基于改進自適應超螺旋觀測器的永磁同步電機無位置控制*

朱國宇 安興科 諸德宏 陳 前

(1.江蘇大學電氣信息工程學院 鎮江 212013；2.江蘇大學汽車工程研究院 鎮江 212013)

1 引言

近年來，隨著新能源技術的迅猛發展和“雙碳”目標的提出，永磁同步電機(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)因其高功率密度、高效率和低轉矩脈動等優點，在工業控制和生產生活中得到廣泛應用。磁場定向控制(Field oriented control，FOC)能夠有效地對強耦合且非線性的PMSM 控制系統進行解耦，提高電流控制性能，簡化控制器結構并提高系統效率[1-2]。然而，為了實現FOC 控制方法，需要準確獲取永磁同步電機轉子位置信息。在某些應用環境下，編碼器等傳統位置傳感器存在困難，易受到環境干擾及其他因素影響，同時也會增加系統成本和降低系統可靠性[3]。

因此，為了降低因編碼器帶來的高成本，并增強系統位置反饋信息的抗干擾能力，PMSM 的無位置控制算法一直是學術界的研究熱點。針對電機的不同速度運行范圍，無位置控制算法主要可以分為基于高頻注入的無位置控制算法和基于反電勢的無位置控制算法[4-6]。

基于高頻注入的方法主要適用于電機在零速或低速的起動和運行，該方法通過在電機中注入高頻信號，并假設電機處于靜止狀態，通過對電流響應進行濾波分析，進而得到電機的位置信息[7-10]。然而，在實際應用過程中，由于需要采用數模轉換器對高頻電流信號進行采集和轉換，這會增加系統成本。此外，當電機受到轉速或負載擾動時，高頻注入信號會隨之變化，從而影響控制精度。同時，由于高頻注入法本身就會產生許多高頻噪聲，因此在高電流工況下，噪聲可能會被進一步放大，從而影響測量精度。

基于反電勢的方法則主要應用于中高速場合[11-13]?；Ｓ^測器的方法由于其結構簡單、魯棒性強等優點被廣泛應用于電機的無位置控制中[14-15]。然而，滑模觀測器中由于符號函數產生的高頻抖振現象比較嚴重，需要采用低通濾波器獲得系統的位置信息，這樣既增加了運算量，也降低了系統的動態響應能力，同時其造成的相位延遲，也需要進行實時補償[16-18]。文獻[16]提出了一種自適應的濾波器來獲取反電勢，可以實現更小的相位延遲及更強的動態響應能力。文獻[19]使用反正切函數取代開關函數，降低了系統的抖振現象，提高了系統的位置觀測精度。除此之外，高階滑模算法可以將開關函數放入積分項中，無需低通濾波器即可獲得反電勢的信息，文獻[20]采用超螺旋算法對反電勢進行觀測，并且通過設計可變的滑模增益，使其可以在更大的速度運行范圍內使用，然而，超螺旋算法的固定增益在誤差較大的觀測初始階段，性能反而不如單純的線性觀測器。文獻[21]指出，在速度比較低的時候，電阻、電感誤差會對反電勢的觀測產生一定的影響，進而造成相位延遲。

為了解決上述問題，本文提出一種基于改進自適應超螺旋觀測器(Adaptive super twisting observer，ASTO)的無位置控制方法，其能夠減小系統抖振現象、提高收斂速度以及自適應地進行電氣參數辨識。該方法在超螺旋算法中引入高冪次項，以提高觀測器存在一定初始誤差時的觀測性能，此外通過自適應控制率對電阻參數進行實時辨識，可以有效減少參數誤差帶來的相位誤差。最后，本文通過STM32 的試驗平臺，對比所提算法與傳統滑模觀測器以及變增益的超螺旋觀測器的性能，驗證了所提算法的有效性。

2 PMSM 數學模型建立

為了簡化PMSM 的數學模型，假設氣隙磁場呈正弦分布，忽略渦流和磁滯損耗，d-q軸電感相同，在α-β軸系下建立電機的數學方程

式中，uα、uβ分別為α、β軸電壓；iα、iβ分別為α、β軸電流；Rs為定子電阻；Ls為定子電感，eα、eβ分別為α、β軸反電勢，且表示為

式中，ωe為電角速度；θe為電機的電角度，?f為永磁體磁鏈幅值。

3 自適應超螺旋觀測器設計

3.1 傳統超螺旋觀測器設計

超螺旋觀測器采用超螺旋算法進行設計，該算法是由一對微分器構成的系統，通過對狀態變量進行連續的微分并使用一個穩定的非線性反饋，使得系統能夠在快速、平滑的方式下完成跟蹤和穩定控制。此外，該算法具有高精度、魯棒性好等優點，能夠解決傳統滑?？刂浦袩o法避免的抖振問題，由于該算法不受系統的模型誤差和外部干擾的影響，因此具有良好的魯棒性和適應性，并能夠應用于復雜的非線性系統中。對于式(1)可以構建如下觀測器

式中，上標^表示該物理量的估計值，，sign(·)為符號函數，文獻[22]給出了一組參數并作了穩定性證明，定義Δ1為擾動導數的上界，對于本文所設計的觀測器，即為當≤Δ1時，選 取 觀 測 器 增 益k1=，k2=1.1Δ1可以使系統在有限時間內收斂于真實值。

當反電勢估計值趨于實際值后，可以通過反正切或鎖相環的方式得出電機的旋轉速度以及角度。鎖相環結構如圖1 所示，通過線性化并選取合適的比例積分(Proportional integral，PI)參數(kp,ki)，估計角度()可以迅速趨近真實角度。而通過反正切函數獲取角度和轉速信息的方法可由式(5)得到

圖1 鎖相環結構框圖

式中，為電角速度估計值。

3.2 參數誤差造成的誤差分析

考慮電阻以及電感的誤差之后，則當電流估計誤差為零時，反電勢的估計值根據等效控制原理可以得到

式中， ΔR s=Rs0-Rs， ΔLs=Ls0-Ls。下標0 為該物理量的標稱值。若假設電機平穩的以電角速度ωe運行，則令xs=xα+jxβ，可以得到如圖2 所示的相位圖。

圖2 反電勢誤差相位圖

從圖2 可以看到，參數誤差導致的反電勢估計誤差會引起位置估計的偏差，除此之外，注意到，并且 ΔRs?ΔLs，那么低速時(小于300 r/min)，考慮電感電阻誤差均為50%，定子電流為10 A 時兩者造成的誤差(電機參數如表1 所示)

表1 PMSM 及相關參數

可以看出此時電阻誤差造成的影響更大，而只有當電機運行速度較高時，ΔLsdis/dt的影響才會更大。其中對于電阻誤差造成的相位誤差Δδ可以通過矢量的加法運算由式(8)得出

此外，圖2 中es與q軸重合，所以，當電機控制策略采用id=0 時，可以看出定子電阻的誤差只會使估計反電勢的相位不變或增加π，進而本文試驗部分驗證參數誤差的影響時，將id設置為非零值。類似地，在幅值上也會產生誤差，進而導致式(5)中計算得到的產生誤差。為了改善電機參數誤差對于位置估計以及轉速估計誤差的影響，需要采取參數辨識或者是自適應的方法進行抑制。

3.3 改進的自適應超螺旋觀測器設計

雖然超螺旋觀測器相較于線性擴展狀態觀測器(Extended state observer，ESO)具有更強的魯棒性，但是在誤差較大的情況下，前者對于誤差的增益會遠小于后者，因此此時的收斂速度反而不如ESO。為了改善觀測器在跟蹤初期的收斂速度，本文在觀測器中加入高冪項的同時保持其穩定性，并通過自適應算法對模型參數進行估計，提高位置觀測精度?？紤]矢量的分解理論，單個矢量最多可以分解為確定的兩個方向的矢量，所以在未注入其他頻率信號的前提下，本文除了反電勢外，選擇在低速時對估計誤差影響更大的Rs進行辨識，其結構框圖如圖3所示，并可以表示為

圖3 ASTO 結構框圖

式中，λ1、λ2、k1、k2為大于零的系數，R?s為定子電阻的估計值。

圖4 為改進后的控制率與原始控制率關于e的關系圖，其中λ1=λ2=1?？梢钥吹?，改進后的控制率在誤差較小時與改進前基本重合，而當誤差增大后，改進后的控制率則是遠遠大于原方案的。

圖4 e-f1(e)關系圖

令Δθe為反電勢超前定子電流的角度，對于定子電阻Rs的估計，需要做如下假設。

① 電阻誤差造成的影響不足以使電機反轉，即es-ΔRsiscos(Δθe)>0。

② 定子電流和反電勢的相位差小于π/4，即-π/4≤Δθe≤π/4。

對于假設②，電機在低速時通常運行于最大轉矩電流比(Maximum torque per amp，MTPA)曲線上，根據式(11)[23]容易得到≤π /4，特別地，對于本文所用的表貼式電機或一些凸極率較低的電機?≈ 0，故在低速時不難滿足假設②。

式中，?為電流超前q軸角度，Ld、Lq分別為d、q軸電感。

考慮只有電阻誤差的情況，可以得到

當ΔRs<0 時，可以對式(8)進行放縮

而當ΔRs≥0 時，可以得到

由上面的分析可知

式中，k(t)為時變的正系數?？梢杂杀壤e分型自適應律表示為

式中，ζi為積分增益。圖5 為自適應律估計Rs的結構框圖。

圖5 自適應律估計Rs 的結構框圖

對于本文所添加的高冪項，利用定時器測量單次電流環執行時間可得，使用傳統超螺旋觀測器的運行時間為42 μs，而使用改進自適應超螺旋觀測器的運行時間為48 μs，僅比原方案多了6 μs，在載頻不高的情況下是可接受的。

3.4 穩定性證明

在電機運行過程中，電阻會隨著溫度的變化而產生一定的變化，但是其變化率相較于觀測器帶寬而言是相當低的[21]，可以將其導數視為0。

考慮關于Rs的李雅普諾夫函數為

其導數可以表示為

將式(13)代入式(18)可以得到

故所提自適應律可以使定子電阻估計值穩定地收斂于真實值。

考慮關于誤差的系統方程，使用式(9)減去式(1)，可以得到

注意到

選擇以下李雅普諾夫函數

式中，P=[αij]2×2為對稱正定矩陣，可以得到Lα是正定的，對其求導可以得到

式中，Q為對稱正定矩陣。 不妨設，可以得到

式中，||·||2為向量的二范數。因此，可以得到

式中，σ1和σ2為正的系數。對式(26)進行放縮可以得到

故選擇合適的系數λ1、λ2、k1、k2，即可使觀測器跟蹤上實際電流，進而觀測出反電勢。

對于β軸的觀測器，考慮到的上界與α軸的情況一致，同理，選擇同樣的參數可以得到Vβ≥0，且≤ 0。觀測器的穩定性就得到了證明。

3.5 系統整體控制方案

系統整體控制框圖如圖6 所示。首先通過采集電機電流(ia，ib，ic)并使用Clark 變換獲取α-β軸系下的電流，接著通過該軸系下的電壓指令使用本文所提的ASTO 對反電勢以及定子電阻進行估計，此外，根據靜止軸系下的電壓電流使用遞推最小二乘法[24](Recursive least square method，RLSM)對電感值進行測量。接著，通過鎖相環得到估計位置和估計轉速。通過該估計位置使用Park變換計算得到dq軸系下的電流。此外，對于給定轉速(ω*)與估計轉速的誤差使用PI 控制器獲取q軸電流給定(iq*)，接著電流環根據給定電流與實際電流采用PI 控制器輸出dq軸電壓指令(ud，uq)并轉換為α-β軸系下的逆變器電壓指令，實現電機控制。

圖6 系統整體控制框圖

4 仿真及試驗驗證

4.1 仿真結果及分析

為了驗證所提算法的有效性，本文選擇傳統的SMO 算法[17]、變增益超螺旋觀測器(Variable gain STO，VGSTO)[20]作為對比算法。電流環的控制周期為10 kHz，PI 控制器參數為kp=0.6，ki=900。轉速環的控制周期為2 kHz，PI 控制器參數為kp=0.08，ki=0.1。傳統SMO 算法的滑模增益ksw=1.5，低通濾波器截止頻率ωc為1 000 rad/s；VGSTO 算法的參數為σ1=0.04，σ2=0.2；ASTO 算法的參數為k1=19.02，k2=1，λ1=λ2=100(σ1=0.388，σ2=0.001)，ζp=0.1，ζi=1。鎖相環的參數為kp=2 000，ki=1 000。電機及相關參數如表1 所示。

為了驗證所提算法具有更快的收斂速度，本文選擇給定速度為200 r/min，空載運行，且初始角度差為0.4 rad 的情況作為試驗及仿真條件。

圖7 為三種算法在200 r/min 時的位置估計效果。從圖7 可以看到，傳統SMO 算法由于對反電勢增加了低通濾波器，所以響應速度最慢，并且仍然有一定的抖振現象，然而在加入了更高冪次項后，本文所提的ASTO 收斂速度比VGSTO 的速度更快。

圖7 三種算法在200 r/min 時的位置估計仿真結果

進一步地，為了驗證算法在電阻參數不準確的情況下的誤差，本文設置電阻初始值為0.4 ?，并且設置id=2 A。圖8、圖9 為其位置估計誤差以及電阻估計曲線，可以看出，隨著時間的增加，電阻的估計值在4 s 后趨于真實值0.9 ?，而位置估計誤差隨著電阻的變化也逐漸趨于0，其他兩個算法的位置估計誤差仍然在0.45 rad 左右，但是VGSTO 算法的抖振現象明顯更小。

圖8 存在電阻誤差時分別使用三種算法的位置估計誤差仿真結果

圖9 ASTO 算法電阻估計值

為了驗證算法在高速時的性能以及其抗干擾能力，本文設置給定轉速為800 r/min，電阻誤差為40%，并在0.5 s 時加上0.5 N·m 的負載轉矩，圖10、圖11為三種算法的位置估計誤差以及速度曲線仿真波形?？梢钥吹?，在高速時電阻誤差帶來的估計誤差有明顯的降低，只有0.1 rad 左右，而ASTO 可以隨著時間的增加，對電阻進行估計，進一步減少位置估計誤差，在突增負載后，三種算法的估計速度都產生了一個超調，而ASTO 的超調最小，僅有15 r/min，相較于SMO 的120 r/min 和VGSTO 的40 r/min，有了顯著的較低。

圖10 位置估計誤差

圖11 速度估計值

4.2 試驗結果及分析

為了驗證改進自適應超螺旋觀測器的正確性，基于STM32 系統搭建如圖12 所示的試驗平臺。該試驗平臺包括基于STM32F407 的驅動器、10 kW 電源、永磁同步電機以及計算機。驅動器由六個分立的MOSFET 組成，電機電流通過HCS-LTS3 進行采樣，通過模數轉換模塊輸入STM32F407VET6 并進行后續的計算。

圖12 永磁同步電機試驗平臺

圖13 為三種算法在0.1 N·m 的初始負載下，運行到200 r/min 時的位置估計誤差試驗波形。由圖13 可以發現，與仿真類似，傳統SMO 算法估計速度最慢，在0.4 s 后才基本收斂為0，而VGSTO 和ASTO 的響應速度都更快，前者在0.08 s 收斂到0后，有0.1 rad 的超調，最終在0.8 s 處才基本收斂為0，而ASTO 在0.1 s 時就已經收斂于0 并基本平穩。傳統SMO 算法的估計誤差抖振現象仍然存在，其均方根(Root mean square，RMS)為0.045，VGSTO與ASTO 的跟蹤誤差波動明顯更小，其RMS 分別為0.029 9 和0.026 6。均方根計算公式為

圖13 三種算法在200 r/min 時位置估計試驗結果

圖14、圖15 為估計轉速誤差曲線以及跟蹤轉速效果。由圖14 可以看出，SMO 算法的估計速度在起始階段有將近60 r/min 的誤差，而后兩者在該階段的估計誤差只有20 r/min。與位置誤差相似，SMO 算法估計速度誤差的RMS 為5.08，是其他兩個算法的兩到三倍，VGSTO 的估計誤差RMS 為2.78，而使用ASTO 時的RMS 只有1.88。

圖14 三種算法轉速估計誤差曲線

圖15 三種算法轉速跟蹤曲線

考慮電阻誤差的影響，設置d軸電流給定為1 A，給定轉速為200 r/min，圖16、圖17 為存在電阻誤差時的三種算法位置估計結果以及電阻估計結果。由圖16 可以看出，使用SMO 以及VGSTO算法進行位置估計時由于電阻誤差的存在，二者均會產生穩態的估計誤差，該誤差接近0.4 rad，而ASTO 算法會根據反電勢的幅值誤差對電阻進行估計，從而減少其帶來的位置估計誤差，圖17中可以看出電阻估計值在10 s 后基本穩定在0.93?，誤差僅在3%，此后位置估計誤差也基本維持在0.1 rad 以內。

圖16 存在電阻誤差時三種算法在200 r/min 時的位置估計誤差

圖17 ASTO 電阻估計曲線

作為對比，本文在800 r/min 時增加了一組仿真驗證，其中分別設置電感和電阻的誤差為50%，圖18 為其位置誤差波形。由圖18 可以看到，當轉速提高后，電感誤差造成的影響會遠大于電阻誤差造成的影響。

圖18 800 r/min 時位置誤差仿真結果

而在加入了使用遞推最小二乘法辨識[24]電感后的估計位置如圖19、圖20 所示，可以看到隨著電感值逐漸逼近真實值后，位置誤差逐漸減小，最終電感誤差位置在6%左右，而位置誤差最終也仍有接近0.2 rad 的誤差。

圖19 800 r/min 時加入電感辨識的位置估計誤差

圖20 電感辨識曲線

進一步地，為了驗證算法在高速時同樣具有良好的性能，本文設定給定轉速為800 r/min，電阻初始值為0.6 ?，d軸電流給定為1 A，進行了試驗。圖21、圖22 為其位置估計誤差和轉速跟蹤曲線。SMO 以及VGSTO 在穩定后有0.15 rad 的位置估計誤差，而ASTO 仍然可以隨著電阻的估計不斷減小位置估計誤差。SMO 的速度響應曲線有接近180 r/min 的超調，并且響應時間在0.5 ms 左右，而VGSTO 與ASTO 的超調均在30 r/min 左右，響應時間也只有0.2 ms。圖23 為其電阻估計曲線，可以看到，速度增大后，電阻估計誤差也相應增大到了0.6 ?，但是誤差也可以保持在6%以內，這在高速時對于位置估計的影響已經可以忽略不計。

圖21 800 r/min 下三種算法的位置跟蹤誤差

圖22 800 r/min 下三種算法的轉速跟蹤曲線

圖23 電阻估計曲線

5 結論

為了提高永磁同步電機在低速時的位置估計精度，本文提出了一種改進的自適應超螺旋觀測器用于永磁同步電機反電勢的估計。通過在低速、中高速，以及有無電阻、電感誤差的情況下進行了試驗及仿真驗證，可以得到如下結論。

(1) 該觀測器將傳統的超螺旋觀測器中加入了新的高冪次非線性項，能夠有效提高其在誤差較大情況下的收斂速度。

(2) 設計的用于電阻估計的自適應律，可以在電阻誤差較大的情況下大大降低電阻誤差對角度估計的影響。

(3) 改進觀測器較傳統方案具有更小的抖振現象、更快的收斂速度以及在電阻存在誤差時具有更準確的位置估計性能。