸拉伸試驗擬合得到的應力應變曲線，該本構關系曲線分為上升段和下降段：

式中： σp為峰值拉應力； εp為峰值拉應力時的應變。

對于多軸應力情況，通過對各應變分量的適當組合引入等效于單軸拉伸或壓縮狀態下的應變，可以根據單軸拉壓時的損傷演變方程得到多軸應力狀態下的損傷變量值。根據文獻[8]可得四參數等效應變：

求解式（4）即可得到多軸應力狀態下的等效應變：

由于等效應變不可能為負值，因此只取式（5）的正根：

參考Hsieh-Ting-Chen 應力空間四參數破壞準則的形式，建立基于應變空間的四參數破壞準則：

由式（7）可知，參數A、B、C、D可通過單軸拉伸、單軸壓縮、雙軸等壓及三軸壓縮等4 組強度試驗數據來確定，再將求得的4 個參數值代入式（6）即可計算等效應變。

式中：ε1、ε2、ε3分別為3 個主應變；E為彈性模量； μ為泊松比；ft、fc分別為混凝土的單軸抗拉強度和單軸抗壓強度。

鋼筋混凝土由兩種不同性質的材料組合而成，除了建立合理的混凝土本構關系外，如何正確模擬鋼筋和混凝土的組合作用也是按有限元法分析結構各階段工作狀態、受力情況和變形響應的關鍵。

分離式模型是研究鋼筋與混凝土間相互作用時較為常用的有限元模型，優點是可以用聯結單元模擬材料實際存在的黏結特性和相對滑移，但傳統的雙彈簧聯結單元在選擇其法向剛度系數時，取值過小會使單元相互嵌入產生偏差，取值過大又可能導致計算不收斂。因此，本文采用改進的單彈簧聯結單元法，只在鋼筋切向設置單彈簧，通過建立鋼筋與混凝土法向自由度的約束方程保證兩者間的法向變形協調，以避免人為設定法向剛度系數。

2 基于斷裂損傷理論的裂縫寬度計算

鋼筋混凝土有限元法中常用的裂縫模擬方法主要有分離裂縫模型、彌散裂縫模型和斷裂力學裂縫模型3 種，彌散裂縫模型以分布裂縫代替單一裂縫，通過調整材料的本構關系來模擬混凝土的開裂過程，具有計算精度高和運算速度快等優點，也避免了分離裂縫模型由于裂縫的出現和延伸需要不斷重新劃分單元網格的不便，因而在各種復雜組合構件和非桿件大體積混凝土結構的裂縫分析中得到廣泛應用[9]。但傳統的彌散裂縫模型實質上是將裂縫彌散分布到整個單元中，保持了混凝土結構位移場連續的假定，而沒有模擬單元邊界之間實際存在的非連續開裂面，導致難以確定裂縫寬度和分布間距等信息。針對上述問題，首先基于彌散裂縫模型和裂縫帶理論[10]，將混凝土單元內的裂縫寬度在單元特征長度范圍內彌散成開裂應變，假設該應變沿斷裂帶寬度方向均勻分布，則裂縫寬度可表示為：

式中：w為裂縫寬度；le為單元特征長度； εcr為開裂應變。

混凝土屬于準脆性材料，拉應力達到抗拉強度后會呈現一定的軟化現象，拉應力隨裂縫開展寬度的增加而逐漸減小[11]。為了合理控制驗算結構的裂縫寬度，需要在考慮混凝土軟化特性的基礎上進行裂縫分析。斷裂能是描述混凝土開裂軟化過程的重要參數，可以根據混凝土軟化曲線與坐標軸圍成的面積求得：

式中：Gf為混凝土斷裂能；wf為材料完全開裂時拉應力下降至零對應的極限裂縫寬度； σ為拉應力；gf為混凝土開裂應變能； εf為材料完全開裂時拉應力下降至零對應的極限開裂應變，由式（12）可知εf=wf/le。

當采用單直線下降式軟化曲線來描述混凝土的軟化行為時，由式（13）和式（14）可得材料的極限裂縫寬度和極限開裂應變分別為：

由式（15）和（16）可知，極限裂縫寬度和極限開裂應變同斷裂能和開裂應變能一樣，是反映混凝土材料物理力學性能的參數，與試件的形狀和尺寸無關。當混凝土的裂縫寬度和開裂應變達到極限值時，裂縫尖端處的拉應力下降至零，微裂紋繼續擴展并相互連通形成宏觀裂縫。因此，對使用上不允許出現裂縫的鋼筋混凝土構件，可將上述公式的計算結果作為限值，但還需進一步推導混凝土損傷開裂過程中產生的最大裂縫寬度計算式才能進行抗裂驗算；對使用上要求限制裂縫寬度的構件，最大裂縫寬度限值應根據混凝土結構所處的環境條件類別來確定，但也需要計算結構在服役過程中產生的最大裂縫寬度才能進行裂縫寬度驗算。下面進行具體說明。

真實場景下的裂縫會將混凝土劃分為未開裂區和開裂區，但在損傷力學和彌散裂縫理論中這兩個區域都處于連續場中，采用應變分解方法將混凝土總應變分解為彈性未開裂應變和非彈性開裂應變：

式中： ε為混凝土單元的總應變； εc0為未開裂部分材料的彈性應變，假定未開裂區混凝土滿足線彈性本構關系，再結合混凝土損傷模型中的應力應變關系式（1），可得：

將式（18）代入式（17），可知開裂應變與總應變之間滿足以下關系式：

再將式（19）代入式（12），得到混凝土損傷開裂過程中的裂縫寬度及其最大值為：

式中：wmax為最大裂縫寬度；εmax為最大總應變。

需要注意的是，式（12）～（20）是在假設1 個單元內只有1 條裂縫的前提下推導的，適用于有限元網格劃分較密的情況。對于復雜的大體積混凝土結構，在滿足計算精度和考慮求解效率的條件下網格加密程度有限，這就導致1 個單元內可能存在多條裂縫。為解決上述問題，設1 個單元內的裂縫數量為n，每條裂縫的張開度均為w，則根據式（12）可以求得單條裂縫寬度的表達式為：

式中：lm為平均裂縫間距。

由式（13）～（16），可得如下公式：

將式（19）代入式（21），得到1 個單元內存在多條裂縫時混凝土損傷開裂過程中的裂縫寬度及其最大值分別為：

最后考慮多軸應力情況，在建立四參數等效應變和應變空間四參數破壞準則的基礎上，可以根據單軸拉壓時的損傷演變方程得到多軸應力狀態下的損傷變量值。通過四參數等效應變替換普通單軸應變，并結合單軸應力情況下混凝土損傷開裂過程中的裂縫寬度表達式，即可計算混凝土結構在多軸應力狀態下的最大裂縫寬度，其表達式為：

3 算例驗證

3.1 計算模型及參數

為驗證上述鋼筋混凝土非線性有限元分析方法的合理性，選取文獻[12]中用于受彎性能試驗的鋼筋混凝土簡支梁進行數值模擬計算，該四點彎曲梁的幾何尺寸和配筋見圖1。試驗梁長8 000 mm，寬350 mm，高700 mm，保護層厚35 mm?；炷翉姸鹊燃墳镃40，抗拉強度2.8 MPa，抗壓強度30.2 MPa，彈性模量33.848 GPa，泊松比0.2，求得4 個參數分別為A=0.011 8，B=0.099 6，C=0.740 0，D=0.308 9，混凝土斷裂能為130.32 N/m。受拉主筋為直徑20 mm 的HRB500 鋼筋，屈服強度537 MPa，彈性模量200.546 GPa，配筋率0.68%；架立筋和腰筋采用直徑為12 mm 的HRB400鋼筋；箍筋為直徑8 mm 的HRB400 鋼筋，純彎段箍筋的間距為300 mm，其余段箍筋的間距為150 mm。

圖1 試驗梁尺寸及配筋示意（單位：mm）Fig.1 Diagram of dimension and reinforcement of test beam (unit: mm)

根據以上基本信息建立四點彎曲鋼筋混凝土梁的分離式有限元模型，混凝土梁及其加載和支座處的鋼墊板用實體單元模擬，鋼筋用桿單元模擬，在鋼筋和混凝土之間設置單彈簧聯結單元，如圖2 和圖3 所示。

圖2 混凝土梁有限元模型Fig.2 Finite element model of concrete beam

圖3 梁中鋼筋模型Fig.3 Reinforcement model in beam

3.2 計算結果分析

圖4 給出了采用單彈簧聯結單元法和混凝土四參數損傷模型計算得到的四點彎曲梁跨中彎矩-撓度曲線，該曲線清晰反映出鋼筋混凝土梁從加載到破壞全過程中所經歷的3 個典型階段的主要特征和變化規律，并且數值模擬結果與試驗數據較為吻合。在加載初期，由于彎矩較小受拉區未開裂，混凝土處于彈性工作階段，拉應力由混凝土和鋼筋共同承擔，梁跨中彎矩和撓度之間近似呈線性關系，撓度計算值與試驗值基本相同。當持續加載達到開裂彎矩時，部分受拉區混凝土退出工作，彎矩-撓度曲線出現第1 個轉折點，標志著混凝土梁進入裂縫開展階段，開裂截面處的拉應力幾乎全部由受拉鋼筋承擔，跨中撓度明顯增大。加載至鋼筋拉應力達到屈服強度時，彎矩-撓度曲線出現第2 個轉折點，標志著混凝土梁進入破壞階段，這一階段的撓度增長速度更快，曲線斜率進一步減小，直到構件完全破壞。該四點彎曲鋼筋混凝土梁的實測極限彎矩值為614 kN·m，計算值為616 kN·m。

圖4 跨中彎矩-撓度曲線Fig.4 Moment-deflection curve at midspan

由式（26）可知，損傷變量值與混凝土的損傷開裂程度呈正相關。圖5 為該四點彎曲鋼筋混凝土梁在加載過程中的裂縫發展規律和分布特征。從圖5 可以看出，構件開裂后首先在加載點之間的純彎段底部產生豎向裂縫，之后向上擴展，并有新的裂縫在純彎段和剪彎段出現，裂縫間距不斷減小，隨著荷載繼續增加，純彎段豎向裂縫的數目、高度和間距都趨于穩定，而剪彎段豎向裂縫逐漸向加載點位置延伸從而形成斜裂縫，上述裂縫開展過程與試驗現象一致。

圖5 四點彎曲梁在加載過程中的損傷分布Fig.5 Damage distribution of four-point bending beam during loading

基于損傷變量和等效應變計算得到的最大裂縫寬度變化曲線見圖6，與試驗數據的符合程度較高，誤差在8%以內；而按《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）計算的最大裂縫寬度總體偏大，與數值模擬結果和實測值相差5%～45%，且加載中期偏差較大，說明規范公式在計算高強鋼筋混凝土梁的最大裂縫寬度時的部分參數需進一步修正。由圖6 可知，當荷載小于245 kN 時，荷載與裂縫開展寬度之間近似呈線性關系，由于鋼筋拉應力還未達到屈服強度，此時的最大裂縫寬度仍處于穩定增長階段，但隨著荷載進一步增加，鋼筋屈服后應變迅速增大，導致裂縫急劇開展并向上延伸。

圖6 荷載-最大裂縫寬度曲線Fig.6 Load-maximum crack width curve

4 結 語

本文對鋼筋混凝土結構的裂縫寬度計算進行研究，主要結論如下：

（1）極限裂縫寬度和極限開裂應變同斷裂能和開裂應變能一樣，是反映混凝土材料物理力學性能的參數，與試件的形狀和尺寸無關。當混凝土的裂縫寬度和開裂應變達到極限值時，裂縫尖端處的拉應力下降至零，微裂紋繼續擴展并相互連通形成宏觀裂縫。對使用上不允許出現裂縫的鋼筋混凝土構件，可將極限裂縫寬度的計算結果作為限值進行裂縫控制驗算。

（2）建立包括混凝土四參數損傷模型和裂縫寬度-等效應變關系式在內的鋼筋混凝土非線性有限元分析方法，適用于求解混凝土結構在復雜多軸應力狀態下的損傷變量和裂縫寬度。以四點彎曲梁為例進行有限元計算，可以細致描述鋼筋混凝土梁從加載到破壞整個受力過程中的變形特征和開裂規律。

（3）算例分析表明，四點彎曲鋼筋混凝土梁的損傷分布與試驗現象基本一致，最大裂縫寬度變化曲線也與實測數據的符合程度較高，驗證了計算模型的合理性和準確性。