基于混合次分數跳過程的亞式期權模糊定價

龐秋月,汪育兵

(蘭州財經大學 統計與數據科學學院,甘肅 蘭州 730020)

期權是重要的金融衍生品之一,期權定價一直是金融工程的重要問題之一.1973年,Black等[1]首次采用幾何布朗運動刻畫金融資產價格的波動,通過無套利定價方法得到了傳統BS期權定價模型.BS期權定價模型無法描述金融市場中的一些現象,如長記憶性,“尖峰厚尾”及“跳躍”等.為了更好地研究金融資產價格變動規律,Mandelbrot[2]和Peters[3]以分形理論為基礎將Hurst指數H作為度量長記憶性強度的指標引入到刻畫金融資產價格變化的運動中.Necula[4]通過風險中性測度下的鞅方法研究了分數布朗運動下的期權定價問題.余湄等[5]利用鞅定價理論推導出時變混合次分數布朗運動下期權價格的顯式解,推廣了傳統BS和分數布朗運動定價模型.安翔等[6]建立了混合次分數布朗運動下帶紅利的永久美式回望期權定價模型.

然而,金融市場的不確定性不僅是隨機的,而且是模糊的.在真實的金融市場中,數據很難被準確記錄,特別是無風險利率、波動率等.Zadeh[13]提出的模糊理論是研究這類模糊問題的重要工具.Wu[14]將模糊理論引入到期權定價研究中.秦學志等[15]研究了分數布朗運動下的歐式期權模糊定價.Liu等[16]運用隨機分析、分形理論和模糊理論,構建了次分數布朗運動下的歐式模糊期權定價模型,并分析了Hurst指數對歐式期權定價的影響.

綜上,對于亞式期權的大多數研究都是基于分數布朗運動或次分數布朗運動.但這兩種隨機過程應用在期權定價中會產生套利現象.而研究表明,混合次分數布朗運動在Hurst指數取值為[0.75,1)時,它是一個半鞅,此時,由混合次分數布朗運動驅動的金融市場是完備的且不存在套利機會.目前,已有文獻很少同時考慮到金融市場的長記憶性、“跳躍”及模糊等特征.為了更加全面地刻畫金融資產的價格變動規律,考慮在模糊狀態下用混合次分數跳過程研究亞式期權定價問題.首先在混合次分數跳過程下,運用風險中性原理給出了具有固定敲定價格的幾何亞式期權定價公式;其次采用三角模糊數的方法得出模糊定價模型(Fuzzy Geometric Asian Option Pricing,FAOP),給出了股價的模糊區間;最后,數值模擬分析了置信度c和Hurst指數對模糊價格的影響.

1 預備知識

根據執行價格,亞式期權可以分為固定敲定價格期權和浮動敲定價格期權.固定敲定價格的看漲期權和看跌期權在到期日T時刻的收益分別為(AT-K)+和(K-AT)+,其中K是執行價格,AT是標的資產在預定時間內的平均價格.根據AT計算方式的不同,亞式期權又可分為幾何平均亞式期權和算數平均亞式期權.幾何平均亞式期權中的AT計算公式為

算數平均亞式期權中的AT計算公式為

由于金融資產價格St服從對數正態分布,則容易得到幾何平均亞式期權中的AT也滿足對數正態分布.但算數平均亞式期權中的AT并不符合對數正態分布,故無法直接得到解析解.學界對算數平均亞式期權問題的處理方式有很多,包括二叉樹、近似法及蒙特卡洛模擬方法等.因此,本文只討論具有固定行權價的幾何平均亞式期權.

接下來介紹混合次分數布朗運動和模糊理論的相關概念及性質.

(1)

混合次分數布朗運動滿足如下性質:

(2)方差:?t∈R+,

(2)

(3)協方差:?t∈R+,

(3)

其中,t∧s=min(t,s).

2 資產價格模型及幾何亞式期權定價

假設模型滿足以下條件:

(1)市場是無摩擦且連續的,即交易費用為零,無稅收;

(2)股價遵循Hurst指數為[0.75,1)的混合次分數跳過程,此時無套利;

(3)在期權到期之前,無風險利率r、期望收益率u、股價的波動率σ均為常數;

(4)期權只能在到期日執行;

(5)股票在期權有效期內支付的股息率為零．

在風險中性測度下,股價滿足下面的隨機微分方程:

dSt=rStdt+σStdXt,

(4)

2.1 混合次分數跳過程公式

(5)

證畢.

定理2方程(4)的解是

(6)

證明令

則有

根據方程(5),有

令St=f(t,Xt),則有dSt=rStdt+σStd(Xt).

證畢.

2.2 幾何亞式期權定價模型

定理3在風險中性測度下,股價St滿足方程(4),則固定行權價為K、到期日為T的幾何亞式看漲期權的價格C(S0,T)為

C(S0,T)=S0eAΦ(d1)-Ke-rTΦ(d2).

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

證明令

則有

AT=exp{JT}.

其中:

規定s

E(XsXt)=
Cov(Xs,Xt)=Cov(Ms+Qs,Mt+Qt)=
Cov(Ms,Mt)+E(QsQt),
E(QsQt)=E[(Ns-λs)(Nt-λt)]=
E(NsNt)-λ2st=λs(λt+1)-λ2st=λs.

由于隨機變量JT=lnAT服從正態分布,因此隨機變量AT服從對數正態分布.則幾何亞式看漲期權價格為

D={x|ex-K>0}.

這里

其中d1,d2和A分別由式(9)、(8)和(10)定義.證畢.

同理,固定行權價為K,到期日為T的幾何亞式看跌期權的價格P(S0,T)為

P(S0,T)=
Ke-rTΦ(-d2)-S0eAΦ(-d1),

(11)

其中d1,d2和A分別由式(9)、(8)和(10)定義.

3 幾何亞式期權模糊定價模型

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由式(7)可知,

已知Φ(·)和φ(·)分別為標準正態累積分布函數和密度函數, 則有

Φ(d1)>0,Φ(d2)>0,
Φ′(d1)=φ(d1)>0,Φ′(d2)=φ(d2)>0

.

S0eAΦ′(d1)-Ke-rTΦ′(d2)>0

,

則有

4 數值模擬

(1)在不同的置信度c下,幾何亞式看漲期權的模糊價格,如表1所列.

表1 不同置信度下的亞式看漲模糊價格

對于c=0.95,表示看漲期權價格處于閉區間[15.5892,15.6141],置信度為0.95.從另一個角度看,如果投資者對信任度0.95感到滿意,投資者就可從閉區間[15.5892,15.6141]中獲取任何值作為其以后使用的期權價格.

這意味著亞式期權價格的平均水平為15.6135美元,風險為0.009美元.

從表1可以看出,隨著置信度c的逐漸增大,模糊價格區間的長度逐漸減小,模糊價格越來越高.換句話說,從可能性均值的角度看,模糊性帶來的不確定性提高了亞式期權的價值.

(2)當c=0.95時,Hurst指數對看漲期權模糊價格的影響見圖1和表2.

圖1 T、H對幾何亞式看漲期權模糊價格區間左端點的影響

表2 T、H對亞式看漲期權模糊價格區間的影響

由于在混合次分數跳過程下的幾何亞式模糊期權價格公式十分復雜,很難準確地判斷出關于H的單調性,所以討論了在不同T下,期權價格關于H的單調性.

表2中分別列舉了T取1/12,1/3,1,2和5,5種情況下期權價格關于H的變化.結果發現:從局部上看,控制T不變時,期權價格關于H單調遞減;控制H不變時,期權價格關于T單調遞增.從圖1中可以看出,五條曲線幾乎平行.表明在不同的執行時間T下,期權價格關于H的下降速度是相似的.

(3)將本文提出的FAOP定價模型與BS模型進行對比,給出不同置信度C下,兩種模型的看漲期權模糊定價區間,如表3所列:

表3 不同模型下的幾何亞式看漲期權模糊價格區間

從表3中,可以看出FAOP模型得到的模糊價格區間端點值總是比BS模型的大.因為C(S0,T)是關于泊松強度λ的增函數,BS模型中相當于λ=0,所以表3中的結果是合理的.

這意味著亞式期權價格的平均水平為15.4585美元,風險為0.006美元.

從兩個模型各自模糊價格的可能下半方差看,BS模型的風險小于FAOP模型.這是因為BS模型中沒有考慮到金融市場中股價跳躍所帶來的風險.

5 結論

本文基于混合次分數跳過程模型,運用風險中性原理和模糊理論等,建立了幾何亞式期權定價模型及其模糊定價模型.數值實驗結果表明:

(1)隨著置信度的逐漸增大,模糊價格區間的長度逐漸減小,這給了投資者更多的選擇機會.對于保守的投資者,雖然可以使用較高的置信度,但可使用的價格范圍相對較小,價格相對較高;對于激進的投資者,接受的置信度較低,有更多的價格選擇,所以可以用較低的價格來增加收入,但同時也伴隨著更大的風險.

(2)從局部上看,對于不同的T,期權價格是關于H的減函數,并且期權價格的下降速度大致是相同的;在不同的H下,期權價格是T的增函數,且期權價格的上升速度大致也是相同的.

(3)S0、r、σ和λ的不確定性對亞式期權價格的影響是不可忽視的,因此,本文所建立的模糊亞式期權定價模型更加合理.使用此模糊模型,可以幫助投資者選擇一個具有可接受置信度的亞式期權價格,以供日后使用.