一種新型趨近律的PMSM 模糊自適應終端滑?？刂?

馮琪茗 董秀成, 劉 元

(1.西華大學電氣與電子信息學院 成都 610039；2.四川大學錦江學院電氣與電子信息工程學院 眉山 620860)

1 引言

永磁同步電機(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)由于效率高、轉矩能力大、構造簡易、功率密度高等優點，通常用于高性能應用中[1]。因此，為了在設計過程和實施中提高效率，需要對PMSM 進行速度控制。在電機控制領域中，PI 控制器一直因其結構簡單、調節方便而備受青睞，但是，傳統PI 控制器仍然存在大量的問題，在現實控制中，大多數系統都是非線性系統，而PI 控制器屬于線性控制器，用線性控制非線性，會導致精度降低。而且在實際控制中，傳統PI 控制器無法應對系統參數變化帶來的問題。在高精度控制場景下，PI 控制器已經無法勝任[2]。

隨著現代控制理論的發展，為解決傳統PI 控制器的不足，大量學者開始結合現代控制理論研究新的控制器，如神經網絡控制、預測控制、模糊控制、滑?？刂?Sliding mode control，SMC)等[3-6]；從首次提出到現在，經過長期的發展，SMC 一直是控制領域無法繞開的話題。SMC 也被稱為變結構控制，因其對系統自身參數變化和外部擾動不敏感，具有響應快速、魯棒性強和容易實現的優點，廣泛應用于PMSM 控制系統中，而且其控制的優越性也得到了證實[7]。但是傳統SMC 仍然存在問題，一是在滿足穩定性條件下，必須使滑模切換增益大于系統不確定項的上界，這樣會造成SMC 產生嚴重的抖動[8]。二是由于傳統SMC 采取的滑模面是線性的，所以會存在收斂速度慢的問題，只有在時間趨于無窮時，誤差才會收斂到零[9-10]。

在解決傳統SMC 問題的研究過程中，國內外學術專家付諸了很多的努力，也取得了諸多的研究成果。針對滑模抖振問題，研究發現是由于系統狀態軌跡在滑模面上做高頻切換運動而產生的，為了抑制因抖振產生的影響，文獻[11]提出了一種基于新型變速趨近律的滑?？刂破?，選取變帶寬的趨近方式，能夠很好地抑制穩態轉矩脈動。文獻[12]提出采用可變邊界層的飽和函數取代傳統的符號函數來抑制抖振，雖然抖振在一定程度上能夠得到抑制，但系統的響應速度比較慢。文獻[13]提出采用分數階終端滑?？刂?，并設計基于半正定屏障函數的自適應控制，對不確定擾動的上界進行估計來削弱不確定性因素對系統的影響，可以保證跟蹤誤差在有限時間得到收斂，避免過高的控制增益估計且削弱了系統抖振。文獻[14]提出一種新型的模糊滑模速度控制器，通過系統狀態量到達滑模面的距離和滑模增益來設定模糊規則，使得滑模趨近速度可以進行動態調整，然后選取連續的sigmoid 函數取代不連續的符號函數，讓系統可以進行平滑切換，提高了控制系統的響應速度并且增強了控制系統的抗干擾能力。

目前，無傳感器策略是一種可測量變量技術，對消除布線和降低信號噪聲起到了較大的作用[15-16]。國內外的學者們在對無傳感器控制技術的研究過程中，也取得了諸多的研究成果。例如，文獻[17]提出一種新型指數型函數，該方法可以降低滑模函數帶來的抖振。文獻[18]提出一種新型方波注入法，該方法可以降低高頻電壓矢量信號畸變，提高觀測器估計角度的精度。文獻[19]提出了改進型滑模觀測器，該觀測器在抑制抖振的同時，也能提高算法的估計精度。

本文在模糊滑?？刂频幕A上，提出了一種改進的算法。一是在全局快速終端滑?？刂频幕A上，根據文獻[20]所提趨近律，設計了一種新的復合趨近律，很大程度上提高了系統的收斂速度，為抑制抖振問題，采用將飽和函數放入冪次項中，實現了和冪次趨近律相同的性質，抖振也能得到很好的抑制。二是根據線性化反饋技術，以誤差函數導數的絕對值為補償構建了自適應干擾估計項，并將估計結果作為補償傳遞到速度控制器，避免開關增益的使用，試驗仿真表明，本文所設計速度控制器能使電機轉動抖振得到有效削弱，電機控制系統的動態響應能力和穩定性得到提高。

2 PMSM 數學模型

三相永磁同步電機是一種非線性、強耦合的多變量系統，并且結構較為復雜，為了便于分析，常常將三相PMSM 看為理想型電機，同時滿足理想條件。為了方便控制器的設計，需要選取合適的坐標變換對三相PMSM 的數學模型進行解耦和降階變換，本文采取同步旋轉坐標系對其進行解耦與降階，故PMSM 的數學模型在d-q旋轉坐標系下可以表示為

式中，ud與uq分別表示對應的d軸、q軸電壓，id與iq分別表示對應的d軸、q軸電流，ωm表示機械角速度，ψf表示永磁體磁鏈，pn表示極對數，Rs表示定子電阻，Ls表示定子電感，J表示轉動慣量，TL表示負載轉矩。

3 新型復合趨近律的設計與分析

3.1 傳統滑模趨近律

一般來說，傳統滑?？刂破鞯脑O計主要有兩個部分，一是滑模面的選取，二是趨近律的選擇，前者保證系統誤差的收斂，而后者則保證滑模趨近運動的動態品質。傳統滑模趨近律通常選擇高為炳院士提出的指數趨近律，如下所示

式中，ε、q為任意正實數，sgn(?)代表符號函數。

假設系統狀態在t時刻到達滑模面，對式(2)在0 到t進行積分可得到達時間t為

式中，s(0) 為t=0 時刻滑模面的初始位置。

由式(3)可知，若要減小到達滑模面的時間，則需要增大ε，但過大的ε值又會使系統產生劇烈的抖振現象，使系統的抗干擾能力降低。

3.2 新型復合趨近律

基于上述指數趨近律的缺點，本文提出了一種新型復合趨近律

式中，a>0 ，0<α<1 ，00 ，β>0 ，x為系統狀態，δ為可變項系數，sat(s) 為飽和函數，表達式為

相比于符號函數，采用飽和函數可以保證在邊界層里面使用線性控制，在邊界層外面使用切換控制，從而可以抑制由于滑模面切換運動所帶來的抖動。

由式(4)可知，新型復合趨近律由三部分構成，當系統狀態遠離滑模面時， -a|s|αsat(|s|-1)s起主要作用，即當|s|> 1時，趨近律約等于 -a|s|αs，故狀態變量能很快地收斂到滑模面，從而保證系統有更短的到達時間，增強了系統的動態響應性能。而當系統狀態趨近滑模面時，f(x,s) ≈kg(|x|)，故趨近律約等于kg(|x|)，在控制律的作用下，|x|將會逐漸趨近于零，所以趨近速度也會逐漸趨近于零，能有效解決因固定增益帶來的抖振問題。

為驗證所提趨近率的效果，在Simulink 中進行仿真，不同趨近率下滑模函數的收斂過程如圖1 所示。

圖1 不同趨近律下s 變化曲線

由圖1 可知，與傳統指數趨近律相比，新型復合趨近律的趨近速度和響應速度有明顯的提升。

4 自適應全局快速終端模糊滑?？刂破鞯脑O計與分析

4.1 傳統滑?？刂破?/h3>

定義電機系統的狀態變量為

式中，reω表示電機的參考轉速，mω表示電機的實際轉速。

根據式(1)和式(6)可知

傳統滑?？刂埔话氵x取滑模面為

式中，c> 0。

選取指數趨近率使PMSM 驅動系統具有較好的動態品質，故控制器的表達式為

式中，ε、q>0。

q軸參考電流可由傳統的滑?？刂破鳙@得

由滑模到達條件ss˙<0，可以很容易驗證在式(11)的作用下，控制系統是漸進穩定的。

4.2 全局快速終端滑?？刂破?/h3>

由于傳統滑?？刂破魍ǔＪ褂镁€性超平面，誤差無法快速收斂至零界點?；诰€性滑模表面和快速終端吸引子設計全局快速終端滑?？刂破?，以保證控制系統在有限時間內從任意初始狀態迅速達到平衡狀態。

定義全局快速終端滑模面函數為

式中，α> 0，β> 0，為正奇數且q

在系統狀態趨近于平衡點的情況下，收斂時間的確定由x˙ =-αx占主導地位；在系統狀態離開平衡點的情況下，收斂時間由占主導地位，故有

聯立式(7)、式(12)和式(13)可得全局快速終端滑?？刂破?Global fast terminal sliding mode controller，GFTSMC)的表達式為

GFTSMC 采取轉速誤差為狀態變量構建滑模面，當轉速誤差沿滑模面運動到平衡點時，可以得到q軸參考電流。

加入新型復合趨近率得到速度控制器表達式為

4.3 穩定性證明

構建李雅普諾夫函數

故有

根據李亞普洛夫穩定性定理，全局快速終端滑?？刂破魇欠€定的。

4.4 自適應擾動估計

由于在電機運轉過程中，伴隨著不確定項，除了外部負載帶來的擾動之外，還有自身內部參數的變化帶來的擾動，為了便于分析，用d(t)來表示包含負載轉矩TL的一切擾動，即

式中，d(t)是有界的，且具有某一上界k(t)，使d(t) ≤k(t)。

考慮擾動之后，根據式(15)設計滑?？刂破鳛?/p>

由式(19)可知，將擾動當作已知量反饋到控制率中，當出現外部擾動時，控制器可以及時響應擾動的變化。

由于擾動d(t)時變不確定，為保證系統的穩定性，當d(t)較大時，擾動上界k(t)也要足夠大，但過大的上界會造成系統的抖振，針對這一問題，將采用模糊理論的模糊推理來解決。

為消除系統抖振，k(t)應隨著擾動d(t)的變化而變化，且k(t)必須時刻大于擾動d(t)。為保證估計擾動處處大于實際擾動，設計一種自適應擾動估計辦法，首先采用李亞普諾夫函數的導數作為系統的輸入，系統的輸出為 Δk(t)，其次采用模糊系統將切換項導數的絕對值作為優化項，進而使得出的估計值更加接近真實的擾動值，減小系統抖振。

設基礎的模糊系統由IF-THEN 形式的模糊規則構成 R(j)：IFx1isA1jand ··· andxnisA1jTHENyisBj。

選取乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊系統的輸出為

引入模糊向量ξ(x)，式(20)變為

式中，θ=(y1,…,ym)T，ξ(x) = (ξ1(x) , … ,ξm(x))T。

根據線性化反饋技術，并且采用模糊系統逼近，本文使用積分的方法對k(t)進行估計，則

在估計值的基礎上加一個很小的常數η(η> 0)得到擾動估計值，確保處稍大于實際擾動d(t)，如下所示

根據模糊逼近理論，自適應模糊系統可以實現使逼近誤差非常小。因此≤ 0。

基于模糊理論設計如下系統。

根據模糊規則，以V˙為輸入，Δk為輸出，模糊集設置如下

式中，NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB 分別對應的是負大、負中、負小、零、正小、正中、正大，隸屬度函數圖像如圖2 所示。

圖2 隸屬度函數

為了使估計值更靠近真實值，設計如下的模糊規則，如表1 所示。為了使PMSM 系統迅速調節到穩定狀態，應該快速增大，也就意味著Δk迅速增大，故當為PM 和PB 時，Δk為PB。而當為PS 時，Δk可保持不變。相應地，為使抖振得到快速削弱，Δk應迅速減小，故當為NM 和NB 時，Δk為NB。同理，當為其他值時，Δk可保持跟隨。

表1 永磁同步電機參數

綜上所述，自適應全局快速終端模糊滑?？刂破?Adaptive global fast terminal fuzzy sliding mode controller，AGFTFSMC)結構圖如圖3 所示。

圖3 控制器結構框圖

5 超螺旋滑模觀測器的設計

由于傳統滑模觀測器觀測的反電動勢帶有不連續的高頻信號，這些高頻信號的濾除過程會影響觀測精度[21]，故本文采用超螺旋滑模觀測器代替傳統滑模觀測器。

超螺旋算法的數學表達式如下

式中，k1、k2表示滑模增益，ρ1(x1,t)、ρ2(x2,t)表示外部擾動項。式(27)中擾動項滿足

式中，σ1表示任意正常數，式(27)中的增益滿足

式(27)所述系統中，由于原點是一個平衡點，所以該點在全局上具有逐漸趨近穩定的特性，故系統經過一段時間后，其狀態變量的值將會趨向于零，并最終穩定在原點處。系統狀態的穩定性可以通過控制系統的設計和參數調整來實現。

超螺旋滑模觀測器設計如下所示

當超螺旋滑模觀測器的估計誤差到達滑模面時，可以得出估計值約等于真實值，即=0，故可以根據滑?？刂频牡刃г淼玫椒措妱觿葜?，即

本文采用反正切函數來獲得轉子位置。永磁同步電機整體控制框圖如圖4 所示。

圖4 系統控制框圖

6 試驗仿真及結果分析

6.1 仿真驗證

在Matlab/Simulink 中進行仿真研究，以驗證本文所提改進算法的有效性，下面對SMC、GFTSMC、AGFTFSMC 三種控制方式進行仿真對比試驗，仿真中均采用超螺旋滑模觀測器來獲得轉速和轉子位置信息。

試驗仿真中采用固定步長ode3 算法，且固定步長時間設定為2×10-7s，仿真時間設定為1 s，永磁同步電機參數如表2 所示。

表2 永磁同步電機參數

(1) 工況一(空載工況)。仿真過程中，在電機空載起動后轉速從0 升至1 000 r/min，圖5、圖6 對比了三種控制方式的性能，可以看出采用SMC 控制方式雖然響應速度較快，但出現了明顯的超調，而且調節時間較長，采用全局快速終端滑?？刂破麟m然可以很好地抑制超調，但響應速度卻降低了，而本文所提方法不僅能抑制超調，而且相比傳統控制方法，響應速度也得到了提高，電磁轉矩脈動也得到了抑制。

圖5 三種方法轉速曲線對比

圖6 三種方法電磁轉矩曲線對比

(2) 工況二(負載工況)。仿真過程中，在電機空載起動后轉速從0 升至1 000 r/min，并且在0.2 s時負載轉矩從0 突增至5 N ? m。三種控制方式的性能對比如圖7、圖8 所示，可以看出，在突加負載后，傳統SMC 方法轉速波動最為明顯，轉速下降了73 r/min，而且再次到達給定轉速時間較長，采用GFTSMC 方法轉速波動次之，下降了18 r/min，再次達到穩定轉速時間明顯提高，相比之下，本文所提AGFTFSMC 方法轉速波動明顯減小，且再次回到給定轉速時間進一步縮短，達到穩定控制的效果，抗擾性能更優。

圖7 三種方法轉速曲線對比

(3) 工況三(變轉速工況)。仿真過程中，在電機空載起動后轉速從0 升至600 r/min，在0.1 s 時轉速升至1 000 r/min ，在0.3 s 時轉速再次降至600 r/min。三種控制方式的性能對比如圖9、圖10所示，可以看出，在變轉速狀況下，采用傳統SMC控制器依然存在較大的超調，抗擾性能明顯不足，GFTSMC 方法響應速度最慢，響應性能不足，抗干擾能力稍差，而本文所提AGFTFSMC 方法響應依然更快且沒有超調，能很好地適應各種工況，抗干擾性能優。通過仿真最終驗證了本文所提方法具有更優的動態性能。

圖9 三種方法轉速曲線對比

圖10 三種方法電磁轉矩曲線對比

6.2 試驗驗證

為了驗證所提自適應模糊滑?？刂破鞯目煽啃?，搭建永磁同步電機控制試驗平臺，如圖11 所示。該試驗平臺以TI公司TMS320F28335數字芯片為控制芯片，試驗系統為模塊化設計，共有三個主要部件組成，分別為DSP 核心模塊、IPM 功率模塊、電機試驗平臺。

圖11 試驗平臺

基于試驗平臺對所提AGFTFSMC 方法進行驗證，試驗過程中，電機從零速開始起動到1 000 r/min，運轉過程中，在0.2 s 加入負載，變轉速工況，試驗結果如圖12～15 所示。

圖12 SMC 突加負載轉速變化

從圖12 和圖13 可以看出，突加負載后，采取AGFTFSMC 方法電機轉速在輕微波動后，能夠很快回到給定轉速，而SMC 波動較為明顯；由圖14 和圖15 可以看出，AGFTFSMC 方法可以快速響應轉速變化，與仿真結果基本一致，進一步驗證了所提方法的準確性與可靠性。

圖13 AGFTFSMC 突加負載轉速變化

圖14 SMC 變轉速曲線

圖15 AGFTFSMC 變轉速曲線

7 結論

本文在全局快速終端滑?？刂频幕A上，設計改進型復合趨近律，結合模糊滑?？刂?，提出新型滑?？刂破?。并結合超螺旋滑模觀測器進行了仿真試驗，結論如下所述。

(1) 所提新型復合趨近律可以大幅縮短到達滑模面的趨近時間，并有效抑制滑模抖動，提高系統動態響應速度。

(2) 以函數導數絕對值構建的自適應擾動估計項，將擾動估計值反饋補償到控制器中，加強了系統的抗擾能力。

(3) 試驗結果表明，AGFTFSMC 能應對各種工況，在抑制系統抖動的同時，轉速沒有出現超調，提高了系統的響應速度，改善了觀測器的跟蹤效果，超螺旋滑模觀測器的觀測精度得到提高，系統的抗擾動性能也得到加強，具有更優的動態性能。