基于線性自抗擾控制技術的伺服控制系統研究*

夏 亮 孫天夫 李鑫宇, 譚先鋒 鄭登華

(1.重慶智能機器人研究院 重慶 400000；2.中國科學院深圳先進技術研究院 深圳 518000；3.燕山大學機械工程學院 秦皇島 066004)

1 引言

伺服系統在數控機床、航空航天、軍用武器隨動系統以及機器人等領域具有極其廣泛的應用[1-4]。近年來，永磁同步電機因高轉矩電流比、轉矩波動小、調速范圍廣等優點在工業領域獲得了廣泛應用[5-6]。隨著科技的發展，工程中對于伺服控制系統的快速性、準確性和控制參數易于整定的需求也不斷增加，另外在實際應用中永磁同步電機(Permanent magnet synchronous motor, PMSM)作為一個非線性、強耦合的時變復雜系統，會遭遇外部擾動(負載轉矩的變化)和內部擾動(參數攝動)等干擾，使得PMSM 控制技術一直都是研究熱點。針對以上問題，學者們進行了大量研究，一方面，繼續以經典的比例-積分-微分(Proportional-integralderivative, PID)控制器為基礎，研究控制參數的自整定[7]、參數辨識[8]等，另一方面則試圖將一些先進的控制算法，如滑模變結構控制、自適應控制以及預測控制[9-12]等，應用在PMSM 伺服系統中。

針對控制對象的外部和內部擾動，韓京清[13]在PID 控制思想的基礎上提出了自抗擾控制器(Active disturbance rejection control, ADRC)。ADRC 將被控對象的各種不確定因素包括內部擾動和外部擾動歸結為總擾動，采用擴張狀態觀測器(Extended state observer, ESO)對總擾動進行估計，然后進行擾動補償。ADRC 具有超調量小、精度高、抗干擾能力強和不嚴重依賴模型的特點，目前已經在電力系統、化工過程、精密加工機床等領域得到了推廣和應用[14-17]。但由于ADRC 采用了非線性函數，需要整定的參數過多，穩定性難以分析，限制了ADRC 的工業應用前景。GAO[18]將ADRC 進行了線性化處理，提出了線性自抗擾控制器(Linear active disturbance rejection control, LADRC)，并提出了基于時間尺度的整定方法，將LESO 和狀態反饋的設計轉化為控制器帶寬(cω)和觀測器帶寬(0ω)的選取，大大簡化了LADRC 的參數整定過程，開拓了LADRC 的工業應用前景。沈威等[19]通過將ADRC與改進型ESO 并聯并結合烏鴉算法(Crow search algorithm, CSA)對ADRC 進行參數優化，提高了電機控制系統的魯棒性。劉長良等[20]基于內模原理提出自抗擾控制方法，應對非最小相位系統建模和擾動不確定性。該方法首先依據被控對象參數設計內?？刂破?，其次利用動態史密斯補償器補足閉環系統的零點，解決非最小相位部分導致的響應滯后和反向響應幅值過大問題。最后，利用被控對象模型設計的擾動觀測補償器(Disturbance observer and compensation, DOC)增強系統擾動抑制能力。

本文將線性自抗擾控制理論應用于伺服驅動系統，設計了電流環一階LADRC 控制器、速度環一階LADRC 控制器以及位置環二階LADRC 控制器。其中，位置控制系統采用雙環的結構，實現了位置和速度的復合精準控制，給出了相應的參數整定方法，與傳統的伺服系統相比，需要調試的參數大大減少，并通過試驗對LADRC 的控制性能進行了研究。

2 線性自抗擾控制原理

以二階系統為例，二階系統微分方程一般形式為

式中，w(t) 為外部擾動，b為系統增益，u為輸入，f為系統總擾動。實際中b很難得到，這里用b0作為b的估計值，則式(1)可化為

將估計不準的部分 (b-b0)u并入f中，可將微分方程化為狀態空間方程形式，令

式中，3x為系統擴張狀態變量，即把原來的2 階系統擴展成3 階系統，從而多了一個方程用于求解人為設定的f。這里把所有與輸入無關的項f視為系統總擾動，狀態空間方程形式為

式中，x為列向量形式。其中這一項可以通過觀測器獲得，因此在設計觀測器時不考慮該項。

對該系統可建立線性擴張狀態觀測器(ESO)

式中，z為對x觀測狀態向量；為y的觀測值；L為狀態觀測器的反饋增益。

由式(6)中兩式相減得到

該微分方程的解為error= exp[(A-LC)t]，當(A-LC)為負值時，error會收斂到0。因此可通過設計(A-LC)矩陣的特征值使得狀態向量z收斂至x來實現狀態觀測。

將L=[β0β1β2]T代入(A-LC)可得

這里將該系統三個極點配置在相同位置，則該矩陣的特征多項式為

式中，0w為系統極點的值，0w決定了觀測器的收斂速度，這里稱之為觀測器帶寬。

通過解式(9)可得

在觀測器對總擾動f(即x3)進行觀測之后，即可對控制器進行擾動補償

式中，u為補償后的輸出，將補償后的u代入式(2)，得到

至此，包含擾動的二階系統被化簡為一個不含擾動的二階系統。對于二階系統，使用PD 控制器設計u0，則其表達式為

式中，r為參考值，一般為定值，則r˙為0。把式(13)代入式(12)可得

配置上式極點為

得到PD 參數值

式中，cw為系統極點的值，同理將系統極點配置在相同位置。cw決定了控制器的收斂速度，稱之為控制器帶寬。一般在進行設計時，觀測器帶寬為控制器帶寬的三到五倍。

3 伺服電機系統線性自抗擾控制器設計

3.1 電流環控制器設計

伺服系統dq軸電流表達式如式(17)所示

式中，以q軸電流控制為例實現線性自抗擾控制，uq相當于輸入，稱為u，為系統增益，稱為b，其他項視為總擾動，稱為f，iq為輸出，稱為y。

由于控制電流微分方程為一階，在這里采用一階線性自抗擾控制器。其原微分方程為

式中，b可根據實際測量獲得，也可以進行估計，這里用b0作為b的估計值。其他估計不準的部分也可并入f。則式(18)可寫為

令

可將微分方程化為狀態空間方程

式中，2x為系統擴張狀態變量，這里為系統總擾動，x為列向量形式，C=[1 0]。

對該系統可建立線性擴張狀態觀測器(ESO)

由前文可知L的取值，這里不再贅述，則ESO 可以寫成

展開上式為

在觀測器對總擾動f進行觀測之后，即可對控制器進行擾動補償

式中，u為補償后的輸出，將補償后的輸出代入原微分方程，得到

對于一階系統，使用P 控制器設計u0，則其表達式為

將上式寫成傳遞函數形式為

式中，kp為控制器帶寬。

3.2 速度環控制器設計

速度環經常會面臨PMSM 參數不確定、負載轉矩變化等擾動。

根據電機動力學模型

式中，w為電機轉速，tk為轉矩系數，J為轉子轉動慣量，LT為負載轉矩，B為黏滯摩擦因數。

由微分方程可以得到速度環控制與電流環具有類似的形式，同樣為一階微分方程。其中電流i為系統輸入，為系統增益，其他項為總擾動。速度環的LADRC 設計與電流環相同，這里不再贅述。

3.3 位置環控制器設計

位置環控制同樣可以看成由速度控制的一階微分方程

位置環的LADRC 設計同樣可以采用前文所述一階LADRC 設計理論進行設計。

4 仿真分析

為了驗證前文所提算法的性能，在永磁同步電機伺服控制系統中對算法進行仿真分析，仿真中所使用的PMSM 參數如表1 所示。

表1 PMSM 仿真參數

仿真系統采用電流環、速度環、位置環三環閉環控制。各控制參數如表2 所示。

表2 控制系統三環控制參數

下面對比LADRC 與PI 控制器在電流環、轉速環、位置環的控制效果。

首先對比LADRC 電流控制器與PI 電流控制器的電流控制效果。如圖1 所示，階躍電流幅值命令設為10 A，當LADRC 電流環帶寬與PI 電流環帶寬相同時，兩種控制器的電流控制效果幾乎等價，因此可以優先考慮PI 控制器，以減少電流環計算量。

圖1 LADRC 電流控制器與PI 電流控制器的電流控制效果對比

保持上述LADRC 和PI 電流控制器參數不變，增加LADRC 和PI 速度控制器，并將LADRC 和PI控制器的速度環帶寬調節至相近，則基于PI 電流環、速度環的轉速控制效果；基于LADRC 電流環、速度環的轉速控制效果；基于LADRC 速度環和PI電流環的轉速控制效果如圖2 所示。

圖2 LADRC 速度控制器與PI 速度控制器的轉速控制效果對比

如圖2 所示，階躍轉速命令設為100 rad/s，雖然PI 轉速控制器和LADRC 轉速控制器對轉速階躍命令響應的上升時間相同，但是PI 控制器會導致明顯的振蕩和超調，這是由于 PI 控制器無法像LADRC 控制器一樣，把速度環轉化為一階系統。因此在速度控制上，LADRC 控制器具有更好的動態性能。另外，圖2 也展示了PI 電流控制器與LADRC 速度控制器組合的控制效果，其控制效果與電流、轉速均由LADRC 控制的效果等價，進一步說明了LADRC 和PI 控制對電流控制的等價性。

為了測試LADRC 和PI 速度控制器對擾動的魯棒性，在t=4 s 時開始增加電機負載，則電機電流也隨之增加。如圖2 所示，隨著負載和電流的爬升，基于PI 速度控制器的轉速有明顯波動，而基于LADRC 轉速控制器的轉速控制結果展現出明顯的抗干擾性。

保持上述LADRC 和PI 控制器參數不變，增加LADRC 和PI 位置控制器，則基于PI 電流、速度、位置控制器的位置環控制效果；基于LADRC 電流、轉速、位置控制器的位置環控制效果；基于LADRC電流、位置控制器和PI 速度控制器的位置環控制效果如圖3 所示。

圖3 LADRC 位置控制器與PI 位置控制器的位置控制效果對比

如圖3 所示，階躍位置命令設為100 rad，并將基于PI 位置控制器和LADRC 位置控制器的位置階躍響應時間調節至相近，則基于PI 三環控制的速度響應峰值最大，基于LADRC 三環控制的速度響應峰值次之，基于LADRC 電流、位置控制器和PI 速度控制器的電流響應峰值最小。這主要是由于PI位置環沒有前饋擾動補償和PI 速度環調節時間較長導致。同樣地，為了驗證LADRC 和PI 位置控制器對擾動的魯棒性，在t=4 s 時開始增加電機負載。三種控制方式的控制效果如圖4 所示。

圖4 LADRC 位置控制器與PI 位置控制器在擾動下的控制效果對比

如圖4 所示，基于LADRC 的三環控制對擾動具有很強的魯棒性，在擾動下位置波動和轉速波動都最小?；贚ADRC 電流、位置控制器和PI 速度控制器的三環控制對擾動具有一定的魯棒性?；赑I 的三環控制對擾動的魯棒性最弱。因此基于LADRC 位置控制相對于PI 控制器的位置控制也有明顯的優勢。

5 結論

本文將線性自抗擾控制理論應用在永磁同步電機控制系統中，給出了電流環、速度環和位置環的LADRC 控制器設計方法。并通過分析仿真結果的方式探究了LADRC 與PI 控制器相互組合對伺服電機位置控制的影響，從仿真結果中得出以下結論。

(1) LADRC 與PI 作為電流內環效果幾乎等價。

(2) 對于速度環與位置環而言，LADRC 控制器的動態性能和對擾動的魯棒性相對PI 控制器具有明顯的優勢。