基于隨機平均法的框架-搖擺墻結構隨機激勵響應分析

王冠達,張遠進,許伊鍵

(1.武漢理工大學 中國應急管理研究中心,湖北 武漢430070;2.武漢理工大學 安全科學與應急管理學院,湖北 武漢 430070;3.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

地震會給人們帶來巨大的災難,阻礙城市發展。人們通過不斷發展新理論、改善建筑結構,以將地震帶來的損失降到最低[1]。在當今建筑結構中,應用較為廣泛的是鋼筋混凝土框架結構,但此類結構在地震中容易產生不可修復的損傷[2]。結構在地震作用下會產生一定的變形,同時經歷能量耗散過程,產生不同程度的損傷,當損傷發展到一定程度后,結構將失效或倒塌[3]?？蚣芙Y構的損傷破壞往往發生于少數樓層變形而形成的層屈服機制[4]。

國內外學者提出“可恢復功能”的抗震結構體系,為了減少地震中不可修復的損傷、提高結構的抗震性能,搖擺墻被引入到框架結構中,形成了框架-搖擺墻結構[5]。該結構由框架與搖擺墻兩部分組成,兩者之間通過剛性鏈桿連接,以搖擺墻結構緩解框架的受力情況,減輕或者避免產生層屈服機制。AJRAB等[6]對框架-搖擺墻結構進行非線性時程分析,發現在地震作用下,框架-搖擺墻結構的層間位移分布比傳統框剪結構更均勻。HU等[7]使用時程分析法,將純框架結構與附加自復位墻的框架結構進行動力響應分析比較,發現附加自復位墻后,結構的動力響應明顯減小,基本無殘余位移產生。楊樹標等[8]設計了一種新型框架-搖擺填充墻結構,并進行靜力非線性分析,結果表明搖擺填充墻能夠改善建筑結構層間位移分布,使結構層間位移趨于均勻,將結構破壞機制改變為整體破壞機制,明顯改善了框架結構的延展性。田會文等[9]針對自復位墻在矩形脈沖作用下的動力響應進行分析,發現自復位墻傾覆譜附加安全區域SN的位置和面積與墻體高寬比、預應力筋初張力和剛度均有關。

隨機平均法是分析非線性隨機系統響應的有效方法之一。20世紀60年代,STRATONOVICH[10]首次提出隨機平均法,迄今為止,許多學者在隨機激勵下的非線性系統響應分析中運用隨機平均法。SANTOS等[11]利用基于Hilbert變換的隨機平均法,給出了一種半解析方法,用于確定隨機激勵非線性振子的生存概率和首次穿越時間概率密度函數。SPANOS等[12]使用隨機平均法導出了振蕩器非平穩邊緣、過渡和聯合響應振幅PDF的近似封閉形式表達式,并最終導出了隨時間變化的振蕩器生存概率。KOUGIOUMTZOGLOU等[13]依靠統計線性化和隨機平均的組合產生具有時變剛度和阻尼元件的等效線性系統(ELS)。VANVINCKENROYE等[14]依靠響應能量包絡的馬爾可夫近似和隨機平均處理,得到一個控制振蕩器可靠性函數隨時間演變的后向Kolmogorov方程。CHAI等[15]基于能量包絡隨機平均法和路徑積分法研究了隨機橫浪中非線性橫搖運動的隨機響應,使用隨機平均法對原系統進行降維,降低了計算隨機響應的難度。解娜娜等[16]研究了含有慣性非線性的梁振動方程在高斯白噪聲激勵下的隨機平均法。

筆者針對單自由度框架-搖擺墻結構在隨機地震激勵下,搖擺墻體發生偏轉抬升,并進行往復搖擺運動這一現象,建立動力響應方程并進行分析,將系統的運動方程進行一定的簡化后,運用隨機平均法求解系統的等價剛度與阻尼。

1 框架-搖擺墻動力學方程

框架與搖擺墻之間采用剛性鏈桿L進行連接,位于框架右頂點與搖擺墻左頂點之間。設結構轉動時,鏈桿L與水平線夾角為Φ,矩形搖擺墻高度為2h,寬度為2b,框架質點與地面的相對位移為Us,搖擺墻左頂點與地面相對位移為Ut。假設忽略主體框架與搖擺墻體的豎向變形,搖擺墻為剛體,且質量集中在墻形心。搖擺墻角O點與O′點各設置有一個金屬阻尼器。當單自由度框架-搖擺墻向正方向運動時,即墻體轉動角θ>0,當結構向負方向運動時,即θ<0,如圖1所示。

圖1 結構轉動示意圖

當θ>0時,根據達朗貝爾原理,對O點列力矩平衡方程:

(1)

Ug表示地面位移,Us表示框架質點與地面的相對位移,U表示框架質點的絕對位移,則U(t)=Ug(t)+Us(t)。當單自由度框架-搖擺墻運動時,框架質點與地面的相對位移Us為:

Us=Ut=±2R[sinα-sin(α?θ)]

(2)

當θ>0時,±處取正號,?處取負號;當θ<0時,±處取負號,?處取正號。

在隨機地震激勵作用下,框架的動力學方程可表示為:

(3)

將式(2)代入式(1)可得:

(4)

當θ<0時,根據達朗貝爾原理,對O′點列力矩平衡方程:

(5)

式中:f2為右側金屬阻尼器的恢復力。將式(2)代入式(5)可得:

(6)

(7)

2 隨機平均法

根據參考文獻[17],由式(7)可知:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:A為響應位移的時間相關幅度;φ為相位,是與時間t相關的函數。A和φ都具有隨時間緩慢變化的特性,因此可在一個周期內認為其近似恒定。

將式(7)代入式(12)～式(15)可知:

(16)

(17)

對式(12)、式(13)的右側求期望可以得到近似等效的時間相關阻尼因子和頻率:

(18)

(19)

式中:c(t)為非平穩隨機響應的方差。

此時,在模擬地震隨機激勵下的單自由度框架-搖擺墻結構的動力響應方程可以表示為:

(20)

式中:p(A,t)表示響應過程x的幅值A的概率密度函數,如式(21)所示;c(t)為隨機響應過程x與時間相關的方差,可由微分方程描述,如式(22)所示。

(21)

(22)

根據式(22)求得隨機激勵下單自由度框架-搖擺墻位移響應的方差,將其與MCS的結果進行對比,可以驗證隨機平均法模擬結果的可靠性。

3 數值算例

3.1 模型參數

采用單自由度框架-搖擺墻結構模型,搖擺墻尺寸為4 m×1 m×0.1 m,γ=2 000,Ks=7.2×107N/g,Ms=2×106N/g,ξs=0.05,Mw=1 000 N/g,fd=7×104N。

3.2 隨機激勵模型

在模擬地震隨機激勵時采取非平穩地震動模型,地震動加速度可以表示為:

(23)

式中:a0(t)為平穩白噪聲過程,其功率譜密度函數為S0;ψ(t)為Amin 和Ang型調制函數[18],其表達式如式(24)所示。

(24)

調制函數各參數按照文獻[19]中取值,即A0=0.412 3,a=0.85,t1=1.47 s,t2=6.47 s。將式(23)代入式(10)可得:

(25)

隨機激勵的功率譜密度函數為:

(26)

3.3 數值分析

采用MCS法(樣本數為4 000條)驗證隨機平均法計算結果的HJ可靠性,對比分析不同激勵強度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時的結構響應,可以得到所提模型在非平穩隨機激勵下位移響應的方差,結果如圖2所示。由圖2可知,單自由度框架-搖擺墻模型在調制白噪聲激勵下,不同激勵強度僅對結構位移響應的方差大小產生影響,隨機平均法與MCS法的結果較為接近。

圖2 隨機平均法與MCS的位移方差

為驗證隨機平均法求得位移響應方差分布的準確性,繪制其概率密度函數圖像,根據Amin 和 Ang 型分段調制函數,在其上升、平穩、衰減階段分別任意取一個時間點,t=1 s,t=2 s,t=7.5 s。為研究在非平穩隨機激勵的作用下激勵強度對結構響應的影響,對比分析不同激勵強度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時結構響應位移方差的概率密度函數,如圖3所示。由圖3可知,單自由度框架-搖擺墻模型在不同強度的調制白噪聲激勵下,隨機平均法求解得的位移響應方差的概率密度函數與MCS模擬結果的峰值與分布均比較相似,擬合準確性較高。

圖3 不同激勵強度結構相應位移方差的概率密度函數

4 結論

(1)為探討單自由度框架-搖擺墻結構模型在模擬地震的隨機激勵下的動力響應,建立該結構向正、負兩個方向轉動的運動方程,將與角度相關的運動方程轉化為與位移相關的運動方程,具有較高的分析精度和合理性。

(2)采用隨機平均法求出單自由度框架-搖擺墻結構的等效線性運動方程,其位移響應的方差與MCS法的結果接近,驗證了隨機平均法在應用于該結構地震響應分析的適用性。

(3)以所求得的等效線性運動方程進行結構響應的數值模擬,在不同激勵強度下方差的概率密度函數與MCS求得方差的概率密度函數擬合度較高,由此可知本文方法準確性較高,可靠性較強,進一步驗證了方法的合理性和可靠性。